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수능 수학 – 확률과 통계(확통) 개념 총정리 – 네이버 블로그
교과서 내용을 직접 확인하면서 제작한 확률과 통계(확통) 개념 총정리 파일입니다.
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28 thg 1, 2019 — 교과서 내용을 직접 확인하면서 제작한 확률과 통계(확통) 개념 총정리 파일입니다. (오타가 몇 군데 있을 수는 있습니다.).
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- Title Website: 수능 수학 – 확률과 통계(확통) 개념 총정리 – 네이버 블로그
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수능 수학 – 확률과 통계(확통) 개념 총정리
교과서 내용을 직접 확인하면서 제작한 확률과 통계(확통) 개념 총정리 파일입니다.
(오타가 몇 군데 있을 수는 있습니다.)
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확률과 통계 | 수학 | Khan Academy – 칸아카데미
이 코스의 스킬을 잘 이해하고 있는지 테스트 해 보세요. 테스트일이 다가오나요? 코스 챌린지는 어떤 부분에서 복습이 필요한지에 대해 도움을 줍니다.
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정승제 개념때려잡기 확률과 통계
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Khan Academy
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코스 챌린지 시작
CS 229 – 확률과 통계
타입(Type) 분포 PDF $\psi(\omega)$ $E[X]$ $\textrm{Var}(X)$ (D) $X\sim\mathcal{B}(n, p)$ $\displaystyle P(X=x)=\displaystyle\binom{n}{x} p^xq^{n-x}$ $(pe^{i\omega}+q)^n$ $np$ $npq$ (D) $X\sim\textrm{Po}(\mu)$ $\displaystyle P(X=x)=\frac{\mu^x}{x!}e^{-\mu}$ $e^{\mu(e^{i\omega}-1)}$ $\mu$ $\mu$ (C) $X\sim\mathcal{U}(a, b)$ $\displaystyle f(x)=\frac{1}{b-a}$ $\displaystyle\frac{e^{i\omega b}-e^{i\omega a}}{(b-a)i\omega}$ $\displaystyle\frac{a+b}{2}$ $\displaystyle\frac{(b-a)^2}{12}$ (C) $X\sim\mathcal{N}(\mu, \sigma)$ $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$ $e^{i\omega\mu-\frac{1}{2}\omega^2\sigma^2}$ $\mu$ $\sigma^2$ (C) $X\sim\textrm{Exp}(\lambda)$ $\displaystyle f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ $\displaystyle\frac{1}{1-\frac{i\omega}{\lambda}}$ $\displaystyle\frac{1}{\lambda}$ $\displaystyle\frac{1}{\lambda^2}$
Case $E[X]$ $E[g(X)]$ $E[X^k]$ $\psi(\omega)$ (D) $\displaystyle \sum_{i=1}^nx_if(x_i)$ $\displaystyle \sum_{i=1}^ng(x_i)f(x_i)$ $\displaystyle \sum_{i=1}^nx_i^kf(x_i)$ $\displaystyle\sum_{i=1}^nf(x_i)e^{i\omega x_i}$ (C) $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}x^kf(x)dx$ $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{i\omega x}dx$
예시 CDF $F$ PDF $f$ PDF의 특성 (D) $\displaystyle F(x)=\sum_{x_i\leqslant x}P(X=x_i)$ $f(x_j)=P(X=x_j)$ $\displaystyle0\leqslant f(x_j)\leqslant1\textrm{ and }\sum_{j}f(x_j)=1$ (C) $\displaystyle F(x)=\int_{-\infty}^xf(y)dy$ $f(x)=\displaystyle \frac{dF}{dx}$ $\displaystyle f(x)\geqslant0\textrm{ and }\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$
확률 변수 주로 X X X라고 표기된 확률 변수는 표본 공간의 모든 요소를 실선에 대응시키는 함수입니다. 누적 분포 함수 (CDF) 단조 감소하지 않고 …
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- Title Website: CS 229 – 확률과 통계
- Description Website: 확률 변수 주로 X X X라고 표기된 확률 변수는 표본 공간의 모든 요소를 실선에 대응시키는 함수입니다. 누적 분포 함수 (CDF) 단조 감소하지 않고 …
통계 공식과 개념들 한번에 총정리 해드립니다. (이산확률분포, 이항분포, 연속확률분포, 확률밀도함수, 표준정규분포, 표준화공식, 임의추출, 표본평균, 통계적추정, 모평균의추정)
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CS 229
CS 229 – 기계 학습 العربية English Español فارسی Français 한국어 Português Türkçe Tiếng Việt 简中 繁中
확률과 통계 선형대수와 미적분학
확률과 통계 Star
아프신 아미디 와 셰르빈 아미디
Wooil Jeong 에 의해 번역됨
확률과 조합론 소개
표본 공간 시행의 가능한 모든 결과 집합은 시행의 표본 공간으로 알려져 있으며 $S$로 표기합니다.
