톱 579 파이 값 구하기 업데이트 21 일 전

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원주율(圓周率), 파이( π, pi)는 원의 지름에 대한 원주(원둘레)의 비율을 뜻하며, 그 값은 약 3.14[1]이다. 원주율을 알고 있다면 원의 둘레의 길이를 구하기 위해 힘들게 줄자를 사용할 필요가 없다. 지름의 길이를 구해서 지름의 길이에 원주율을 곱하면 되기 때문이다.컴퓨터를 도입하기 이전에 가장 긴 자리수의 원주율을 계산한 사람은 영국의 수학자 샹크스였다. 그는 15년이나 걸려 1873년까지 소수점 이하 707자리까지 원주율 값을 계산해냈다. 하지만 후에 그 계산은 528자리까지만 정확한 것으로 밝혀졌다.원주란 원의 둘레를 말합니다. 원주의 길이와 지름의 길이가 표시된 두 개의 원이 있습니다.

원주율 – 나무위키

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Pi 계산하는 법 – wikiHow

Pi는 뷔퐁의 바늘 실험에서도 나옵니다. 이 실험은 바닥에 그어진 평행선들 위에 같은 길이의 물체들을 무작위로 던진 뒤 이 물체들이 선 사이나 선을 가로지르는 곳에 떨어질 가능성을 계산합니다. 만약 선들 사이의 거리가 던지는 물체의 길이와 같다면 여러 번 던졌을 경우, 선을 가로지르는 위치에 떨어지는 물체들의 수를 pi를 계산하는 데 쓸 수 있습니다.

과학자들은 아직 정확한 pi 값을 구하는 방법을 알아내지 못하였습니다. 원을 그리는 도구가 정밀한 계산을 가능케 할 정도로 얇아야 하는 데 이를 아직 찾기 못했기 때문입니다.[3]

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공식 사용하기. 원주 구하는 식은 C= π*d = 2*π*r입니다. 그러므로 pi는 원주를 지름으로 나눈 값입니다. 숫자들을 계산기 …

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π를 계산하는 특별한 방법

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Pi 계산하는 법

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과학자들은 아직 정확한 pi 값을 구하는 방법을 알아내지 못하였습니다. 원을 그리는 도구가 정밀한 계산을 가능케 할 정도로 얇아야 하는 데 이를 아직 찾기 못했기 때문입니다.[3]

Pi는 뷔퐁의 바늘 실험에서도 나옵니다. 이 실험은 바닥에 그어진 평행선들 위에 같은 길이의 물체들을 무작위로 던진 뒤 이 물체들이 선 사이나 선을 가로지르는 곳에 떨어질 가능성을 계산합니다. 만약 선들 사이의 거리가 던지는 물체의 길이와 같다면 여러 번 던졌을 경우, 선을 가로지르는 위치에 떨어지는 물체들의 수를 pi를 계산하는 데 쓸 수 있습니다.

원주율 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전

π 2 = 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋅ 8 7 ⋅ 8 9 ⋯ = ∏ n = 1 ∞ ( 4 ⋅ n 2 4 ⋅ n 2 − 1 ) {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4\cdot n^{2}}{4\cdot n^{2}-1}}\right)} 월리스 공식 1655년 π 2 6 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + 1 5 2 + 1 6 2 + 1 7 2 + 1 8 2 + 1 9 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{8^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}+\cdots } 오일러의 곱셈 공식 1735년[주해 5]

1949년 9월 최초로 컴퓨터를 이용하여 70시간에 걸쳐 소수점 아래 2,037자리까지 계산하였다. 원주율 계산에 컴퓨터를 도입한 이후 원주율 계산은 단순 알고리즘의 무한 반복에 불과한 작업이 되어 수학적 의미를 잃었다.[19] 이 계산은 종종 컴퓨터의 성능을 시험하기 위한 방법으로 사용한다.[18] 2005년 일본 도쿄 대학의 가네다 야스마사 교수는 컴퓨터를 601시간 56분 동안 사용하여 원주율을 소수점 1,241,100,000,000자리까지 구하였다. 2009년 〈도쿄신문〉에 따르면, 일본 쓰쿠바 대학 계산과학연구센터는 17일, 슈퍼컴퓨터를 사용한 원주율 계산에서, 2조 5769억 8037만 자리수의 세계기록을 수립했다고 한다. (73시간 59분 소요)[20][21] 그 이후 프랑스에서는 2조 7천억 자리까지 계산하였다.[22] 2010년 8월 3일에는 일본의 회사원 곤도 시게루(近藤茂)가 소수점 이하 5조 자리까지 계산하였다. (90일 7시간 소요, 검증 기간 포함 / PC 사용)[23] 2016년 11월 11일 스위스의 입자 물리학자인 페터 트뤼프(Peter Trüb)는 105일 동안 계산하여, 원주율을 소수점 이하 22조 4591억 5771만 8361자리( π e {\displaystyle \pi ^{e}} 조 개)까지 계산했다.[24]

원주율의 근삿값을 3.14로 할 때 오늘날의 계산은.

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원주율 파이는 어떻게 발견한걸까?

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위키백과, 우리 모두의 백과사전

원주율(圓周率, 문화어: 원주률)은 원둘레와 지름의 비 즉, 원의 지름에 대한 둘레의 비율을 나타내는 수학 상수이다. 수학과 물리학의 여러 분야에 두루 쓰인다. 그리스 문자 π로 표기하고, 파이(π)라고 읽는다.[1] 원주율은 수학에서 다루는 가장 중요한 상수 가운데 하나이다.[2] 무리수인 동시에 초월수이다. 아르키메데스의 계산이 널리 알려져 있어 아르키메데스 상수라고 부르기도 하며, 독일에서는 1600년대 뤼돌프 판 쾰런이 소수점 이하 35자리까지 원주율을 계산한 이후 뤼돌프 수라고 부르기도 한다.[3] 원주율의 값은 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781……으로, 순환하지 않는 무한소수(무리수)이기 때문에 근삿값으로 3.14 또는 3.141을 사용하거나 기호 파이(π)로 사용한다.

개요 [ 편집 ]

원의 지름이 1일 때, 원주는 π이다.

유클리드 평면에서 원은 크기와 관계없이 언제나 닮은 도형이다. 따라서 원의 지름에 대한 둘레의 비는 언제나 일정하며, 이를 원주율이라 한다. 즉, 원의 지름을 d, 둘레를 C라 하면 원주율 π는 다음의 식으로 나타낼 수 있다.[4]

π = C d {\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}

원주율을 나타내는 기호 π는 1706년 영국의 수학자 윌리엄 존스가 최초로 사용했다. 이것은 둘레를 뜻하는 고대 그리스어 “페리페레스”(περιφηρής) 또는 “페리메트론”(περίμετρον)의 첫 글자를 딴 것이다.[5] 윌리엄 존스는 “특정 도형의 길이나 넓이를 구하는 계산에 매우 유용한 방법이 여러 가지 있다. 원을 예로 들면 지름이 1인 원의 둘레를 약 3.14159…= π로 표기하는 것이다.”라고 기호 π의 사용을 제안하였다.[6]

원주율은 소수점 아래 어느 자리에서도 끝나지 않고, 순환마디도 없이 무한히 계속되는 비순환소수이다. 원주율이 무리수라는 것은 1761년 요한 하인리히 람베르트가 증명했다. 원주율의 소수점 이하에서 나타나는 수열은 무작위 표집을 통해 만드는 난수표와 성질이 같다.[7] 원주율은 십진법으로는 값을 정확하게 표기할 수 없기 때문에 실제 계산에서는 근삿값을 이용한다.

2 원의 넓이 = π × 반지름

원의 둘레 = π × 지름

다빈치의 원의 넓이 계산

한편, 원주율은 계수가 유리수인 유한 차수 다항식의 해가 될 수 없다. 이러한 종류의 수를 초월수라 부른다. 이 사실은 1882년 페르디난트 폰 린데만이 증명하였다. 여기에서 원주율은 어떤 정수에 적당한 유리수를 곱하고 제곱근을 씌우는 등의 연산을 조합하여 얻어낼 수 없다는 사실을 알 수 있다. 또한 원주율이 초월수라는 사실을 통해, 그리스 3대 난제 중 하나였던 “자와 컴퍼스만을 사용하여 원과 넓이가 같은 정사각형을 작도하는 원적문제”가 유한한 대수적 방법으로는 불가능하다는 것을 증명할 수 있다.

유클리드 기하학에서 원과 원주율의 관계를 살펴보면 다음과 같은 사실을 확인할 수 있다.[8]

원의 둘레를 구하는 식은 원주율의 정의와 같다.

원의 둘레 = 지름 × 원주율

원의 넓이를 구하는 방법은 아르키메데스 시대 이후 여러 가지 기법이 알려져 있다. 널리 사용하는 방법 가운데 하나는 레오나르도 다빈치가 고안한 것으로, 정육각형을 이용한 구적법이다. 레오나르도 다빈치는 왼쪽 그림과 같이 정육각형을 이용하여 분할한 원을 직사각형으로 치환하여 원의 넓이를 계산하였다.[9]

원의 넓이 = 원주율 × 반지름2

원주율이 보이는 복잡한 수열에 비해 이를 계산하는 방법은 의외로 단순하다. 라이프니츠가 정리한 다음 계산식이 널리 알려져 있다.

π = 4 ( 1 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − 1 11 + 1 13 − 1 15 + 1 17 − 1 19 + 1 21 − 1 23 + 1 25 − 1 27 + 1 29 − 1 31 + ⋯ ) {\displaystyle \pi =4\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}-{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{17}}-{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{21}}-{\frac {1}{23}}+{\frac {1}{25}}-{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{29}}-{\frac {1}{31}}+\cdots \right)}

역사 [ 편집 ]

고대 [ 편집 ]

고대의 여러 문화에서 원주율의 값으로 3이 쓰였다. 고대 메소포타미아에서도 원주율을 3으로 계산하였고[10], 구약성경 열왕기상 7장 23절과 역대하 4장 2절에는 직경과 둘레의 길이를 기술하여 원주율이 3정도 임을 알고 있었다고 추측된다. 고대 중국의 수학책인 《구장산술》에서도 3을 원주율로 제시하였다. 《구장산술》에는 다음과 같은 문제가 실려 있다.[11]

원문 번역 今有圓田周三十步經十步問爲田幾何

答曰七十五步 둘레가 30걸음, 지름이 10걸음인 원 모양의 밭이 있다면 넓이는 얼마인가?

