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두 사건 A, B의 경우의 수를 따진다면, 사건 A가 일어나는 경우의 수가 m가지, 사건 B가 일어나는 경우의 수는 n가지라면 A와 B가 동시에 일어나는 경우의 수는 m × n m \times n m×n 가지다.
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경우의 수 – 나무위키
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경우의 수/공식 – 나무위키
3 ngày trước — 경우의 수에 관한 공식과 모델을 설명하는 문서이다. 이를 이해하는 일은 중고등학교 수학 교육과정에서 매우 중요한 것으로 취급되는데, …
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경우의 수 공식들 한번에 총정리 해드립니다 / 확률과통계 / 확통공식1 (곱의법칙, 합의법칙, 팩토리얼, 순열, 조합, 원순열, 중복순열, 중복조합, 분할, 이항정리)
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경우의 수 공식 – 한 줄 세우기 – 수학방
먼저 천의 자리 숫자에는 1 ~ 4까지 아무 수나 하나 골라요. – 경우의 수는 4 백의 자리 숫자를 고르는데, 천의 자리에 사용한 숫자는 사용할 수 없어요. 그래서 남은 세 수중에서 하나를 골라요. – 경우의 수는 3 십의 자리 숫자를 고르는데, 천, 백의 자리에 사용한 숫자는 사용할 수 없어요. 남은 두 수 중에서 하나를 골라요. – 경우의 수는 2 마지막 일의 자리 숫자는 천, 백, 십의 자리 숫자를 고르고 남은 하나가 됩니다. – 경우의 수 1
여기서 끝난 게 아니에요. 사과와 배를 묶음으로 생각했는데, 사과 – 배의 순서로 놓을 수도 있고 배 – 사과의 순서로 놓을 수도 있겠지요? 사과와 배를 줄 세우는 방법이 두 가지 경우가 있어요. 이건 다른 과일들을 놓는 것과 동시에 일어나는 사건이기라서 곱의 법칙을 이용해요.
사과와 배를 바로 옆에 놓지 않아도 될 때의 경우의 수를 먼저 구해보죠. 과일의 종류가 사과, 배, 감, 포도, 귤, 수박 총 6가지니까 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720가지의 경우의 수가 있어요.
경우의 수에서 예로 들었던 동전 던지기와 주사위 던지기를 알아볼 거고요. 여러 항목을 한 줄 세우기 할 때 경우의 수에 대해서 알아볼 거예요. 동전 던지기. 동전은 앞면 …
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고1 경우의 수 개념 30분에 끝내기! #확통개념 0강
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경우의 수 공식 – 한 줄 세우기
경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙에서 경우의 수라는 걸 알아봤어요.
이제는 여러 상황에서 경우의 수가 어떻게 되는지 알아볼 거예요.
몇 가지 패턴이 있는데, 그것만 알면 경우의 수를 쉽게 구할 수 있어요. 공식이 나옵니다. 외우면 좋겠죠?
경우의 수에서 예로 들었던 동전 던지기와 주사위 던지기를 알아볼 거고요. 여러 항목을 한 줄 세우기 할 때 경우의 수에 대해서 알아볼 거예요.
동전 던지기
동전은 앞면과 뒷면이 있어요. 그래서 동전 하나를 던지면 나올 수 있는 경우의 수는 두 개죠.
동전 두 개를 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수를 순서쌍으로 나타내 볼까요?
(앞, 앞), (앞, 뒤), (뒤, 앞), (뒤, 뒤) 이렇게 총 4가지 경우가 있어요.
동전 두 개를 던졌을 때 나오는 경우의 수는 각각의 동전을 동시에 던지니까 곱의 법칙을 이용해서 2 × 2 = 4로 구합니다.
동전을 세 개 던지면 어떻게 될까요? 마찬가지로 곱의 법칙을 이용해서 2 × 2 × 2 = 8이 되겠네요.
동전의 개수가 n 개라면 동전을 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수는 2n입니다.
주사위 던지기
주사위는 총 6개의 면이 있어요. 한 개의 주사위를 던지면 나올 수 있는 경우의 수는 6이에요.
주사위 두 개를 던지면 어떻게 될까요?
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)
총 36가지의 경우가 있어요. 두 개의 주사위도 마찬가지로 동시에 일어나는 사건이니까 6 × 6 = 36이 되는 거죠.
주사위를 세 개 던지면 6 × 6 × 6 = 216의 경우의 수가 나와요.