사건 표본 공간의 모든 부분 집합 $E$를 사건이라고 합니다. 즉, 사건은 시행 가능한 결과로 구성된 집합입니다. 시행 결과가 $E$에 포함된다면, $E$가 발생했다고 이야기합니다.
확률의 공리 각 사건 $E$에 대하여, 우리는 사건 $E$가 발생할 확률을 $P(E)$로 나타냅니다.
공리 1 ― 모든 확률은 0과 1사이에 포함됩니다, 즉:
\[\boxed{0\leqslant P(E)\leqslant 1}\]
공리 2 ― 전체 표본 공간에서 적어도 하나의 근원 사건이 발생할 확률은 1입니다. 즉:
\[\boxed{P(S)=1}\]
공리 3 ― 서로 배반인 어떤 연속적인 사건 $E_1, …, E_n$ 에 대하여, 우리는 다음을 가집니다:
\[\boxed{P\left(\bigcup_{i=1}^nE_i\right)=\sum_{i=1}^nP(E_i)}\]
순열(Permutation) 순열은 $n$개의 객체들로부터 $r$개의 객체들의 순서를 고려한 배열입니다. 그러한 배열의 수는 $P(n, r)$에 의해 주어지며, 다음과 같이 정의됩니다:
\[\boxed{P(n, r)=\frac{n!}{(n-r)!}}\]
조합(Combination) 조합은 $n$개의 객체들로부터 $r$개의 객체들의 순서를 고려하지 않은 배열입니다. 그러한 배열의 수는 다음과 같이 정의되는 $C(n, r)$에 의해 주어집니다:
\[\boxed{C(n, r)=\frac{P(n, r)}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}}\]
비고 :우리는 $0\leqslant r\leqslant n$에 대해, $P(n,r)\geqslant C(n,r)$를 가집니다.
조건부 확률
베이즈 규칙 $P(B)>0$인 사건 $A, B$에 대해, 우리는 다음을 가집니다:
\[\boxed{P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}}\]
우리는 $P(A\cap B)=P(A)P(B|A)=P(A|B)P(B)$를 가집니다.
파티션(Partition) $\{A_i, i\in[\![1,n]\!]\}$은 모든 $i$에 대해 $A_i
eq\varnothing$이라고 해봅시다. 우리는 $\{A_i\}$가 다음과 같은 경우 파티션이라고 말합니다.
\[\boxed{\forall i
eq j, A_i\cap A_j=\emptyset\quad\textrm{ and }\quad\bigcup_{i=1}^nA_i=S}\]
비고 : 표본 공간에서 어떤 사건 $B$에 대해서 우리는 $\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^nP(B|A_i)P(A_i)$를 가집니다.
베이즈 규칙의 확장된 형태 $\{A_i, i\in[\![1,n]\!]\}$를 표본 공간의 파티션이라고 합시다. 우리는 다음을 가집니다:
\[\boxed{P(A_k|B)=\frac{P(B|A_k)P(A_k)}{\displaystyle\sum_{i=1}^nP(B|A_i)P(A_i)}}\]
독립성 다음의 경우에만 두 사건 $A, B$가 독립적입니다:
\[\boxed{P(A\cap B)=P(A)P(B)}\]
확률 변수
정의
확률 변수 주로 $X$라고 표기된 확률 변수는 표본 공간의 모든 요소를 실선에 대응시키는 함수입니다.