답: 75걸음² 원주율의 근삿값을 3.14로 할 때 오늘날의 계산은 π ∗ 5 2 = 3.14 ∗ 5 2 = 78.5 {\displaystyle \pi *5^{2}=3.14*5^{2}=78.5}

구장산술의 계산은 평균값으로 이루어져있다. (1) 원둘레가 30보인 경우 반지름은 30=2r*3.14 r=4.78 이경우의 면적은 71.74 (2) 지름이 10보인 경우 면적은 78.5. (1)과 (2)의 평균은 75보. 그러므로 구장산술의 계산이 부정확하다는 것은 잘못되었다.

원에 내접하는 정육각형

구장산술에 실린 계산이 매우 부정확하다는 것은 왼쪽 그림을 보면 쉽게 알 수 있다. 지름이 1인 원에 내접하는 정육각형의 둘레는 3이고 실제 원의 둘레는 그것과는 차이가 상당하기 때문이다.[12] 이는 고대에서부터 이미 널리 알려진 문제였고 값을 보다 정확하게 구하기 위한 노력이 계속되었다. 고대 이집트에서는 원통형 바퀴를 굴려 직접 측정해 원주율을 계산하였는데 256⁄81=3.16049……를 사용하였다.[10]

원에 외접하는 다각형과 내접하는 다각형의 둘레를 이용한 아르키메데스의 원주율 계산

한편 기원전 3세기의 고대 그리스 수학자 아르키메데스는 근대 적분이 없었던 당시에 무한소라는 개념을 사용하였다. 그는 소거법을 사용하여 π {\displaystyle \pi } 의 근삿값을 계산하였다. 이 방법은 임의 차원의 미지항에 대해 극한을 취하는 것으로, 귀류법을 사용하여 동일한 계산을 반복하는 과정을 통해 해답을 얻는 것이다. 아르키메데스는 변이 매우 많은 다각형이 임의의 원에 내접하는 경우와 외접하는 경우를 비교하여 원주율을 계산하였다. 즉, 임의의 원의 둘레는 그것에 외접하는 다각형의 둘레보다 짧고 내접하는 다각형보다 길다. 이때 다각형의 변이 많아질수록 외접하는 경우와 내접하는 경우의 둘레 차는 작아지므로 원의 둘레에 근사한다. 즉, 지름이 d인 원에 내접하는 변의 개수가 n인 정다각형의 둘레 P n 에 대해 다음과 같이 함수의 극한을 취하면 원주율을 얻을 수 있다.

π = lim n → ∞ P n d . {\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n}}{d}}.}

아르키메데스는 정구십육각형을 이용하여 π {\displaystyle \pi } 의 값을 다음과 같이 계산하였다.[13]