주사위 n개를 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수는 6n입니다.
한 줄 세우기
줄 세우기는 여러 개의 항목이 있는 걸 차례대로 놓는 걸 말해요.
한 줄 세우기
1 ~ 4까지의 자연수가 있어요. 이 자연수를 차례대로 놓아서 네 자리 숫자를 만들 때, 경우의 수는 어떻게 될까요?
먼저 천의 자리 숫자에는 1 ~ 4까지 아무 수나 하나 골라요. – 경우의 수는 4 백의 자리 숫자를 고르는데, 천의 자리에 사용한 숫자는 사용할 수 없어요. 그래서 남은 세 수중에서 하나를 골라요. – 경우의 수는 3 십의 자리 숫자를 고르는데, 천, 백의 자리에 사용한 숫자는 사용할 수 없어요. 남은 두 수 중에서 하나를 골라요. – 경우의 수는 2 마지막 일의 자리 숫자는 천, 백, 십의 자리 숫자를 고르고 남은 하나가 됩니다. – 경우의 수 1
천의 자리, 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리 숫자를 뽑는 건 동시에 일어나는 것으로 곱의 법칙을 이용할 수 있어요.
그래서 네 자리 숫자를 만들 수 있는 총 경우의 수는 4 × 3 × 2 × 1 = 24가 됩니다.
여러 항목을 줄 세울 때는 항목의 개수가 몇 개인지가 중요해요. 줄 세울 때 경우의 수는 아래 공식으로 구할 수 있어요.
한 줄 세우기 경우의 수
n × (n – 1) × (n – 2) × … × 2 × 1
개수를 하나씩 줄여가면서 계속 곱하는 거예요.
웬디, 아이린, 슬기, 조이, 예리 다섯 사람이 앨범 표지로 사용할 사진을 찍으려고 한다. 이 다섯 명이 한 줄로 서서 사진을 찍을 때 한 줄로 서는 경우의 수는 얼마인가?
한 줄 세우기 공식 한 번 더 써보죠. n × (n – 1) × (n – 2) × … × 2 × 1
멤버 수가 총 5명이니까 5부터 1씩 줄여가면서 계속 곱하면 돼요.
5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 가지의 경우가 있네요.
이웃하여 한 줄 세우기
한 줄을 세울 때 특별한 경우가 있어요. 항목중에서 몇 개를 꼭 함께 놓는 경우가 있거든요.
과일가게에서 사과, 배, 감, 포도, 귤, 수박을 팔아요. 이 과일들을 한 줄로 진열하려고 할 때 사과와 배는 꼭 바로 옆에 놓게 진열을 한다면 몇 가지 경우의 수가 있을까요?
사과와 배를 바로 옆에 놓지 않아도 될 때의 경우의 수를 먼저 구해보죠. 과일의 종류가 사과, 배, 감, 포도, 귤, 수박 총 6가지니까 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720가지의 경우의 수가 있어요.
이 중에서 사과와 배가 바로 옆에 붙어 있는 경우의 수를 구해야 하는 거잖아요. 이때는 사과와 배를 하나의 묶음으로 생각해 버려요. 하나의 묶음으로 생각해서 과일의 종류가 총 다섯 가지라고 계산하면 쉽거든요.
사과와 배를 하나의 묶음으로 생각하면 한 줄로 진열할 수 있는 경우의 수는 몇 가지일까요? 한 줄로 세우는 공식은 바로 위에서 했죠? 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120이네요.
여기서 끝난 게 아니에요. 사과와 배를 묶음으로 생각했는데, 사과 – 배의 순서로 놓을 수도 있고 배 – 사과의 순서로 놓을 수도 있겠지요? 사과와 배를 줄 세우는 방법이 두 가지 경우가 있어요. 이건 다른 과일들을 놓는 것과 동시에 일어나는 사건이기라서 곱의 법칙을 이용해요.
결국, 여섯 종류의 과일을 진열할 때 사과와 배를 바로 옆에 놓도록 진열하는 방법은 120 × 2 = 240가지가 있어요.
이웃하여 한 줄 세우기는 아래의 공식으로 구할 수 있어요.
이웃하여 한 줄 세울 때 경우의 수
(이웃하는 걸 한 묶음으로 하여 한 줄 세우기 한 경우의 수) × (묶음 안에서 자리 바꾸는 경우의 수)
과일가게에서 사과, 배, 감, 포도, 귤, 수박을 한 줄로 진열하려고 한다. 배, 감, 포도가 서로 이웃하도록 진열하려고 할 때 경우의 수를 구하여라.