누적 분포 함수 (CDF) 단조 감소하지 않고 $\underset{x\rightarrow-\infty}{\textrm{lim}}F(x)=0$ 이고, $\underset{x\rightarrow+\infty}{\textrm{lim}}F(x)=1$ 인 누적 분포 함수 F는 다음과 같이 정의됩니다:
\[\boxed{F(x)=P(X\leqslant x)}\]
비고 : 우리는 $P(a < X\leqslant B)=F(b)-F(a)$를 가집니다. 확률 밀도 함수 (PDF) 확률 밀도 함수 $f$는 인접한 두 확률 변수의 사이에 $X$가 포함될 확률입니다. PDF와 CDF의 관계 이산 (D)과 연속 (C) 예시에서 알아야 할 중요한 특성이 있습니다. 예시 CDF $F$ PDF $f$ PDF의 특성 (D) $\displaystyle F(x)=\sum_{x_i\leqslant x}P(X=x_i)$ $f(x_j)=P(X=x_j)$ $\displaystyle0\leqslant f(x_j)\leqslant1\textrm{ and }\sum_{j}f(x_j)=1$ (C) $\displaystyle F(x)=\int_{-\infty}^xf(y)dy$ $f(x)=\displaystyle \frac{dF}{dx}$ $\displaystyle f(x)\geqslant0\textrm{ and }\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$ 분포의 기대값과 적률 이산 혹은 연속일 때, 기대값 $E[X]$, 일반화된 기대값 $E[g(X)]$, $k$번째 적률 $E[X^k]$ 및 특성 함수 $\psi(\omega)$ : Case $E[X]$ $E[g(X)]$ $E[X^k]$ $\psi(\omega)$ (D) $\displaystyle \sum_{i=1}^nx_if(x_i)$ $\displaystyle \sum_{i=1}^ng(x_i)f(x_i)$ $\displaystyle \sum_{i=1}^nx_i^kf(x_i)$ $\displaystyle\sum_{i=1}^nf(x_i)e^{i\omega x_i}$ (C) $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}x^kf(x)dx$ $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{i\omega x}dx$ 분산 (Variance) 주로 Var$(X)$ 또는 $\sigma^2$이라고 표기된 확률 변수의 분산은 분포 함수의 산포(Spread)를 측정한 값입니다. 이는 다음과 같이 결정됩니다: \[\boxed{\textrm{Var}(X)=E[(X-E[X])^2]=E[X^2]-E[X]^2}\] 표준 편차(Standard Deviation) 표준 편차는 실제 확률 변수의 단위를 사용할 수 있는 분포 함수의 산포(Spread)를 측정하는 측도입니다. 이는 다음과 같이 결정됩니다: \[\boxed{\sigma=\sqrt{\textrm{Var}(X)}}\] 확률 변수의 변환 변수 $X$와 $Y$를 어떤 함수로 연결되도록 해봅시다. $f_X$와 $f_Y$에 각각 $X$와 $Y$의 분포 함수를 표기하면 다음과 같습니다: \[\boxed{f_Y(y)=f_X(x)\left|\frac{dx}{dy}\right|}\] 라이프니츠 적분 규칙 $g$를 $x$의 함수로, 잠재적으로 $c$라고 해봅시다. 그리고 $c$에 종속적인 경계 $a, b$에 대해 우리는 다음을 가집니다: \[\boxed{\frac{\partial}{\partial c}\left(\int_a^bg(x)dx\right)=\frac{\partial b}{\partial c}\cdot g(b)-\frac{\partial a}{\partial c}\cdot g(a)+\int_a^b\frac{\partial g}{\partial c}(x)dx}\] 확률 분포 체비쇼프 부등식 $X$를 기대값 $\mu$의 확률 변수라고 해봅시다. $k$에 대하여, $\sigma>0$이면 다음과 같은 부등식을 가집니다:
\[\boxed{P(|X-\mu|\geqslant k\sigma)\leqslant\frac{1}{k^2}}\]
주요 분포들 기억해야 할 주요 분포들이 여기 있습니다:
타입(Type) 분포 PDF $\psi(\omega)$ $E[X]$ $\textrm{Var}(X)$ (D) $X\sim\mathcal{B}(n, p)$ $\displaystyle P(X=x)=\displaystyle\binom{n}{x} p^xq^{n-x}$ $(pe^{i\omega}+q)^n$ $np$ $npq$ (D) $X\sim\textrm{Po}(\mu)$ $\displaystyle P(X=x)=\frac{\mu^x}{x!