3 10 71 < π < 3 1 7 ≈ 3.1408 < π < 3.1429 {\displaystyle 3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}\approx 3.1408<\pi <3.1429} 아르키메데스는 이 결과에 따라 π {\displaystyle \pi } 의 근삿값으로 3.1416을 제시하였다. 또한, 아르키메데스는 원의 면적이 π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} 임을 증명하였다. 아르키메데스는 자신의 저서 《구와 원기둥》에서 어떠한 크기가 주어지더라도 임의의 크기에 적당한 수를 곱하여 주어진 크기를 초과할 수 있다고 가정하였다. 이를 실수에서의 아르키메데스 성질이라고 한다.[14] 중국의 삼국시대 위나라 수학자 유휘는 《구장산술》에 주해를 달아 다시 출판하였는데, 아르키메데스와 같은 방법을 사용하여 원주율을 157⁄50=3.14 로 계산하였다. 유휘가 계산한 원주율 근삿값은 오늘날에도 일상생활에서 사용한다.[15] 2세기에 들어 중국의 장형은 원주율을 3.1623으로 계산하였고[16] 5세기 중국 남북조 시대 송나라의 조충지는 3.141592로 계산하였다.[17] 독일에서는 1600년대 뤼돌프 판 쾰런이 소수점 이하 35자리까지 계산하였다.[3] 컴퓨터를 도입하기 이전에 가장 긴 자리수의 원주율을 계산한 사람은 영국의 수학자 샹크스였다. 그는 15년이나 걸려 1873년까지 소수점 이하 707자리까지 원주율 값을 계산해냈다. 하지만 후에 그 계산은 528자리까지만 정확한 것으로 밝혀졌다.[18] 컴퓨터를 통한 원주율 계산 [ 편집 ] 1949년 9월 최초로 컴퓨터를 이용하여 70시간에 걸쳐 소수점 아래 2,037자리까지 계산하였다. 원주율 계산에 컴퓨터를 도입한 이후 원주율 계산은 단순 알고리즘의 무한 반복에 불과한 작업이 되어 수학적 의미를 잃었다.[19] 이 계산은 종종 컴퓨터의 성능을 시험하기 위한 방법으로 사용한다.[18] 2005년 일본 도쿄 대학의 가네다 야스마사 교수는 컴퓨터를 601시간 56분 동안 사용하여 원주율을 소수점 1,241,100,000,000자리까지 구하였다. 2009년 〈도쿄신문〉에 따르면, 일본 쓰쿠바 대학 계산과학연구센터는 17일, 슈퍼컴퓨터를 사용한 원주율 계산에서, 2조 5769억 8037만 자리수의 세계기록을 수립했다고 한다. (73시간 59분 소요)[20][21] 그 이후 프랑스에서는 2조 7천억 자리까지 계산하였다.[22] 2010년 8월 3일에는 일본의 회사원 곤도 시게루(近藤茂)가 소수점 이하 5조 자리까지 계산하였다. (90일 7시간 소요, 검증 기간 포함 / PC 사용)[23] 2016년 11월 11일 스위스의 입자 물리학자인 페터 트뤼프(Peter Trüb)는 105일 동안 계산하여, 원주율을 소수점 이하 22조 4591억 5771만 8361자리( π e {\displaystyle \pi ^{e}} 조 개)까지 계산했다.[24] 원주율의 값 [ 편집 ] π {\displaystyle \pi } 값의 소수점 아래 1,000자리 수는 다음과 같다. 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989... 수학적 특성 [ 편집 ] 원주율은 두 정수의 비로 나타낼 수 없는 무리수이다. 또한, 계수가 유리수인 다항식의 근이 될 수 없는 초월수이다. 무리수 [ 편집 ] 원주율이 무리수라는 것은 1761년에 요한 하인리히 람베르트가 증명했다.[25] 람베르트는 다음과 같이 탄젠트 함수의 연분수 전개식을 이용하여 이를 증명하였다.[26] tan ⁡ ( x ) = x 1 − x 2 3 − x 2 5 − x 2 7 − ⋱ {\displaystyle \tan(x)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-{}\ddots }}}}}}}}} x {\displaystyle x} 가 0 {\displaystyle 0} 이 아닌 유리수일 때 위에 전개된 연분수를 십진기수법으로 나타내면 언제나 순환하지 않는 소수이므로 항상 무리수이다. 한편, tan ⁡ ( π 4 ) = 1 {\displaystyle \tan({\frac {\pi }{4}})=1} 이므로 π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} 는 반드시 무리수여만 한다. 따라서 π {\displaystyle \pi } 역시 무리수이다.[27][주해 1] 초월수 [ 편집 ] e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;\;\!} 오일러 등식 은 기초 수학의 여러 개념에서 빈번하게 등장한다. 원주율이 초월수임은 오일러 등식을 이용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.[28] 오일러 등식은, e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;\;\!} [주해 2] 이다. 이 때 π가 정계수 대수방정식 ζ ( x ) = 0 {\displaystyle \zeta (x)=0} 의 근이라면 ζ ( π ) = 0 {\displaystyle \zeta (\pi )=0} 이다. 따라서 ζ ( π ) ⋅ ζ ( − π ) = 0 {\displaystyle \zeta (\pi )\cdot \zeta (-\pi )=0} 역시 성립하여야 한다. 이제 y=iπ라 하면 π=-iy 이고 -π=iy 이므로, iπ는 다음 식으로 나타낼 수 있는 정계수 대수방정식을 만족시켜야 한다. ζ ( π ) ⋅ ζ ( − π ) = Ψ ( y ) = 0 {\displaystyle \zeta (\pi )\cdot \zeta (-\pi )=\Psi (y)=0} 이제 Ψ ( y ) = 0 {\displaystyle \Psi (y)=0} 을 ν차원의 방정식이라 하면 그 근인 y 1 , y 2 ,……, y ν 에는 iπ가 존재하여야 하므로, 식 (1)에 따라 다음과 같이 나타낼 수 있다. ( 1 + e y 1 ) ( 1 + e y 2 ) ⋯ ( 1 + e y ν ) = 0 {\displaystyle (1+e^{y_{1}})(1+e^{y_{2}})\cdots (1+e^{y_{ u }})=0} 그런데 이러한 관계를 만족하는 대수방정식의 근이 유리수라고 가정하면 무한히 약분할 수 있어서, 이를 기약분수로 표현할 수 없는 모순이 생긴다.[주해 3] 유리수를 기약분수로 표현할 수 없다는 것은 유리수의 정의에 어긋나므로 π가 정계수 대수방정식 ζ ( x ) = 0 {\displaystyle \zeta (x)=0} 의 근이라는 최초의 가정이 잘못되었다고 볼 수밖에 없다. 즉, 원주율은 초월수이다. 자세한 증명은 링크한 주석을 참고하기 바란다.[29] 수열 [ 편집 ] 개요에서 밝혔듯이 원주율은 반복되지 않고 무한히 계속되는 수열을 이룬다. 네덜란드 수학자 라위트전 브라우어르는 다음과 같은 질문을 제기하였다.[30] 원주율 π = 3.141592……의 전개에서 계속되는 소수의 수열에 9가 연속적으로 100회 나타날까? 브라우어르는 이 수열이 무한히 계속되기 때문에 이 수열을 어느 정도까지만 확인한 결과만으로는 위 질문에 답할 수 없다는 점을 지적하였다. 실제 소수점 이하 762번째에서부터 수열 999999 가 출현한다. 이 수열은 파인만 포인트로 알려져 있으며 원주율의 소수점 이하 수열에서 확률 0.08%로 발견할 수 있는 것으로 알려져 있다.[31] 따라서 경험적 방법으로는 위 문제에 답할 수 없다. 브라우어르는 이러한 논의를 바탕으로 아리스토텔레스의 배중률[주해 4] 은 유한한 개수를 대상으로 한 것에만 적용 수 있을 뿐 무한한 것에 적용할 수 없다고 결론지었다.[30] 원주율에서 나타나는 수열은 무작위 표집을 사용해 만든 난수표의 성질을 보인다. 하지만, 실제 원주율의 수열이 완전한 무작위성을 보이는지는 증명되지 않았다.[7] 계산식 [ 편집 ] 원주율은 무리수이기 때문에 그 값은 근삿값으로밖에 알 수 없다. 대부분의 계산에는 3.14나 22/7 라는 근삿값을 사용해도 충분하다. 355/113은 외우기 좋고, 정밀도도 좋다. 좀 더 정밀한 기술의 계산에서는 3.1416 또는 3.14159 등을 사용하기도 한다. 기상 예보나 인공 위성 등의 계산에는 소수점 아래 30자리까지 나아간 근삿값을 사용하고 있다. 이렇게 불규칙적인 패턴을 가지는 원주율은 다음과 같이 규칙적인 수식을 이용하여 계산할 수 있다. 더 정확한 값을 얻으려면 수식을 연장하기만 하면 된다.[19] π = 4 ( 1 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − 1 11 + 1 13 − 1 15 + 1 17 − 1 19 + 1 21 − 1 23 + 1 25 − 1 27 + 1 29 − 1 31 + 1 33 − ⋯ ) {\displaystyle \pi =4\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}-{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{17}}-{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{21}}-{\frac {1}{23}}+{\frac {1}{25}}-{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{29}}-{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{33}}-\cdots \right)} 위 식은 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 전개한 것으로 흔히 라이프니츠의 공식이라고 부른다. 이 식 외에도 원주율을 계산하는 공식으로는 다음과 같은 것이 있다.[32] π 2 = 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋅ 8 7 ⋅ 8 9 ⋯ = ∏ n = 1 ∞ ( 4 ⋅ n 2 4 ⋅ n 2 − 1 ) {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4\cdot n^{2}}{4\cdot n^{2}-1}}\right)} 월리스 공식 1655년 π 2 6 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + 1 5 2 + 1 6 2 + 1 7 2 + 1 8 2 + 1 9 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{8^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}+\cdots } 오일러의 곱셈 공식 1735년[주해 5] 17세기의 프랑스 수학자 프랑수아 비에트는 다음과 같은 무한급수로 원주율을 계산하였다.[33][34] 2 2 ⋅ 2 + 2 2 ⋅ 2 + 2 + 2 2 ⋯ = 2 π {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots ={\frac {2}{\pi }}} 또한, 스털링 근사를 사용해 원주율을 유도할 수도 있다.[35] n ! ≈ 2 π n ( n e ) n {\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}} 원주율은 다음과 같이 연분수로 표현할 수 있다.[36] 4 π = 1 + 1 3 + 4 5 + 9 7 + 16 9 + 25 11 + 36 13 + ⋱ {\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {4}{5+{\cfrac {9}{7+{\cfrac {16}{9+{\cfrac {25}{11+{\cfrac {36}{13+\ddots }}}}}}}}}}}}} 1996년 데이빗 베일리는 피터 보어와인, 시몽 플루프와 공동으로 π에 관련된 새로운 무한급수를 발견했다. π = ∑ k = 0 ∞ 1 16 k ( 4 8 k + 1 − 2 8 k + 4 − 1 8 k + 5 − 1 8 k + 6 ) {\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)} 이 식을 이용하면 2진수 그리고 16진수로 표기한 π값의 소수점 아래 n자리 값을 n-1째 자리까지 구하지 않고 바로 계산해 낼 수 있다. 베일리의 홈페이지 에선 다양한 프로그래밍 언어를 이용해 구현한 실제 예를 볼 수 있다. 적용 [ 편집 ] 원주율은 수학과 물리학 등 여러 분야에서 다양하게 적용한다. 기하학 [ 편집 ] 아르키메데스는 원과 구의 다음과 같은 성질을 증명하였다.[37] 반지름 r 인 원의 둘레： C = 2 π r {\displaystyle C=2\pi r} 인 원의 둘레： 반지름 r 인 원의 넓이： A = π r 2 {\displaystyle A=\pi r^{2}} 인 원의 넓이： 반지름 r 인 구의 부피： V = 4 3 π r 3 {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}} 인 구의 부피： 반지름 r 인 구의 겉넓이： A = 4 π r 2 {\displaystyle A=4\pi r^{2}} 한편, 원은 이심률이 0인 타원으로 간주할 수 있으며 이에 따라 타원 방정식은 일반적으로 다음과 같이 표현한다.[38] x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} 이 때 타원의 넓이를 A라 하면 다음과 같이 계산할 수 있다. A = π a b {\displaystyle A=\pi ab} 라디안의 정의 각의 크기를 나타내는 무차원 단위인 라디안은 오른쪽 그림과 같이 정의하여 반지름과 호의 길이가 같을 때 1라디안이 된다. 따라서, 원 전체는 2π라디안이고 이를 도로 환산하면 다음과 같다.[38] π라디안 = 180° 바젤 문제 [ 편집 ] 1687년 스위스의 바젤의 수학 교수였던 야코프 베르누이와 요한 베르누이 형제는 조화급수가 발산한다는 사실을 증명하였다. 그러나, 조화급수의 각 분모를 제곱한 다음 식을 닫힌 형식으로 나타내는 것에는 실패하였으며 논문의 끝에 이 문제를 해결하였다면 알려주기 바란다고 적었다. 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots } 당대의 유명한 수학자들이 이 문제를 풀기 위해 시도하였으나 결국 실패하였고, 이 문제는 바젤 문제로 알려지며 해석학자의 악몽으로까지 불리게 되었다. 이를 해결한 사람은 레온하르트 오일러로 1735년에 이 급수의 값이 다음과 같다는 것을 증명하였다. π 2 6 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots } 후일 이 급수는 다음과 같은 일반식으로 표현되었는데 이것이 리만 제타 함수이다.[39] {\displaystyle \!} 리만 제타 함수는 s가 짝수일 때 위 식을 이용하여 그 값을 쉽게 계산할 수 있으나 홀수일 때는 자명하지 않다. 1978년 s가 3일 때 무리수로 수렴하는 것이 증명되었다. 이 수렴값은 아페리 상수라고 한다.[40] 복소수 계산 [ 편집 ] φ 가 π 라디안(180°)으로 증가하는 동안 오일러 등식이 성립함을 보인다. 복소평면 에 그린 오일러의 공식 . 각라디안(180°)으로 증가하는 동안 오일러 등식이 성립함을 보인다. 복소수 z {\displaystyle z} 는 극좌표계를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.[41] z = r ⋅ ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ ) {\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )} 복소해석학에서 π는 복소수 변수가 지수 함수에서 보이는 행동과 연관이 있으며 오일러의 공식에 따라 다음과 같이 표현할 수 있다. e i φ = cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi \!} i는 허수 단위이기 때문에 i2 = −1 이므로 이를 π라디안(=180°)과 함께 자연로그의 밑 e의 지수로 표현하면 다음과 같은 오일러 등식을 얻는다. e i π = − 1. {\displaystyle e^{i\pi }=-1.\!} 따라서 n 번째 단위근은 다음과 같다. e 2 π i k / n ( k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 … , n − 1 ) {\displaystyle e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\dots ,n-1)} 이제 가우스 적분으로 나타내면, ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}} 이 결과는 반정수의 감마 함수가 √π의 유리수 곱임을 뜻한다. 확률과 통계 [ 편집 ] 확률과 통계에서 원주율이 등장하는 정리들은 다음과 같은 것들이 있다. 정규분포를 따르는 확률분포의 평균을 μ, 표준편차를 σ라 하면, 가우스 적분의 값을 상쇄하기 위해 정규분포의 확률 밀도 함수는 f ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 {\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}} 이 된다.[42] f ( x ) = 1 π ( 1 + x 2 ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}} 참고로, 모든 확률 밀도 함수는 다음과 같이 적분한다.[44] ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1} 조르주루이 르클레르 드 뷔퐁이 제기한 뷔퐁의 바늘 문제는 원주율의 근삿값을 구하는 경험주의적인 방법으로 거론된다. 길이가 L인 바늘을 일정 간격으로 그린 평행선에 떨어뜨린다고 가정해 보자. 이 때 평행선의 간격 S가 바늘의 길이보다 크다고 하면, 바늘을 떨어뜨린 횟수 n번에 대해 바늘이 평행선 밖으로 나간 횟수 x번(단, x>0)에는 몬테카를로 방법에 의해 다음과 같은 관계가 있다.[45]

π ≈ 2 n L x S . {\displaystyle \pi \approx {\frac {2nL}{xS}}.}

즉, 뷔퐁의 바늘 문제에서 바늘을 떨어뜨리는 횟수가 매우 많아지면 바늘이 평행선을 벗어나는 횟수에 대한 바늘을 떨어뜨린 전체 횟수의 비는 원주율에 근사한다.

물리학 [ 편집 ]

회전하는 물체에는 각속도 가 있다

원주율 자체는 물리 상수가 아니지만 물리학의 여러 분야에서 두루 사용한다. 이는 자연 현상의 상당수가 원과 관계가 있기 때문이다. 예를 들어 회전수를 일정하게 유지하는 등속원운동에서 각속도와 원주속도는 다음과 같이 계산할 수 있다.[46]

각속도를 ω (= θ / 초), 분당 회전수를 N이라 하면 ω = 2 π N 60 {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi N}{60}}} 이때, 반지름을 r이라 하면 원주속도 v는 v = r ⋅ ω = 2 r π N 60 {\displaystyle v=r\cdot \omega ={\frac {2r\pi N}{60}}}

이 외에 물리학에서 원주율을 사용하는 경우는 다음과 같다.

불확정성 원리에 따라, 양자 역학적인 물리량은 동시에 정확히 관찰할 수 없다. 예를 들어 입자의 특정 위치를 Δ x라 하고 이 때의 운동량을 Δ p 라 하면, 이 둘의 크기를 둘 다 정확히 관찰할 수는 없으며 다음 식을 사용해 확률적으로만 계산한다.[47]

Δ x Δ p ≥ h 4 π {\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}

같이 보기 [ 편집 ]

주해 [ 편집 ]

참고 [ 편집 ]

파이(π) 값 소숫점 아래 62조8000억 번째 자리까지 알아냈다 …

이후 y-크런처는 원주율을 계산하는 대표적인 프로그램이 됐다. 구글 클라우드 개발자인 엠마 하루카 이와오는 클라우드 컴퓨팅 기술을 이용해 20여 개의 엔진 클러스터에서 y-크런처를 이용해 원주율을 계산했고, 121일간 170TB의 데이터를 사용해 소수점 아래 31조4159억2653만5897번째 자리까지 계산하며 2019년 새로운 원주율 기록을 세웠다. 지난해 50조 번째 자릿수를 달성한 멀리컨도 y-크런처를 사용했다. 그라운뷘덴 응용과학대 연구진도 y-크런처를 이용해 16진법으로 계산된 원주율 값을 10진법으로 변환했으며, 이 과정에 3주가량이 걸렸다고 밝혔다.