위 설명에서 했던 문제인데, 이번에는 배, 감, 포도 총 세 개의 과일을 이웃하게 진열한다고 했네요.
공식을 그대로 쓰면 돼요.
먼저 배, 감, 포도를 하나의 묶음으로 생각하면 과일의 종류는 4가지로 볼 수 있겠지요? 이 네 가지를 한 줄로 진열하는 경우의 수는 4 × 3 × 2 × 1이 되고요.
배, 감, 포도를 하나의 묶음으로 봤을 때 배, 감, 포도를 한 줄로 진열하는 방법은 3 × 2 × 1가지가 있어요.
위의 둘을 곱하면 답이 나옵니다.
(이웃하는 걸 한 묶음으로 하여 한 줄 세우기 한 경우의 수) × (묶음 안에서 자리 바꾸는 경우의 수)
= (4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
= 24 × 6
= 144
총 144가지의 경우의 수가 나오네요.
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[고1 고등수학하] 7. 경우의 수(순열과 조합) (feat. 확률과 통계 …
한 개의 주사위를 던져서 짝수의 눈이 나오거나 동전을 던져서 앞면이 나오는 경우의 수는
서로 다른 n개에서 r개를 뽑는 경우의 수를 조합이라 하고 다음과 같이 표현합니다.
C는 Combination(조합)의 앞글자를 딴 것입니다. ( 피자가 먹고 싶다 )
6 thg 8, 2021 — 경우의 수에서는 두가지 법칙을 배웁니다. 합의 법칙과 곱의 법칙인데요. 합의 법칙이란 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때,. 사건 A …
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조금 더 기다리세요! 절호의 투자 기회는 \”이 때\” 입니다. / 제가 지금 주식 투자 하는 법 말씀드리죠! (주가급락, 주가급등) 슈퍼개미 이주영 대표
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[고1 고등수학하] 7. 경우의 수(순열과 조합) (feat. 확률과 통계 개론)
고등수학하의 마지막 단원이자
확률과통계의 첫단원이나 마찬가지인
경우의 수! 순열과 조합 입니다.
잡담; 고2~고3때 배우는 확률과 통계라는 책은!
고등과정의 확률과 통계 는 다음과 같은 스토리를 갖고 있습니다.
어떤 것을 시행 하면
사건 이 일어나고
사건에 대한 경우의 수 를 구할 수 있고,
경우의 수로 확률 을 구할 수 있고
확률이 어떻게 분포 하는지 알아보면서 대푯값과 산포도를 구하고
통계적 추정 을 하게 됩니다.
이 중 시행부터 경우의 수까지 배우는 것이 이 단원입니다.
시행, 사건, 경우의 수란?
시행 이란 표본공간에서 실험을 하는 것인데,
쉽게 말하자면 ‘주사위를 던지는 것’ 정도 됩니다.
사건 은 실험이나 관찰에 의하여 일어나는 결과입니다.
‘주사위가 떨어진 것’ 입니다.
경우의 수 는 사건이 일어날 수 있는 가짓수입니다.
‘(주사위의 눈이 짝수인 경우의 수)=3’ 와 같은 것입니다.
경우의 수는 빠짐없이,
중복되지 않게 직접 세면 충분히 구할 수 있습니다.
하지만, 하나하나 세는 것보다
규칙을 찾아서 계산하는 것이 빠르기 때문에
순열과 조합을 이용하기도 하죠.
합의 법칙과 곱의 법칙
경우의 수에서는 두가지 법칙을 배웁니다.
합의 법칙과 곱의 법칙인데요.
합의 법칙 이란 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때,
사건 A와 사건 B가 일어나는 경우의 수를 각각 m, n이라 하면
사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수는 m+n이 되는 것을 말합니다.
한 개의 주사위를 던져서 짝수의 눈이 나오거나 동전을 던져서 앞면이 나오는 경우의 수는
2, 4, 6 또는 앞면, 이렇게 4가지 경우가 됩니다.
3가지+1가지=4가지
대부분의 문제들은 장문의 줄글로 출제됩니다.
문제를 잘 읽고
또는, ~이거나, ~중에서 라는 해석이 가능하다면
합의 법칙을 사용합니다.
