주제에 대한 기사를 찾고 있습니까 “헤론 의 공식“? 웹사이트에서 이 주제에 대한 전체 정보를 제공합니다 c1.castu.org 탐색에서: 777+ 당신을 위한 팁. 바로 아래에서 이 주제에 대한 자세한 답변을 찾을 수 있습니다. 찾고 있는 주제를 더 잘 이해하려면 끝까지 읽으십시오. 더 많은 관련 검색어: 헤론 의 공식 헤론의 공식 변형, 사각형 헤론의 공식, 헤론의 공식 교육과정, 헤론의 공식 실생활, 헤론의 공식 수능, 신발끈 공식, 헤론의 공식 활용, 삼각형 넓이 공식 증명
유도는 헤론의 공식에서 s = ( a + b + c ) / 2 s=(a+b+c)/2 s=(a+b+c)/2를 대입하고, 전개하고, 식을 유도하면 된다.
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헤론의 공식 – 나무위키
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헤론의 공식 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
S = 1 4 ( a + b + c ) ( − a + b + c ) ( a − b + c ) ( a + b − c ) {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}} S = 1 4 2 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}} S = 1 4 ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}} S = 1 4 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}}
x 2 + h 2 = b 2 {\displaystyle x^{2}+h^{2}=b^{2}} 이제 h 2 {\displaystyle h^{2}} h 2 = b 2 − x 2 ⋯ ( 2 ) {\displaystyle h^{2}=b^{2}-x^{2}\cdots (2)} 같은 방법으로 삼각형 AHB에 대해 다음과 같이 정리할 수 있다. h 2 = a 2 − ( c − x ) 2 {\displaystyle h^{2}=a^{2}-(c-x)^{2}} 이제 h 2 {\displaystyle h^{2}} b 2 − x 2 = a 2 − ( c − x ) 2 {\displaystyle b^{2}-x^{2}=a^{2}-(c-x)^{2}} 위의 등식을 간단히 정리하여 x {\displaystyle x} x = 1 2 c ( − c 2 + b 2 + a 2 ) {\displaystyle x={\frac {1}{2c}}(-c^{2}+b^{2}+a^{2})}
헤론의 공식은 삼각형의 세 변의 길이를 통해 넓이를 구하는 공식이다. 직선으로 둘러싸인 도형은 아무리 복잡한 형태를 하고 있다고 해도 반드시 삼각형으로 쪼갤 수 …
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헤론의 공식
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A B C {\displaystyle ABC} A , B , C {\displaystyle A,B,C} a , b , c {\displaystyle a,b,c} 삼각형의 세 각및 이들이 마주하는 변
헤론의 공식은 삼각형의 세 변의 길이를 통해 넓이를 구하는 공식이다. 직선으로 둘러싸인 도형은 아무리 복잡한 형태를 하고 있다고 해도 반드시 삼각형으로 쪼갤 수 있다. 또, 이 공식을 사용하면 높이를 따로 구할 필요가 없기 때문에, 토지의 면적을 구하는 데 편리한 공식으로써도 알려져 있다.
공식 [ 편집 ]
길이가 각 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 인 선분으로 이루어진 삼각형이 있을 때, 면적을 S {\displaystyle S} 라 하면,
S = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
가 성립한다. 여기서,
s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
이다.
또 다르게 적는다면
S = 1 4 ( a + b + c ) ( − a + b + c ) ( a − b + c ) ( a + b − c ) {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}} S = 1 4 2 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}} S = 1 4 ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}} S = 1 4 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}}
이렇게 된다.
역사 [ 편집 ]
이 공식은 알렉산드리아의 헤론이 그의 저서 《Metrica》에서 증명을 써 놓았기 때문에 헤론의 공식이란 이름이 붙여졌다. 하지만 현재에는 공식이 아르키메데스에게서 비롯한 것이거나, 훨씬 이전부터 알고 있었을 수도 있었으리라 여겨지고 있다.