NASA는 지구에서 가장 먼 지점을 탐사 중인 보이저 1호의 궤도를 예로 들어 원주율을 소수점 아래 15번째 자리까지 사용하면 보이저 1호가 지구에서 250억 마일(약 402억km) 떨어진 지점에 있을 때 이를 반지름으로 하는 원둘레 오차가 1.5인치(약 3.8cm) 수준에 불과하다고 설명했다. NASA는 450억 광년인 우리은하의 둘레를 양성자 크기(1000억분의 1m)보다 작은 오차로 계산하는 데는 원주율이 소수점 아래 39~40자리 정도면 충분하다고 덧붙였다.

그라운뷘덴 응용과학대 ‘데이터 분석·시각화 및 시뮬레이션 센터(DAViS)’는 ‘파이 챌린지’를 통해 세계에서 가장 정확한 원주율을 계산하는 프로젝트를 진행해왔다. 파이 챌린지는 원주율 자체를 정확하게 알아낸다는 목표도 있었지만, 원주율을 계산하는 과정에서 제한된 예산과 컴퓨터 성능, 메모리 수 등 슈퍼컴퓨터의 물리적 한계를 극복할 수 있는 계산 알고리즘을 확립한다는 목적이 더 컸다.

17 thg 8, 2021 — 연구진이 이를 이용해 원주율 계산에 사용한 데이터는 510TB에 이른다. 연구진은 원주율을 구하는 데 사용한 계산법을 스위스국립알레르기및천식연구(SIAF) …

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EBS.넘버스.아르키메데스의 파이 구하기.파이 외우기 기네스북

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파이(π) 값 소숫점 아래 62조8000억 번째 자리까지 알아냈다…세계 기록 경신

스위스 그라운뷘덴 응용과학대, 108일 9시간 걸려 계산

픽사베이 제공

스위스 연구진이 파이(π) 값을 소수점 아래 62조8000억 번째 자리까지 밝혀내 세계에서 가장 정확한 원주율을 알아내는 데 성공했다. 직전 최고 기록은 지난해 1월 미국의 티모시 멀리컨이 세운 소수점 이하 50조 번째 자리였다.

AFP통신은 16일(현지 시간) 스위스 그라운뷘덴 응용과학대 연구진이 슈퍼컴퓨터를 이용해 원주율을 소수점 아래 62조8000억 번째 자리까지 계산하며 새로운 세계 기록을 세웠다고 보도했다. 연구진이 이를 계산하는 데 걸린 기간은 108일 9시간으로 50조 번째 자리까지 계산하는 데 걸린 303일을 3배가량 단축했다.

그라운뷘덴 응용과학대 ‘데이터 분석·시각화 및 시뮬레이션 센터(DAViS)’는 ‘파이 챌린지’를 통해 세계에서 가장 정확한 원주율을 계산하는 프로젝트를 진행해왔다. 파이 챌린지는 원주율 자체를 정확하게 알아낸다는 목표도 있었지만, 원주율을 계산하는 과정에서 제한된 예산과 컴퓨터 성능, 메모리 수 등 슈퍼컴퓨터의 물리적 한계를 극복할 수 있는 계산 알고리즘을 확립한다는 목적이 더 컸다.

연구진은 140일 이내에 원주율을 계산해낸다는 목표로 지난해 4월 28일 파이 챌린지를 시작했고, 이달 14일(현지 시간) 소수점 아래 62조8318억5307만1796번째 자리까지 계산하는 데 성공했다. 이들이 계산한 원주율의 마지막 열 자리는 ‘7817924264’다.

연구진은 이를 위해 AMD의 에픽(EPYC) 7542 CPU(중앙처리장치) 2개와 램 1테라바이트(TB), 16TB 용량의 7200RPM 하드디스크 38개 등이 탑재된 슈퍼컴퓨터를 이용했다. 연구진이 이를 이용해 원주율 계산에 사용한 데이터는 510TB에 이른다.

연구진은 원주율을 구하는 데 사용한 계산법을 스위스국립알레르기및천식연구(SIAF)에서 DNA의 염기서열을 분석하는 데 활용할 계획이다. 또 머신러닝의 학습 능력을 끌어올리기 위한 정부 프로젝트에도 적용할 계획이다.

연구를 이끈 하이코 롤케 교수는 “원주율 계산을 준비하고 수행하는 과정에서 많은 노하우를 축적했고, 계산 프로세스를 최적화할 수 있었다”며 “이를 RNA 분석, 유체역학 시뮬레이션 등에 활용할 수 있을 것”이라고 말했다.

스위스 그라운뷘데 응용과학대 연구진이 원주율을 소수점 아래 62조8000억 번째 자리까지 계산하는 데 성공했다고 밝히며 공개한 계산 과정. 연구진은 이 화면 아래에 “원주율 계산을 성공적으로 완료했다”고 밝혔다. 그라운뷘데 응용과학대 제공

최근 원주율의 소수점 계산은 슈퍼컴퓨터의 성능을 테스트하는 기준으로 여겨지고 있다. 계산이 복잡할수록 하드웨어나 소프트웨어가 중단될 수 있고, 오류가 생길 가능성도 크기 때문이다.

2002년 가나다 야스마사 일본 도쿄대 교수팀은 소수점 아래 1조2411억 자릿수까지 계산하며 처음으로 원주율의 소수점 1조 자리 시대를 열었다. 당시 가나다 교수팀은 병렬 슈퍼컴퓨터인 히타치 SR800/MPP를 사용해 600시간(25일) 만에 계산을 끝냈다.

이후 2011년 일본의 회사원인 곤도 시게루가 자신이 직접 조립한 48TB 용량의 하드디스크를 장착한 개인용 컴퓨터와 미국 대학원생이 개발한 새로운 계산 프로그램인 ‘y-크런처’를 이용해 처음으로 원주율 값을 소수점 아래 10조 자리까지 계산하는 데 성공했다. 여기에 걸린 시간은 1년이 조금 넘는 371일이었다.

이후 y-크런처는 원주율을 계산하는 대표적인 프로그램이 됐다. 구글 클라우드 개발자인 엠마 하루카 이와오는 클라우드 컴퓨팅 기술을 이용해 20여 개의 엔진 클러스터에서 y-크런처를 이용해 원주율을 계산했고, 121일간 170TB의 데이터를 사용해 소수점 아래 31조4159억2653만5897번째 자리까지 계산하며 2019년 새로운 원주율 기록을 세웠다. 지난해 50조 번째 자릿수를 달성한 멀리컨도 y-크런처를 사용했다. 그라운뷘덴 응용과학대 연구진도 y-크런처를 이용해 16진법으로 계산된 원주율 값을 10진법으로 변환했으며, 이 과정에 3주가량이 걸렸다고 밝혔다.

원주율은 다양한 과학기술 분야에 활용되지만 실제로 수십 조 자릿수까지 필요한 것은 아니다. 2016년 미국항공우주국(NASA) 제트추진연구소(JPL)는 원주율은 소수점 아래 열다섯 번째 자리(3.141592653589793)까지만 이용하면 행성 간 탐사에 필요한 값을 정확히 계산할 수 있다고 설명했다.

NASA는 지구에서 가장 먼 지점을 탐사 중인 보이저 1호의 궤도를 예로 들어 원주율을 소수점 아래 15번째 자리까지 사용하면 보이저 1호가 지구에서 250억 마일(약 402억km) 떨어진 지점에 있을 때 이를 반지름으로 하는 원둘레 오차가 1.5인치(약 3.8cm) 수준에 불과하다고 설명했다. NASA는 450억 광년인 우리은하의 둘레를 양성자 크기(1000억분의 1m)보다 작은 오차로 계산하는 데는 원주율이 소수점 아래 39~40자리 정도면 충분하다고 덧붙였다.

Pi 계산하는 법

공식 사용하기. 원주 구하는 식은 C= π*d = 2*π*r입니다. 그러므로 pi는 원주를 지름으로 나눈 값입니다. 숫자들을 계산기 …

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Can Any of You Memorize Pi?? Memorizing up to the 10,000th Number!!

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π 2 = 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋅ 8 7 ⋅ 8 9 ⋯ = ∏ n = 1 ∞ ( 4 ⋅ n 2 4 ⋅ n 2 − 1 ) {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4\cdot n^{2}}{4\cdot n^{2}-1}}\right)} 월리스 공식 1655년 π 2 6 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + 1 5 2 + 1 6 2 + 1 7 2 + 1 8 2 + 1 9 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{8^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}+\cdots } 오일러의 곱셈 공식 1735년[주해 5]

1949년 9월 최초로 컴퓨터를 이용하여 70시간에 걸쳐 소수점 아래 2,037자리까지 계산하였다. 원주율 계산에 컴퓨터를 도입한 이후 원주율 계산은 단순 알고리즘의 무한 반복에 불과한 작업이 되어 수학적 의미를 잃었다.[19] 이 계산은 종종 컴퓨터의 성능을 시험하기 위한 방법으로 사용한다.[18] 2005년 일본 도쿄 대학의 가네다 야스마사 교수는 컴퓨터를 601시간 56분 동안 사용하여 원주율을 소수점 1,241,100,000,000자리까지 구하였다. 2009년 〈도쿄신문〉에 따르면, 일본 쓰쿠바 대학 계산과학연구센터는 17일, 슈퍼컴퓨터를 사용한 원주율 계산에서, 2조 5769억 8037만 자리수의 세계기록을 수립했다고 한다. (73시간 59분 소요)[20][21] 그 이후 프랑스에서는 2조 7천억 자리까지 계산하였다.[22] 2010년 8월 3일에는 일본의 회사원 곤도 시게루(近藤茂)가 소수점 이하 5조 자리까지 계산하였다. (90일 7시간 소요, 검증 기간 포함 / PC 사용)[23] 2016년 11월 11일 스위스의 입자 물리학자인 페터 트뤼프(Peter Trüb)는 105일 동안 계산하여, 원주율을 소수점 이하 22조 4591억 5771만 8361자리( π e {\displaystyle \pi ^{e}} 조 개)까지 계산했다.[24]

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EBS 클립뱅크(Clipbank) – 원주율 3.14(Pi 3.14)

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원주율(圓周率, 문화어: 원주률)은 원둘레와 지름의 비 즉, 원의 지름에 대한 둘레의 비율을 나타내는 수학 상수이다. 수학과 물리학의 여러 분야에 두루 쓰인다. 그리스 문자 π로 표기하고, 파이(π)라고 읽는다.[1] 원주율은 수학에서 다루는 가장 중요한 상수 가운데 하나이다.[2] 무리수인 동시에 초월수이다. 아르키메데스의 계산이 널리 알려져 있어 아르키메데스 상수라고 부르기도 하며, 독일에서는 1600년대 뤼돌프 판 쾰런이 소수점 이하 35자리까지 원주율을 계산한 이후 뤼돌프 수라고 부르기도 한다.[3] 원주율의 값은 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781……으로, 순환하지 않는 무한소수(무리수)이기 때문에 근삿값으로 3.14 또는 3.141을 사용하거나 기호 파이(π)로 사용한다.