예를 들어 식사 3가지와 음료 4가지가 있는 식당에서
식사를 하거나 음료를 마시는 경우의 수를 구하라고 하면
3+4=7가지가 됩니다.
곱의 법칙 이란 두 사건 A, B가 동시에 일어날 때,
사건 A와 사건 B가 일어나는 경우의 수를 각각 m, n이라 하면
사건 A와 사건 B가 동시에 일어나는 경우의 수는 m×n이 되는 것을 말합니다.
주사위 한 개와 동전 한 개를 동시에 던져서
주사위는 짝수, 동전은 앞면이 나오는 경우의 수는
(2, 앞), (4, 앞), (6, 앞) 이렇게 3가지가 됩니다.
3가지×1가지=3가지
그리고, 동시에, 거쳐서, ~와, ~과 라는 해석이 가능하다면
곱의 법칙을 사용합니다.
예를 들어 식사 3가지와 음료 4가지가 있는 식당에서
식사 한가지와 음료 한가지를 주문하는 경우의 수를 구하라고 하면
3×4=12가지가 됩니다.
순열이 뭔가요?
순열 은 순서대로 나열하는 경우의 수를 구하는 식입니다.
서로 다른 n개에서 r개를 선택하는 순열을 다음과 같이 표현합니다.
순열(Permutation)
읽을 때는 엔피알 이라고 읽으면 됩니다.
P는 Permutation(순열)의 앞글자를 딴 것입니다.
n은 자연수라서 쓴 듯하고,
r은 아시면 제보 좀 해주세요.
예를 들어 A, B, C, D 4개의 문자에서
2개를 선택하여 순서대로 나열하는 방법은
다음과 같이 씁니다.
순열에서 n과 r이 같은 경우
계승으로 더 편리하게 나타낼 수 있습니다.
계승은 n!과 같이 나타내고 팩토리얼(=factorial)로 읽습니다.
예를 들어 4!은 4팩토리얼이라 읽고 4×3×2×1=24로 계산합니다.
계승(Factorial)
순열에서 알아두면 좋은 식으로는 다음과 같은 것이 있습니다.
기본적인 순열은 여기까지지만,
문제는 다양하게 출제됩니다.
이웃하는 경우, 이웃하지 않는 경우를 비롯하여
사전식 배열이라던지…
많은 유형이 있기 때문에
유형별로 문제를 꼭 풀어보는 것이 좋습니다.
조합이란?
조합 은 뽑는 경우의 수를 구하는 식입니다.
서로 다른 n개에서 r개를 뽑는 경우의 수를 조합이라 하고 다음과 같이 표현합니다.
조합(Combination)
읽을 때는 엔씨알 이라고 읽으면 됩니다.
C는 Combination(조합)의 앞글자를 딴 것입니다. ( 피자가 먹고 싶다 )
예를 들어 A, B, C, D 4개의 문자에서
2개를 뽑는 경우의 수는 다음과 같이 씁니다.
조합에서 알아두면 좋은 식으로는
다음과 같은 것이 있습니다.
두 번째 줄에 있는 식은
‘확률과 통계’라는 책의
‘이항정리’편에서 배우는 것이 더 낫습니다.
얼핏 간단해 보이지만,
실제로 문제를 풀어보면 상당히 까다롭고
유형도 굉장히 다양합니다.
문제들은 대부분 장문의 줄글로 나오는데,
이것을 식으로 변형하는 것도 쉽지 않습니다.
또한 특정한 것을 포함, 제외하는 경우라던지
‘적어도’라는 단어가 들어있는 경우에는
다른 식으로 표현할 수 있기 때문에
유형별로 문제를 풀어보는 것이 중요합니다.
경우의 수, 순열, 조합을 잘하고 싶다면
우선, 책을 많이 읽어서 독해력, 문해력을 길러야 합니다.
둘째, 문장을 식으로 변형하는 연습을 해두는 것이 좋습니다.
셋째, 많은 유형의 문제를 풀어보는 것 이 좋습니다.
넷째, 정답/해설의 방식을 적극적으로 수용하는 것이 좋습니다.
만약 정답/해설과 다른 방법으로 풀고
틀린 이유를 찾거나, 맞은 이유를 알고 싶다면
상당히 유능한 선생님이 필요합니다.
( 그런 선생님을 꼭 만나실겁니다!! )
고등학교 1학년 2학기 과정이 끝났습니다.
다음은 수학1을 배우시면 되겠습니다.
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