}e^{-\mu}$ $e^{\mu(e^{i\omega}-1)}$ $\mu$ $\mu$ (C) $X\sim\mathcal{U}(a, b)$ $\displaystyle f(x)=\frac{1}{b-a}$ $\displaystyle\frac{e^{i\omega b}-e^{i\omega a}}{(b-a)i\omega}$ $\displaystyle\frac{a+b}{2}$ $\displaystyle\frac{(b-a)^2}{12}$ (C) $X\sim\mathcal{N}(\mu, \sigma)$ $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$ $e^{i\omega\mu-\frac{1}{2}\omega^2\sigma^2}$ $\mu$ $\sigma^2$ (C) $X\sim\textrm{Exp}(\lambda)$ $\displaystyle f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ $\displaystyle\frac{1}{1-\frac{i\omega}{\lambda}}$ $\displaystyle\frac{1}{\lambda}$ $\displaystyle\frac{1}{\lambda^2}$
결합 분포 확률 변수
주변 밀도와 누적 분포 결합 밀도 확률 함수 $f_{XY}$로부터 우리는 다음을 가집니다
예시 주변 밀도 누적 함수 (D) $\displaystyle f_X(x_i)=\sum_{j}f_{XY}(x_i,y_j)$ $\displaystyle F_{XY}(x,y)=\sum_{x_i\leqslant x}\sum_{y_j\leqslant y}f_{XY}(x_i,y_j)$ (C) $\displaystyle f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)dy$ $\displaystyle F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf_{XY}(x’,y’)dx’dy’$
조건부 밀도 주로 $f_{X|Y}$로 표기되는 $Y$에 대한 $X$의 조건부 밀도는 다음과 같이 정의됩니다:
\[\boxed{f_{X|Y}(x)=\frac{f_{XY}(x,y)}{f_Y(y)}}\]
독립성 두 확률 변수 $X$와 $Y$는 다음과 같은 경우에 독립적이라고 합니다:
\[\boxed{f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)}\]
공분산 다음과 같이 두 확률 변수 $X$와 $Y$의 공분산을 $\sigma_{XY}^2$ 혹은 더 일반적으로는 $\textrm{Cov}(X,Y)$로 정의합니다:
\[\boxed{\textrm{Cov}(X,Y)\triangleq\sigma_{XY}^2=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]=E[XY]-\mu_X\mu_Y}\]
상관관계 $\sigma_X, \sigma_Y$로 $X$와 $Y$의 표준 편차를 표기함으로써 $\rho_{XY}$로 표기된 임의의 변수 $X$와 $Y$ 사이의 상관관계를 다음과 같이 정의합니다:
\[\boxed{\rho_{XY}=\frac{\sigma_{XY}^2}{\sigma_X\sigma_Y}}\]
비고 1: 우리는 임의의 확률 변수 $X, Y$에 대해 $\rho_{XY}\in[-1,1]$를 가진다고 말합니다.
비고 2: $X$와 $Y$가 독립이라면 $\rho_{XY} = 0$입니다.
모수 추정
정의
확률 표본 확률 표본은 $X$와 독립적으로 동일하게 분포하는 $n$개의 확률 변수 $X_1, …, X_n$의 모음입니다.
추정량 추정량은 통계 모델에서 알 수 없는 모수의 값을 추론하는 데 사용되는 데이터의 함수입니다.
편향 추정량 $\hat{\theta}$의 편향은 $\hat{\theta}$ 분포의 기대값과 실제값 사이의 차이로 정의됩니다. 즉:
\[\boxed{\textrm{Bias}(\hat{\theta})=E[\hat{\theta}]-\theta}\]
비고 : 추정량은 $E[\hat{\theta}]=\theta$ 일 때, 비 편향적이라고 말합니다.
평균 추정
표본 평균 랜덤 표본의 표본 평균은 분포의 실제 평균 $\mu$를 추정하는 데 사용되며 종종 다음과 같이 정의됩니다:
\[\boxed{\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i}\]
비고 : 표본 평균은 비 편향적입니다, 즉i.e $E[\overline{X}]=\mu$.
중심 극한 정리 평균 $\mu$와 분산 $\sigma^2$를 갖는 주어진 분포를 따르는 랜덤 표본 $X_1, …, X_n$을 가정해 봅시다 그러면 우리는 다음을 가집니다:
\[\boxed{\overline{X}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\mathcal{N}\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)}\]
분산 추정
표본 분산 랜덤 표본의 표본 분산은 분포의 실제 분산 $\sigma^2$를 추정하는 데 사용되며 종종 $s^2$ 또는 $\sigma^2$로 표기되며 다음과 같이 정의됩니다:
\[\boxed{s^2=\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2}\]
비고 : 표본 분산은 비 편향적입니다, 즉 $E[s^2]=\sigma^2$.