개요 [ 편집 ]

원의 지름이 1일 때, 원주는 π이다.

유클리드 평면에서 원은 크기와 관계없이 언제나 닮은 도형이다. 따라서 원의 지름에 대한 둘레의 비는 언제나 일정하며, 이를 원주율이라 한다. 즉, 원의 지름을 d, 둘레를 C라 하면 원주율 π는 다음의 식으로 나타낼 수 있다.[4]

π = C d {\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}

원주율을 나타내는 기호 π는 1706년 영국의 수학자 윌리엄 존스가 최초로 사용했다. 이것은 둘레를 뜻하는 고대 그리스어 “페리페레스”(περιφηρής) 또는 “페리메트론”(περίμετρον)의 첫 글자를 딴 것이다.[5] 윌리엄 존스는 “특정 도형의 길이나 넓이를 구하는 계산에 매우 유용한 방법이 여러 가지 있다. 원을 예로 들면 지름이 1인 원의 둘레를 약 3.14159…= π로 표기하는 것이다.”라고 기호 π의 사용을 제안하였다.[6]

원주율은 소수점 아래 어느 자리에서도 끝나지 않고, 순환마디도 없이 무한히 계속되는 비순환소수이다. 원주율이 무리수라는 것은 1761년 요한 하인리히 람베르트가 증명했다. 원주율의 소수점 이하에서 나타나는 수열은 무작위 표집을 통해 만드는 난수표와 성질이 같다.[7] 원주율은 십진법으로는 값을 정확하게 표기할 수 없기 때문에 실제 계산에서는 근삿값을 이용한다.

2 원의 넓이 = π × 반지름

원의 둘레 = π × 지름

다빈치의 원의 넓이 계산

한편, 원주율은 계수가 유리수인 유한 차수 다항식의 해가 될 수 없다. 이러한 종류의 수를 초월수라 부른다. 이 사실은 1882년 페르디난트 폰 린데만이 증명하였다. 여기에서 원주율은 어떤 정수에 적당한 유리수를 곱하고 제곱근을 씌우는 등의 연산을 조합하여 얻어낼 수 없다는 사실을 알 수 있다. 또한 원주율이 초월수라는 사실을 통해, 그리스 3대 난제 중 하나였던 “자와 컴퍼스만을 사용하여 원과 넓이가 같은 정사각형을 작도하는 원적문제”가 유한한 대수적 방법으로는 불가능하다는 것을 증명할 수 있다.

유클리드 기하학에서 원과 원주율의 관계를 살펴보면 다음과 같은 사실을 확인할 수 있다.[8]

원의 둘레를 구하는 식은 원주율의 정의와 같다.

원의 둘레 = 지름 × 원주율

원의 넓이를 구하는 방법은 아르키메데스 시대 이후 여러 가지 기법이 알려져 있다. 널리 사용하는 방법 가운데 하나는 레오나르도 다빈치가 고안한 것으로, 정육각형을 이용한 구적법이다. 레오나르도 다빈치는 왼쪽 그림과 같이 정육각형을 이용하여 분할한 원을 직사각형으로 치환하여 원의 넓이를 계산하였다.[9]

원의 넓이 = 원주율 × 반지름2

원주율이 보이는 복잡한 수열에 비해 이를 계산하는 방법은 의외로 단순하다. 라이프니츠가 정리한 다음 계산식이 널리 알려져 있다.

π = 4 ( 1 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − 1 11 + 1 13 − 1 15 + 1 17 − 1 19 + 1 21 − 1 23 + 1 25 − 1 27 + 1 29 − 1 31 + ⋯ ) {\displaystyle \pi =4\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}-{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{17}}-{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{21}}-{\frac {1}{23}}+{\frac {1}{25}}-{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{29}}-{\frac {1}{31}}+\cdots \right)}

역사 [ 편집 ]

고대 [ 편집 ]

고대의 여러 문화에서 원주율의 값으로 3이 쓰였다. 고대 메소포타미아에서도 원주율을 3으로 계산하였고[10], 구약성경 열왕기상 7장 23절과 역대하 4장 2절에는 직경과 둘레의 길이를 기술하여 원주율이 3정도 임을 알고 있었다고 추측된다. 고대 중국의 수학책인 《구장산술》에서도 3을 원주율로 제시하였다. 《구장산술》에는 다음과 같은 문제가 실려 있다.[11]

원문 번역 今有圓田周三十步經十步問爲田幾何

答曰七十五步 둘레가 30걸음, 지름이 10걸음인 원 모양의 밭이 있다면 넓이는 얼마인가?

답: 75걸음² 원주율의 근삿값을 3.14로 할 때 오늘날의 계산은 π ∗ 5 2 = 3.14 ∗ 5 2 = 78.5 {\displaystyle \pi *5^{2}=3.14*5^{2}=78.5}

구장산술의 계산은 평균값으로 이루어져있다. (1) 원둘레가 30보인 경우 반지름은 30=2r*3.14 r=4.78 이경우의 면적은 71.74 (2) 지름이 10보인 경우 면적은 78.5. (1)과 (2)의 평균은 75보. 그러므로 구장산술의 계산이 부정확하다는 것은 잘못되었다.

원에 내접하는 정육각형

구장산술에 실린 계산이 매우 부정확하다는 것은 왼쪽 그림을 보면 쉽게 알 수 있다. 지름이 1인 원에 내접하는 정육각형의 둘레는 3이고 실제 원의 둘레는 그것과는 차이가 상당하기 때문이다.[12] 이는 고대에서부터 이미 널리 알려진 문제였고 값을 보다 정확하게 구하기 위한 노력이 계속되었다. 고대 이집트에서는 원통형 바퀴를 굴려 직접 측정해 원주율을 계산하였는데 256⁄81=3.16049……를 사용하였다.[10]

원에 외접하는 다각형과 내접하는 다각형의 둘레를 이용한 아르키메데스의 원주율 계산

한편 기원전 3세기의 고대 그리스 수학자 아르키메데스는 근대 적분이 없었던 당시에 무한소라는 개념을 사용하였다. 그는 소거법을 사용하여 π {\displaystyle \pi } 의 근삿값을 계산하였다. 이 방법은 임의 차원의 미지항에 대해 극한을 취하는 것으로, 귀류법을 사용하여 동일한 계산을 반복하는 과정을 통해 해답을 얻는 것이다. 아르키메데스는 변이 매우 많은 다각형이 임의의 원에 내접하는 경우와 외접하는 경우를 비교하여 원주율을 계산하였다. 즉, 임의의 원의 둘레는 그것에 외접하는 다각형의 둘레보다 짧고 내접하는 다각형보다 길다. 이때 다각형의 변이 많아질수록 외접하는 경우와 내접하는 경우의 둘레 차는 작아지므로 원의 둘레에 근사한다. 즉, 지름이 d인 원에 내접하는 변의 개수가 n인 정다각형의 둘레 P n 에 대해 다음과 같이 함수의 극한을 취하면 원주율을 얻을 수 있다.

π = lim n → ∞ P n d . {\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n}}{d}}.}

아르키메데스는 정구십육각형을 이용하여 π {\displaystyle \pi } 의 값을 다음과 같이 계산하였다.[13]