증명 [ 편집 ]
일반적인 방법 [ 편집 ]
삼각형 ABC의 세 변을 a,b,c라고 하면, 이 삼각형의 넓이 S는
S = 1 2 a b sin C ⋯ ( 1 ) {\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin C\cdots (1)}
에서, 코사인 법칙을 이용하면
cos C = a 2 + b 2 − c 2 2 a b {\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}} sin C = 1 − cos 2 C = 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 4 a 2 b 2 {\displaystyle \sin C={\sqrt {1-\cos ^{2}C}}={\sqrt {\frac {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{4a^{2}b^{2}}}}}
여기서 얻어진 sin C {\displaystyle \sin C} 의 값을 ( 1 ) {\displaystyle (1)} 에 대입하면,
S = 1 4 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}
다른 방법 [ 편집 ]
그림과 같이 삼각형 ABC의 세 변을 a,b,c 로 하고, A로부터 BC 또는 그 연장에 내린 수선 AH의 길이를 h, 선분 CH의 길이를 x라 한다. 이때 각ACB가 둔각이면 x는 음의 값을 갖는다.
피타고라스 정리에 의해 수선 AH에 의해 나뉜 삼각형AHC에 대해 다음의 식이 성립한다.
x 2 + h 2 = b 2 {\displaystyle x^{2}+h^{2}=b^{2}} 이제 h 2 {\displaystyle h^{2}} h 2 = b 2 − x 2 ⋯ ( 2 ) {\displaystyle h^{2}=b^{2}-x^{2}\cdots (2)} 같은 방법으로 삼각형 AHB에 대해 다음과 같이 정리할 수 있다. h 2 = a 2 − ( c − x ) 2 {\displaystyle h^{2}=a^{2}-(c-x)^{2}} 이제 h 2 {\displaystyle h^{2}} b 2 − x 2 = a 2 − ( c − x ) 2 {\displaystyle b^{2}-x^{2}=a^{2}-(c-x)^{2}} 위의 등식을 간단히 정리하여 x {\displaystyle x} x = 1 2 c ( − c 2 + b 2 + a 2 ) {\displaystyle x={\frac {1}{2c}}(-c^{2}+b^{2}+a^{2})}
이를 ( 2 ) {\displaystyle (2)} 에 대입하면,
h 2 = b 2 − ( 1 2 c ( − a 2 + b 2 + c 2 ) ) 2 {\displaystyle h^{2}=b^{2}-({\frac {1}{2c}}(-a^{2}+b^{2}+c^{2}))^{2}}
위의 등식을 h에 대해 정리하면,
h 2 = 1 4 c 2 ( 4 b 2 c 2 − ( − c 2 + b 2 + a 2 ) 2 ) {\displaystyle h^{2}={\frac {1}{4c^{2}}}(4b^{2}c^{2}-(-c^{2}+b^{2}+a^{2})^{2})} ∴ h = 1 4 c 2 ( 4 b 2 c 2 − ( − c 2 + b 2 + a 2 ) 2 ) = 1 2 c ( 4 b 2 c 2 − ( − c 2 + b 2 + a 2 ) 2 ) {\displaystyle \therefore h={\sqrt {\frac {1}{4c^{2}}}}{\sqrt {(4b^{2}c^{2}-(-c^{2}+b^{2}+a^{2})^{2})}}={\frac {1}{2c}}{\sqrt {(4b^{2}c^{2}-(-c^{2}+b^{2}+a^{2})^{2})}}}
삼각형ABC의 넓이 S는 다음과 같이 계산된다.