표본 분산과 카이 제곱의 관계 $s^2$를 랜덤 표본의 표분 분산이라고 합시다. 우리는 다음을 가집니다:
\[\boxed{\frac{s^2(n-1)}{\sigma^2}\sim\chi_{n-1}^2}\]
[확률과통계]개념정리 – 김창훈수학학원
이제 중간고사가 얼마 남지 않았네요 남은시간 최선을 다하여 좋을결과 있기를 바라겠습니다.
안녕하세요 수원 영통 김창훈수학학원 입니다.
고등부. 검색; 글쓰기. 게시글 검색. 검색. [확률과통계]개념정리. 김창훈수학학원 조회수:1457 112.160.125.44: 2020-12-17 15:26:14.
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확률 공식들 한번에 설명해 드립니다 / 확률과 통계
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안녕하세요 수원 영통 김창훈수학학원 입니다.
이제 중간고사가 얼마 남지 않았네요 남은시간 최선을 다하여 좋을결과 있기를 바라겠습니다.
확률 및 통계 – KOCW
확률변수는 예측할 수 없는 물리적 신호를 표현하는 수학적 모델로서, 함수의 변수가 확률적 분포에 의하여 임의로 발생하는 경우에 적용한다. 확률신호는 통신신호, 영상 및 음성신호, 등과 같이 일상적으로 다루는 모든 신호에 적용될 수 있으며, 측정하고자 하는 물리적인 현상을 다루는데 널리 활용된다. 본 강의에서는 확률 및 확률변수의 개념을 소개하고, 확률변수에 대한 평균, 분산, 상관계수 등을 구하는 방법을 다룬다. 또한 가우시안 분포를 포함한 여러 가지 유용한 확률분포를 살펴보고, 실제 데이터를 이용한 통계적 신호처리를 실습함으로써 확률적인 문제를 해결하는 기초 방법을 습득한다. 이를 위하여 확률적 문제에 대한 수학적 표현과 정의를 배우고, 수학적 풀이방법과 해석 기법을 중점적으로 다룬다. 또한 확률분포를 갖는 신호 (음성 또는 영상)에 대한 프로그래밍을 실습하여 응용방법을 경험하도록 한다.
주제분류 자연과학 >수학ㆍ물리ㆍ천문ㆍ지리 >통계학
평점 4.6/5.0 (29)
강의학기 2014년 1학기
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확률 및 통계 … 조건부확률과 Bayes 정리 … 확률변수는 예측할 수 없는 물리적 신호를 표현하는 수학적 모델로서, 함수의 변수가 확률적 분포에 의하여 임의로 …
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확률과 통계-1-1 원순열
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확률 및 통계
주제분류 자연과학 >수학ㆍ물리ㆍ천문ㆍ지리 >통계학
강의학기 2014년 1학기
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확률변수는 예측할 수 없는 물리적 신호를 표현하는 수학적 모델로서, 함수의 변수가 확률적 분포에 의하여 임의로 발생하는 경우에 적용한다. 확률신호는 통신신호, 영상 및 음성신호, 등과 같이 일상적으로 다루는 모든 신호에 적용될 수 있으며, 측정하고자 하는 물리적인 현상을 다루는데 널리 활용된다. 본 강의에서는 확률 및 확률변수의 개념을 소개하고, 확률변수에 대한 평균, 분산, 상관계수 등을 구하는 방법을 다룬다. 또한 가우시안 분포를 포함한 여러 가지 유용한 확률분포를 살펴보고, 실제 데이터를 이용한 통계적 신호처리를 실습함으로써 확률적인 문제를 해결하는 기초 방법을 습득한다. 이를 위하여 확률적 문제에 대한 수학적 표현과 정의를 배우고, 수학적 풀이방법과 해석 기법을 중점적으로 다룬다. 또한 확률분포를 갖는 신호 (음성 또는 영상)에 대한 프로그래밍을 실습하여 응용방법을 경험하도록 한다.
주제에 대한 관련 정보 확률 과 통계
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