3 10 71 < π < 3 1 7 ≈ 3.1408 < π < 3.1429 {\displaystyle 3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}\approx 3.1408<\pi <3.1429} 아르키메데스는 이 결과에 따라 π {\displaystyle \pi } 의 근삿값으로 3.1416을 제시하였다. 또한, 아르키메데스는 원의 면적이 π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} 임을 증명하였다. 아르키메데스는 자신의 저서 《구와 원기둥》에서 어떠한 크기가 주어지더라도 임의의 크기에 적당한 수를 곱하여 주어진 크기를 초과할 수 있다고 가정하였다. 이를 실수에서의 아르키메데스 성질이라고 한다.[14] 중국의 삼국시대 위나라 수학자 유휘는 《구장산술》에 주해를 달아 다시 출판하였는데, 아르키메데스와 같은 방법을 사용하여 원주율을 157⁄50=3.14 로 계산하였다. 유휘가 계산한 원주율 근삿값은 오늘날에도 일상생활에서 사용한다.[15] 2세기에 들어 중국의 장형은 원주율을 3.1623으로 계산하였고[16] 5세기 중국 남북조 시대 송나라의 조충지는 3.141592로 계산하였다.[17] 독일에서는 1600년대 뤼돌프 판 쾰런이 소수점 이하 35자리까지 계산하였다.[3] 컴퓨터를 도입하기 이전에 가장 긴 자리수의 원주율을 계산한 사람은 영국의 수학자 샹크스였다. 그는 15년이나 걸려 1873년까지 소수점 이하 707자리까지 원주율 값을 계산해냈다. 하지만 후에 그 계산은 528자리까지만 정확한 것으로 밝혀졌다.[18] 컴퓨터를 통한 원주율 계산 [ 편집 ] 1949년 9월 최초로 컴퓨터를 이용하여 70시간에 걸쳐 소수점 아래 2,037자리까지 계산하였다. 원주율 계산에 컴퓨터를 도입한 이후 원주율 계산은 단순 알고리즘의 무한 반복에 불과한 작업이 되어 수학적 의미를 잃었다.[19] 이 계산은 종종 컴퓨터의 성능을 시험하기 위한 방법으로 사용한다.[18] 2005년 일본 도쿄 대학의 가네다 야스마사 교수는 컴퓨터를 601시간 56분 동안 사용하여 원주율을 소수점 1,241,100,000,000자리까지 구하였다. 2009년 〈도쿄신문〉에 따르면, 일본 쓰쿠바 대학 계산과학연구센터는 17일, 슈퍼컴퓨터를 사용한 원주율 계산에서, 2조 5769억 8037만 자리수의 세계기록을 수립했다고 한다. (73시간 59분 소요)[20][21] 그 이후 프랑스에서는 2조 7천억 자리까지 계산하였다.[22] 2010년 8월 3일에는 일본의 회사원 곤도 시게루(近藤茂)가 소수점 이하 5조 자리까지 계산하였다. (90일 7시간 소요, 검증 기간 포함 / PC 사용)[23] 2016년 11월 11일 스위스의 입자 물리학자인 페터 트뤼프(Peter Trüb)는 105일 동안 계산하여, 원주율을 소수점 이하 22조 4591억 5771만 8361자리( π e {\displaystyle \pi ^{e}} 조 개)까지 계산했다.[24] 원주율의 값 [ 편집 ] π {\displaystyle \pi } 값의 소수점 아래 1,000자리 수는 다음과 같다. 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989... 수학적 특성 [ 편집 ] 원주율은 두 정수의 비로 나타낼 수 없는 무리수이다. 또한, 계수가 유리수인 다항식의 근이 될 수 없는 초월수이다. 무리수 [ 편집 ] 원주율이 무리수라는 것은 1761년에 요한 하인리히 람베르트가 증명했다.[25] 람베르트는 다음과 같이 탄젠트 함수의 연분수 전개식을 이용하여 이를 증명하였다.[26] tan ⁡ ( x ) = x 1 − x 2 3 − x 2 5 − x 2 7 − ⋱ {\displaystyle \tan(x)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-{}\ddots }}}}}}}}} x {\displaystyle x} 가 0 {\displaystyle 0} 이 아닌 유리수일 때 위에 전개된 연분수를 십진기수법으로 나타내면 언제나 순환하지 않는 소수이므로 항상 무리수이다. 한편, tan ⁡ ( π 4 ) = 1 {\displaystyle \tan({\frac {\pi }{4}})=1} 이므로 π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} 는 반드시 무리수여만 한다. 따라서 π {\displaystyle \pi } 역시 무리수이다.[27][주해 1] 초월수 [ 편집 ] e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;\;\!} 오일러 등식 은 기초 수학의 여러 개념에서 빈번하게 등장한다. 원주율이 초월수임은 오일러 등식을 이용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.[28] 오일러 등식은, e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;\;\!} [주해 2] 이다. 이 때 π가 정계수 대수방정식 ζ ( x ) = 0 {\displaystyle \zeta (x)=0} 의 근이라면 ζ ( π ) = 0 {\displaystyle \zeta (\pi )=0} 이다. 따라서 ζ ( π ) ⋅ ζ ( − π ) = 0 {\displaystyle \zeta (\pi )\cdot \zeta (-\pi )=0} 역시 성립하여야 한다. 이제 y=iπ라 하면 π=-iy 이고 -π=iy 이므로, iπ는 다음 식으로 나타낼 수 있는 정계수 대수방정식을 만족시켜야 한다. ζ ( π ) ⋅ ζ ( − π ) = Ψ ( y ) = 0 {\displaystyle \zeta (\pi )\cdot \zeta (-\pi )=\Psi (y)=0} 이제 Ψ ( y ) = 0 {\displaystyle \Psi (y)=0} 을 ν차원의 방정식이라 하면 그 근인 y 1 , y 2 ,……, y ν 에는 iπ가 존재하여야 하므로, 식 (1)에 따라 다음과 같이 나타낼 수 있다. ( 1 + e y 1 ) ( 1 + e y 2 ) ⋯ ( 1 + e y ν ) = 0 {\displaystyle (1+e^{y_{1}})(1+e^{y_{2}})\cdots (1+e^{y_{ u }})=0} 그런데 이러한 관계를 만족하는 대수방정식의 근이 유리수라고 가정하면 무한히 약분할 수 있어서, 이를 기약분수로 표현할 수 없는 모순이 생긴다.[주해 3] 유리수를 기약분수로 표현할 수 없다는 것은 유리수의 정의에 어긋나므로 π가 정계수 대수방정식 ζ ( x ) = 0 {\displaystyle \zeta (x)=0} 의 근이라는 최초의 가정이 잘못되었다고 볼 수밖에 없다. 즉, 원주율은 초월수이다. 자세한 증명은 링크한 주석을 참고하기 바란다.[29] 수열 [ 편집 ] 개요에서 밝혔듯이 원주율은 반복되지 않고 무한히 계속되는 수열을 이룬다. 네덜란드 수학자 라위트전 브라우어르는 다음과 같은 질문을 제기하였다.[30] 원주율 π = 3.141592……의 전개에서 계속되는 소수의 수열에 9가 연속적으로 100회 나타날까? 브라우어르는 이 수열이 무한히 계속되기 때문에 이 수열을 어느 정도까지만 확인한 결과만으로는 위 질문에 답할 수 없다는 점을 지적하였다. 실제 소수점 이하 762번째에서부터 수열 999999 가 출현한다. 이 수열은 파인만 포인트로 알려져 있으며 원주율의 소수점 이하 수열에서 확률 0.08%로 발견할 수 있는 것으로 알려져 있다.[31] 따라서 경험적 방법으로는 위 문제에 답할 수 없다. 브라우어르는 이러한 논의를 바탕으로 아리스토텔레스의 배중률[주해 4] 은 유한한 개수를 대상으로 한 것에만 적용 수 있을 뿐 무한한 것에 적용할 수 없다고 결론지었다.[30] 원주율에서 나타나는 수열은 무작위 표집을 사용해 만든 난수표의 성질을 보인다. 하지만, 실제 원주율의 수열이 완전한 무작위성을 보이는지는 증명되지 않았다.[7] 계산식 [ 편집 ] 원주율은 무리수이기 때문에 그 값은 근삿값으로밖에 알 수 없다. 대부분의 계산에는 3.14나 22/7 라는 근삿값을 사용해도 충분하다. 355/113은 외우기 좋고, 정밀도도 좋다. 좀 더 정밀한 기술의 계산에서는 3.1416 또는 3.14159 등을 사용하기도 한다. 기상 예보나 인공 위성 등의 계산에는 소수점 아래 30자리까지 나아간 근삿값을 사용하고 있다. 이렇게 불규칙적인 패턴을 가지는 원주율은 다음과 같이 규칙적인 수식을 이용하여 계산할 수 있다. 더 정확한 값을 얻으려면 수식을 연장하기만 하면 된다.[19] π = 4 ( 1 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − 1 11 + 1 13 − 1 15 + 1 17 − 1 19 + 1 21 − 1 23 + 1 25 − 1 27 + 1 29 − 1 31 + 1 33 − ⋯ ) {\displaystyle \pi =4\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}-{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{17}}-{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{21}}-{\frac {1}{23}}+{\frac {1}{25}}-{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{29}}-{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{33}}-\cdots \right)} 위 식은 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 전개한 것으로 흔히 라이프니츠의 공식이라고 부른다. 이 식 외에도 원주율을 계산하는 공식으로는 다음과 같은 것이 있다.[32] π 2 = 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋅ 8 7 ⋅ 8 9 ⋯ = ∏ n = 1 ∞ ( 4 ⋅ n 2 4 ⋅ n 2 − 1 ) {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4\cdot n^{2}}{4\cdot n^{2}-1}}\right)} 월리스 공식 1655년 π 2 6 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + 1 5 2 + 1 6 2 + 1 7 2 + 1 8 2 + 1 9 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{8^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}+\cdots } 오일러의 곱셈 공식 1735년[주해 5] 17세기의 프랑스 수학자 프랑수아 비에트는 다음과 같은 무한급수로 원주율을 계산하였다.[33][34] 2 2 ⋅ 2 + 2 2 ⋅ 2 + 2 + 2 2 ⋯ = 2 π {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots ={\frac {2}{\pi }}} 또한, 스털링 근사를 사용해 원주율을 유도할 수도 있다.[35] n ! ≈ 2 π n ( n e ) n {\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}} 원주율은 다음과 같이 연분수로 표현할 수 있다.[36] 4 π = 1 + 1 3 + 4 5 + 9 7 + 16 9 + 25 11 + 36 13 + ⋱ {\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {4}{5+{\cfrac {9}{7+{\cfrac {16}{9+{\cfrac {25}{11+{\cfrac {36}{13+\ddots }}}}}}}}}}}}} 1996년 데이빗 베일리는 피터 보어와인, 시몽 플루프와 공동으로 π에 관련된 새로운 무한급수를 발견했다. π = ∑ k = 0 ∞ 1 16 k ( 4 8 k + 1 − 2 8 k + 4 − 1 8 k + 5 − 1 8 k + 6 ) {\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)} 이 식을 이용하면 2진수 그리고 16진수로 표기한 π값의 소수점 아래 n자리 값을 n-1째 자리까지 구하지 않고 바로 계산해 낼 수 있다. 베일리의 홈페이지 에선 다양한 프로그래밍 언어를 이용해 구현한 실제 예를 볼 수 있다. 적용 [ 편집 ] 원주율은 수학과 물리학 등 여러 분야에서 다양하게 적용한다. 기하학 [ 편집 ] 아르키메데스는 원과 구의 다음과 같은 성질을 증명하였다.[37] 반지름 r 인 원의 둘레： C = 2 π r {\displaystyle C=2\pi r} 인 원의 둘레： 반지름 r 인 원의 넓이： A = π r 2 {\displaystyle A=\pi r^{2}} 인 원의 넓이： 반지름 r 인 구의 부피： V = 4 3 π r 3 {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}} 인 구의 부피： 반지름 r 인 구의 겉넓이： A = 4 π r 2 {\displaystyle A=4\pi r^{2}} 한편, 원은 이심률이 0인 타원으로 간주할 수 있으며 이에 따라 타원 방정식은 일반적으로 다음과 같이 표현한다.[38] x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} 이 때 타원의 넓이를 A라 하면 다음과 같이 계산할 수 있다. A = π a b {\displaystyle A=\pi ab} 라디안의 정의 각의 크기를 나타내는 무차원 단위인 라디안은 오른쪽 그림과 같이 정의하여 반지름과 호의 길이가 같을 때 1라디안이 된다. 따라서, 원 전체는 2π라디안이고 이를 도로 환산하면 다음과 같다.[38] π라디안 = 180° 바젤 문제 [ 편집 ] 1687년 스위스의 바젤의 수학 교수였던 야코프 베르누이와 요한 베르누이 형제는 조화급수가 발산한다는 사실을 증명하였다. 그러나, 조화급수의 각 분모를 제곱한 다음 식을 닫힌 형식으로 나타내는 것에는 실패하였으며 논문의 끝에 이 문제를 해결하였다면 알려주기 바란다고 적었다. 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots } 당대의 유명한 수학자들이 이 문제를 풀기 위해 시도하였으나 결국 실패하였고, 이 문제는 바젤 문제로 알려지며 해석학자의 악몽으로까지 불리게 되었다. 이를 해결한 사람은 레온하르트 오일러로 1735년에 이 급수의 값이 다음과 같다는 것을 증명하였다. π 2 6 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots } 후일 이 급수는 다음과 같은 일반식으로 표현되었는데 이것이 리만 제타 함수이다.[39] {\displaystyle \!} 리만 제타 함수는 s가 짝수일 때 위 식을 이용하여 그 값을 쉽게 계산할 수 있으나 홀수일 때는 자명하지 않다. 1978년 s가 3일 때 무리수로 수렴하는 것이 증명되었다. 이 수렴값은 아페리 상수라고 한다.[40] 복소수 계산 [ 편집 ] φ 가 π 라디안(180°)으로 증가하는 동안 오일러 등식이 성립함을 보인다. 복소평면 에 그린 오일러의 공식 . 각라디안(180°)으로 증가하는 동안 오일러 등식이 성립함을 보인다. 복소수 z {\displaystyle z} 는 극좌표계를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.[41] z = r ⋅ ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ ) {\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )} 복소해석학에서 π는 복소수 변수가 지수 함수에서 보이는 행동과 연관이 있으며 오일러의 공식에 따라 다음과 같이 표현할 수 있다. e i φ = cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi \!} i는 허수 단위이기 때문에 i2 = −1 이므로 이를 π라디안(=180°)과 함께 자연로그의 밑 e의 지수로 표현하면 다음과 같은 오일러 등식을 얻는다. e i π = − 1. {\displaystyle e^{i\pi }=-1.\!} 따라서 n 번째 단위근은 다음과 같다. e 2 π i k / n ( k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 … , n − 1 ) {\displaystyle e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\dots ,n-1)} 이제 가우스 적분으로 나타내면, ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}} 이 결과는 반정수의 감마 함수가 √π의 유리수 곱임을 뜻한다. 확률과 통계 [ 편집 ] 확률과 통계에서 원주율이 등장하는 정리들은 다음과 같은 것들이 있다. 정규분포를 따르는 확률분포의 평균을 μ, 표준편차를 σ라 하면, 가우스 적분의 값을 상쇄하기 위해 정규분포의 확률 밀도 함수는 f ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 {\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}} 이 된다.[42] f ( x ) = 1 π ( 1 + x 2 ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}} 참고로, 모든 확률 밀도 함수는 다음과 같이 적분한다.[44] ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1} 조르주루이 르클레르 드 뷔퐁이 제기한 뷔퐁의 바늘 문제는 원주율의 근삿값을 구하는 경험주의적인 방법으로 거론된다. 길이가 L인 바늘을 일정 간격으로 그린 평행선에 떨어뜨린다고 가정해 보자. 이 때 평행선의 간격 S가 바늘의 길이보다 크다고 하면, 바늘을 떨어뜨린 횟수 n번에 대해 바늘이 평행선 밖으로 나간 횟수 x번(단, x>0)에는 몬테카를로 방법에 의해 다음과 같은 관계가 있다.[45]