S = c h 2 = c 2 1 2 c 4 b 2 c 2 − ( − c 2 + b 2 + a 2 ) 2 {\displaystyle S={\frac {ch}{2}}={\frac {c}{2}}{\frac {1}{2c}}{\sqrt {4b^{2}c^{2}-(-c^{2}+b^{2}+a^{2})^{2}}}} ∴ S = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle \therefore S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}} 단, s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
좌표평면을 이용한 증명 [ 편집 ]
좌표상의 삼각형 ABC 그리고 오른쪽 삼각형처럼 B를 원점으로 하고 한변을 X축에 놓게 좌표평면에 그릴 수 있다. 이 때 점 C는 (Z,0) 점 A는 (X,Y)라 가정할 수 있다. 먼저 a = Z , b = ( X − Z ) 2 + Y 2 , c = X 2 + Y 2 {\displaystyle a=Z,b={\sqrt {(X-Z)^{2}+Y^{2}}},c={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}} 이때 s = Z + ( X − Z ) 2 + Y 2 + X 2 + Y 2 2 , ( s = a + b + c 2 ) {\displaystyle s={\frac {Z+{\sqrt {(X-Z)^{2}+Y^{2}}}+{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}{2}},(s={\frac {a+b+c}{2}})} s − a = − Z + ( X − Z ) 2 + Y 2 + X 2 + Y 2 2 {\displaystyle s-a={\frac {-Z+{\sqrt {(X-Z)^{2}+Y^{2}}}+{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}{2}}} s − b = Z − ( X − Z ) 2 + Y 2 + X 2 + Y 2 2 {\displaystyle s-b={\frac {Z-{\sqrt {(X-Z)^{2}+Y^{2}}}+{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}{2}}} s − c = Z + ( X − Z ) 2 + Y 2 − X 2 + Y 2 2 {\displaystyle s-c={\frac {Z+{\sqrt {(X-Z)^{2}+Y^{2}}}-{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}{2}}} s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}} ( − Z 2 + ( ( X − Z ) 2 + Y 2 + X 2 + Y 2 ) 2 ) 2 4 {\displaystyle {\sqrt {\frac {(-Z^{2}+({\sqrt {(X-Z)^{2}+Y^{2}}}+{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}})^{2})^{2}}{4}}}} ( Z 2 − ( ( X − Z ) 2 + Y 2 − X 2 + Y 2 ) 2 ) 2 4 {\displaystyle {\sqrt {\frac {(Z^{2}-({\sqrt {(X-Z)^{2}+Y^{2}}}-{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}})^{2})^{2}}{4}}}} = ( 2 X 2 + 2 Y 2 − 2 X Z + 2 ( ( X − Z ) 2 + Y 2 ) ( X 2 + Y 2 ) ) 4 {\displaystyle {\sqrt {\frac {(2X^{2}+2Y^{2}-2XZ+2{\sqrt {((X-Z)^{2}+Y^{2})(X^{2}+Y^{2})}})}{4}}}} ( 2 X 2 + 2 Y 2 − 2 X Z − 2 ( ( X − Z ) 2 + Y 2 ) ( X 2 + Y 2 ) ) 4 {\displaystyle {\sqrt {\frac {(2X^{2}+2Y^{2}-2XZ-2{\sqrt {((X-Z)^{2}+Y^{2})(X^{2}+Y^{2})}})}{4}}}} = ( Y Z ) ( Y Z ) 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {(YZ)(YZ)}}{2}}} Y Z 2 {\displaystyle {\frac {YZ}{2}}} 삼각형 ABC의 넓이는 밑변인 BC 와 높이를 가지고 구할 수 있다. S = 1 2 B C × h = 1 2 Z × Y = Y Z 2 {\displaystyle S={\frac {1}{2}}BC\times h={\frac {1}{2}}Z\times Y={\frac {YZ}{2}}} = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle ={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}} 증명들 중에서는 일부 창의적인 방식을 통해 증명해 나가는 경우가 있다. 보조선을 사용하는 것이 그 예이다. 이때 좌표평면을 사용하면 어려운 증명이라도 계산만 복잡할 뿐 많은 것을 증명할 수 가 있다. 이제 한번 좌표평면으로 헤론의 공식을 증명해보아 별다른 방식 없이도 가능하다는 것을 보일 수 있었다.