π ≈ 2 n L x S . {\displaystyle \pi \approx {\frac {2nL}{xS}}.}

즉, 뷔퐁의 바늘 문제에서 바늘을 떨어뜨리는 횟수가 매우 많아지면 바늘이 평행선을 벗어나는 횟수에 대한 바늘을 떨어뜨린 전체 횟수의 비는 원주율에 근사한다.

물리학 [ 편집 ]

회전하는 물체에는 각속도 가 있다

원주율 자체는 물리 상수가 아니지만 물리학의 여러 분야에서 두루 사용한다. 이는 자연 현상의 상당수가 원과 관계가 있기 때문이다. 예를 들어 회전수를 일정하게 유지하는 등속원운동에서 각속도와 원주속도는 다음과 같이 계산할 수 있다.[46]

각속도를 ω (= θ / 초), 분당 회전수를 N이라 하면 ω = 2 π N 60 {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi N}{60}}} 이때, 반지름을 r이라 하면 원주속도 v는 v = r ⋅ ω = 2 r π N 60 {\displaystyle v=r\cdot \omega ={\frac {2r\pi N}{60}}}

이 외에 물리학에서 원주율을 사용하는 경우는 다음과 같다.

불확정성 원리에 따라, 양자 역학적인 물리량은 동시에 정확히 관찰할 수 없다. 예를 들어 입자의 특정 위치를 Δ x라 하고 이 때의 운동량을 Δ p 라 하면, 이 둘의 크기를 둘 다 정확히 관찰할 수는 없으며 다음 식을 사용해 확률적으로만 계산한다.[47]

Δ x Δ p ≥ h 4 π {\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}

같이 보기 [ 편집 ]

주해 [ 편집 ]

참고 [ 편집 ]

반지름, 지름, 원주 (개념 이해하기) | 원주와 원의 넓이 (중등 1학년)

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파이 구하기, 1탄) 아르키메데스 방법 소개 (1/5)

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원 의 둘레 구하기 나서나

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  • Title Website: 원 의 둘레 구하기 나서나
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원주율 알아보기(파이가 무리수인 이유)

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6학년 수학 5단원 원주율과 원의 넓이 구하기. 동신초 학생들 수학의 달인 …

1×1=1, 2×2=4, 3×3=9, 4×4=16, 5×5=25, 6×6=36, 7×7=49, 8×8=64, 9×9=81, 10×10=100, 11×11=121, 12×12=144, 13×13=169, 14×14=196, 15×15=225 이 정도만 알고 있어도 문제풀이에 많은 도움이 될거예요. 꼭 기억하세요. 같은수를 곱해서 나오는 수를 중학교에 가면 제곱수라는 용어로 배웁니다.

가장 간단하게 한변의 길이가 3인 정육각형을 원이라 보고 계산하면 18÷6=3 (정육각형의 둘레:18, 가장긴 대각선:6)이 나옵니다. 이 정육각형을 정12각형, 정24각형, 정48각형, 정96각형으로 만들어 그 정다각형의 둘레 길이를 구한 다음 지름으로 나누어 보세요. 다각형의 숫자가 커질수록 더 정확한 원주율을 구할 수 있답니다.

​원주율은 원의 둘레길이를 지름으로 나눈 값입니다. 그런데, 이 원주율은 항상 똑같은 값을 갖는 답니다. 원의 크기에 상관없이 항상 똑같아요. 신기하지 않나요? 그 값(원주율)을 초등학교 때는 3.14라 배우고 중학교에서는 3.14대신 π를 사용하고 계산하지 않고 그냥 문자를 사용하여 곱합니다.

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파이야 미안하다…

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6학년 수학 5단원 원주율과 원의 넓이 구하기. 동신초 학생들 수학의 달인 정읍본점과 함께 공부해요.

6학년 수학 5단원 원주율과 원의 넓이 구하기. 동신초 학생들 수학의 달인 정읍본점과 함께 공부해요.

원에 대한 학습을 하기 위해서는 반드시 원주율을 알고 있어야 합니다.

먼저 원주율에 대해 알아볼까요?

​

원주율의 개념

​

​원주율은 원의 둘레길이를 지름으로 나눈 값입니다. 그런데, 이 원주율은 항상 똑같은 값을 갖는 답니다. 원의 크기에 상관없이 항상 똑같아요. 신기하지 않나요? 그 값(원주율)을 초등학교 때는 3.14라 배우고 중학교에서는 3.14대신 π를 사용하고 계산하지 않고 그냥 문자를 사용하여 곱합니다.

π = 3.1415926535​‥…‥와 같이 나누어 떨어지지 않는 값이 나오기 때문에 π라고 씁니다.

분명 원의 둘레를 지름으로 나눈 값인데 왜? 나누어 떨어지지 않을까요? 여러분도 한번 생각해보세요.

​

​​

​

원주율을 우리가 직접 계산해 볼수도 있습니다.

가장 간단하게 한변의 길이가 3인 정육각형을 원이라 보고 계산하면 18÷6=3 (정육각형의 둘레:18, 가장긴 대각선:6)이 나옵니다. 이 정육각형을 정12각형, 정24각형, 정48각형, 정96각형으로 만들어 그 정다각형의 둘레 길이를 구한 다음 지름으로 나누어 보세요. 다각형의 숫자가 커질수록 더 정확한 원주율을 구할 수 있답니다.

​

​

원의 둘레 구하기​

​

원의 둘레는 원주율의 개념에서 바로 구할수 있습니다.

이므로 원의 둘레길이(원주)= 지름×원주율 입니다.

​지름은 반지름의 두배인거 다 아시죠?

원의 둘레 즉 원주를 구할 때는 지름을 이용하는 것 기억하세요.

​

​

​​

원의 넓이 어림하기와 원의 넓이 구하기

​

원 안에 들어가는 가장 큰 도형의 넓이와 원 밖의 가장 작은 도형의 넓이 사이에 원이 있다는 것을 이용하여 원의 넓이를 어림해 볼수 있습니다.

​그리고, 원의 넓이를 계산할 때는 아래와 같이 원을 균등 분할 하여 직사각형을 만든 다음 원의 넓이를 구할수 있어요.

​원의 넓이를 구할 때는 반지름을 이용한다는 것을 기억하세요.

​

​

그리고 원의 넓이를 통해서 반지름을 알수있는데 이때 같은수를 곱해서 나오는 수를 알고 있으면 도움이 됩니다.

1×1=1, 2×2=4, 3×3=9, 4×4=16, 5×5=25, 6×6=36, 7×7=49, 8×8=64, 9×9=81, 10×10=100, 11×11=121, 12×12=144, 13×13=169, 14×14=196, 15×15=225 이 정도만 알고 있어도 문제풀이에 많은 도움이 될거예요. 꼭 기억하세요. 같은수를 곱해서 나오는 수를 중학교에 가면 제곱수라는 용어로 배웁니다.

​

파이 데이를 아세요?













































우리는 3월 14일 하면 남자가 사랑하는 여자에게 사탕을 선물하는 화이트데이라고만 알고 있는데, 미국·유럽의 수학자들은 3월 14일을 파이(π)데이로 정하고, 서로 이날(3월 14일)에 만나 1시 59분 26초에 파이 파티를 한다고 합니다. ^^    

​

원이라는 도형은 아주 재미있는 성질들을 가지고 있습니다.

원이 가지는 독특한 성질을 중2 도형, 중3 도형에서 또다시 학습하게 될 것입니다.

​

1-1. 원주율 구하기 – 아르키메데스 – 코딩으로 수학 하기

12 : 3.1058285412302498 0.035764112359543354 24 : 3.132628613281237 0.008964040308556243 48 : 3.139350203046872 0.0022424505429210484 96 : 3.14103195089053 0.0005607026992633379 192 : 3.1414524722853443 0.0001401813044488165 384 : 3.141557607911622 3.504567817103066e-05 768 : 3.141583892148936 8.76144085726338e-06 1536 : 3.1415904632367617 2.1903530313949204e-06 3072 : 3.1415921060430483 5.475467448334825e-07 6144 : 3.1415925165881546 1.3700163847829572e-07

정6각형의 둘레의 길이는 6이므로, 정육각형으로 원의 둘레를 구하면 6이다. 아직은 원의 둘레의 길이와 큰 오차가 있다. (원의 반지름이 2이므로 3.14의 2배인 6.28 정도가 나와야 근사값이라고 볼 수 있다.) 각을 늘려 12각형의 둘레의 길이를 구하자. 각을 늘릴 때, 7각형이 아니라 12각형을 쓰는 이유는 6각형의 각각의 변을 나누는 방식으로 6각형과의 관계를 이용하여 12각형의 변의 길이를 구할 수 있기 때문이다. 또한, 각을 2배씩 빠르게 늘리는 것은 장점인데, 다각형은 원에 가까울 수록 좋기 때문에 빠르게 각을 늘릴 수록 좋다.

원의 둘레를 근사하는 방법은 원과 비슷하게 생긴 다각형의 둘레를 구하는 것이다. 아르키메데스는 96각형의 둘레를 구하였다. 원에 외접하는 다각형도 좋지만, 먼저 내접하는 다각형을 이용하자. 처음엔 정6각형을 구하고, 그것을 이용하여 계속 각을 늘려가는 방법으로 다각형의 둘레를 구하자. 정육각형으로 시작하는 이유는 반지름 1인 원에 내접하는 정육각형은 한 변의 길이가 1이기 때문에 변의 길이를 알고 시작할 수 있기 때문이다.

10 thg 8, 2018 — 원주율은 원의 지름에 대한 원주(원둘레)의 비율이다. 모든 원은 닮음이므로 모든 원에 대해 이 값은 일정하다.(상수) 그러므로 특정 반지름(주로 1)에 …

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후오비 주의하세요..파이코인 이슈정리와 해커톤에서 사용할 Pi OS(운영체제) 출시 소식까지

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외접 다각형과 내접 다각형의 둘레의 평균

원주율

원주율은 원의 지름에 대한 원주(원둘레)의 비율이다. 모든 원은 닮음이므로 모든 원에 대해 이 값은 일정하다.(상수) 그러므로 특정 반지름(주로 1)에 대해 원의 둘레의 길이를 구하면 된다. 무한소수이므로 근사값을 구할 수 밖에 없는데, 소수점 아래 다섯 자리 3.14159까지 구하자.

원의 둘레를 구하기

원의 둘레를 근사하는 방법은 원과 비슷하게 생긴 다각형의 둘레를 구하는 것이다. 아르키메데스는 96각형의 둘레를 구하였다. 원에 외접하는 다각형도 좋지만, 먼저 내접하는 다각형을 이용하자. 처음엔 정6각형을 구하고, 그것을 이용하여 계속 각을 늘려가는 방법으로 다각형의 둘레를 구하자. 정육각형으로 시작하는 이유는 반지름 1인 원에 내접하는 정육각형은 한 변의 길이가 1이기 때문에 변의 길이를 알고 시작할 수 있기 때문이다.

다각형의 둘레 구하기

정6각형의 둘레의 길이는 6이므로, 정육각형으로 원의 둘레를 구하면 6이다. 아직은 원의 둘레의 길이와 큰 오차가 있다. (원의 반지름이 2이므로 3.14의 2배인 6.28 정도가 나와야 근사값이라고 볼 수 있다.) 각을 늘려 12각형의 둘레의 길이를 구하자. 각을 늘릴 때, 7각형이 아니라 12각형을 쓰는 이유는 6각형의 각각의 변을 나누는 방식으로 6각형과의 관계를 이용하여 12각형의 변의 길이를 구할 수 있기 때문이다. 또한, 각을 2배씩 빠르게 늘리는 것은 장점인데, 다각형은 원에 가까울 수록 좋기 때문에 빠르게 각을 늘릴 수록 좋다.

정n각형과 정2n각형의 관계식은 다음과 같다.

$ ({a \over 2})^2 + c^2 = 1^2 $ …①

$ ({a \over 2})^2 +d^2 = b^2 $ …②

$ c+d=1 $ …③

위 세 식에서 ①을 c로 정리하고 ②를 d로 정리하여, ③에 대입하는 방식으로, c와 d를 제거하면, a와 b의 관계식을 얻는다. $$ b = \sqrt{ 2 – \sqrt{ 4 – a^2 } } $$

코딩

이것을 코드로 표현하면

b = ( 2 – ( 4 – a**2 ) **.5 ) **.5

이다. 제곱근(sqrt)은 ${1 \over 2}=0.5$를 제곱하는 것으로 표현 가능하다.

그래서 코드는 아래와 같다.

diameter=2 # 원의 지름은 2 polygon=6 # 6각형으로 시작 side=1 # 6각형의 변의 길이는 1 n=10 for i in range(n): polygon = polygon * 2 # 다각형의 각을 2배로 side = ( 2 – ( 4 – side**2 ) **.5 ) **.5 # 다각형 사이의 변 길이의 관계 pi = side*polygon/diameter print(pi)

오차를 표시하자. 이를 위해 파이썬에 있는 pi 값을 가져온다. 그리고 각각의 근사값 앞에 어떤 다각형으로 구하였는지를 표시해주면 좋다.

import math diameter=2 polygon=6 side=1 n=10 for i in range(n): polygon = polygon * 2 side = ( 2 – ( 4 – side**2 ) **.5 ) **.5 pi = side * polygon / diameter print(polygon, “:”, pi, math.pi-pi)

결과 분석

12 : 3.1058285412302498 0.035764112359543354 24 : 3.132628613281237 0.008964040308556243 48 : 3.139350203046872 0.0022424505429210484 96 : 3.14103195089053 0.0005607026992633379 192 : 3.1414524722853443 0.0001401813044488165 384 : 3.141557607911622 3.504567817103066e-05 768 : 3.141583892148936 8.76144085726338e-06 1536 : 3.1415904632367617 2.1903530313949204e-06 3072 : 3.1415921060430483 5.475467448334825e-07 6144 : 3.1415925165881546 1.3700163847829572e-07

1536각형에서 우리가 구하는 1/100000 자리까지 정확한 3.14159를 구하였다. 6각형을 1단계라고 하였을 때, 9단계에서

외접 다각형을 이용하자

외접하는 다각형을 이용하여 원의 둘레의 근사값을 구하자. 그리고 정6각형에서 출발해도 되지만, 변수 polygon과 side의 초기값을 바꾸어서, 정4각형이나 정3각형에서 시작해서 각을 늘려가도 상관없이 파이값을 구할 수 있음을 확인하자.

외접 다각형과 내접 다각형의 둘레의 평균

외접 다각형과 내접 다각형의 둘레를 동시에 구해서, 그 평균을 원의 둘레값으로 채택하면 좀더 정확한 값을 구할 수 있다.

원하는 단백질의 PI값 알기 > BRIC

시퀀스를 알고 계신다면 위 사이트에서 시퀀스를 입력하여 “이론적인” pI 값을 계산해줍니다. 그치만 어디까지나 이론적인 값이므로 예비실험을 통해서 정확한 조건을 잡으셔야 합니다. 시퀀스를 알고 계신다면 위 사이트에서 시퀀스를 입력하여 “이론적인” pI 값을 계산해줍니다. 그치만 어디까지나 이론적인 값이므로 예비실험을 통해서 정확한 조건을 잡으셔야 합니다. 답변추천 0

Ampholite (pI가 다른 여러종류의 zwitter mix)가 포함된 Gel에서 단백질은 자기가 가지고 있는 pI값에서 멈춰섭니다. pI standard와 비교해 unknown protein의 pI값을 구할 수 있습니다.

본 정보는 네티즌에 의해 작성된 정보로, 내용 중 중요하다고 생각되는 부분은 추가적인 사실 확인을 반드시 하시길 바랍니다.

그 단백질의 PI값을 어떻게 알 수 있나요PI값을 알려면 아미노산 서열을 … pI standard와 비교해 unknown protein의 pI값을 구할 수 있습니다.

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친구 놀리려고 일주일만에 만든 모바일 게임ㅋㅋㅋ 출시까지 함ㅋㅋㅋ (+제작과정)

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원하는 단백질의 PI값 알기

본 정보는 네티즌에 의해 작성된 정보로, 내용 중 중요하다고 생각되는 부분은 추가적인 사실 확인을 반드시 하시길 바랍니다.

SPEED | 2010.05.20 질문보기 답변보기 예비 실험을 통하여 어느정도 파악이 가능합니다.

1. pH 7.0 buffer를 사용하여 양이온, 음이온 컬럼에서 binding 실험을 한다.

A. 양이온, 음이온 모두 안붙는 경우 : 6 < pI < 8 B. 양이온에만 붙는 경우 : 8 < pI C. 음이온에만 붙는 경우 : pI < 6 위의 A, B, C 중 어느경우와 같은지를 먼저 확인 한 후 이온교환수지 및 buffer pH를 결정한다. 답변추천 0 개그 | 2010.05.20 질문보기 답변보기 http://www.expasy.ch/tools/protparam.html 시퀀스를 알고 계신다면 위 사이트에서 시퀀스를 입력하여 "이론적인" pI 값을 계산해줍니다. 그치만 어디까지나 이론적인 값이므로 예비실험을 통해서 정확한 조건을 잡으셔야 합니다. 시퀀스를 알고 계신다면 위 사이트에서 시퀀스를 입력하여 "이론적인" pI 값을 계산해줍니다. 그치만 어디까지나 이론적인 값이므로 예비실험을 통해서 정확한 조건을 잡으셔야 합니다. 답변추천 0 엘피스 | 2010.05.20 질문보기 답변보기 "Isoelectrofocusing" Ampholite (pI가 다른 여러종류의 zwitter mix)가 포함된 Gel에서 단백질은 자기가 가지고 있는 pI값에서 멈춰섭니다. pI standard와 비교해 unknown protein의 pI값을 구할 수 있습니다. 2D 전기영동은 1차로 pI값에 따라 나열한 후 2차로 분자량에 따라 나누는 방식입니다. 답변추천 1

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