일반화 [ 편집 ]
헤론의 공식은 원에 내접하는 사각형의 넓이를 구하는 브라마굽타 공식의 특별한 경우로 생각할 수 있다.
헤론의 공식과 브라마굽타 공식은 브레치나이더 공식의 사변형에 대한 특별한 경우이다
헤론의 공식은 브라마굽타 공식 또는 브레치나이더 공식에서 사변형의 변 중 하나를 0으로 설정하여 얻을 수 있다.
또한, 헤론의 공식을 행렬식으로 표현하면 다음과 같다.
S = 1 4 | 0 a 2 b 2 1 a 2 0 c 2 1 b 2 c 2 0 1 1 1 1 0 | {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}}
사면체의 부피를 케일리-멩거 행렬식을 통해 나타낸 공식은 헤론의 공식의 일반화이다. 이를 전개한 공식은 15세기에 피에로 델라 프란체스카가 발견한 공식과 일치한다.[1][2]
같이 보기 [ 편집 ]
헤론의 공식, 헤론의 공식 유도 – 수학방
헤론의 공식은 세 변의 길이를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 방법이에요. 세 변의 길이를 알 때 삼각형의 넓이를 구하려면 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 넓이 공식을 이용합니다. 문제는 각의 크기를 모르니까 이를 알아내는 과정이 필요한데 이게 좀 복잡해요.
삼각형의 넓이 공식에서는 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 방법과 공식, 증명을 해봤어요. 이번에는 조금 다른 경우에 삼각형의 넓이를 구하는 방법인 헤론의 공식에 대해서 알아볼 거예요.
삼각함수 사이의 관계 변형 우변 인수분해 대입 괄호 안 통분 분자의 앞 세항을 인수분해 인수분해 우변 곱 양변에 제곱근. 0° < C < 180°이므로 sinC > 0
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｢헤론의 공식 ｣ 증명 변의 길이만으로 삼각형의 넓이를 구할 수 있는 공식
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헤론의 공식, 헤론의 공식 유도
삼각형의 넓이 공식에서는 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 방법과 공식, 증명을 해봤어요. 이번에는 조금 다른 경우에 삼각형의 넓이를 구하는 방법인 헤론의 공식에 대해서 알아볼 거예요.
헤론의 공식은 세 변의 길이를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 방법이에요. 세 변의 길이를 알 때 삼각형의 넓이를 구하려면 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 넓이 공식을 이용합니다. 문제는 각의 크기를 모르니까 이를 알아내는 과정이 필요한데 이게 좀 복잡해요.
그래서 이 과정을 생략할 수 있게 나온 공식이 헤론의 공식입니다. 여기서는 헤론의 공식을 유도해보고 공식이 왜 좋은지 문제를 통해서 알아보죠.
헤론의 공식
세 변의 길이만 알 때 삼각형의 넓이를 구하려면 아래 과정을 거쳐야 해요.
제2 코사인법칙을 이용하여 한 각의 cos을 구함 ①과 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 sin을 구함 ②를 이용하여 넓이를 구함
①, ② 과정이 매우 복잡해요. 그래서 헤론이라는 사람이 공식으로 유도해 놓은 게 있는데 그걸 헤론의 공식이라고 해요.
이 공식을 유도하기에 앞서 전에 공부했던 두 가지 공식의 모양을 조금 바꿔놓고 시작하죠.
첫 번째는 삼각함수 사이의 관계에서 공부했던 sinθ와 cosθ의 관계에요.
다음은 제2 코사인법칙의 모양을 바꿔보죠.
이제 헤론의 공식을 유도해보죠. 앞에 1, 2, 3은 줄번호예요.
삼각함수 사이의 관계 변형 우변 인수분해 대입 괄호 안 통분 분자의 앞 세항을 인수분해 인수분해 우변 곱 양변에 제곱근. 0° < C < 180°이므로 sinC > 0
근호 안이 굉장히 복잡하죠? 여기를 간단히 해보죠. a + b + c = 2s라고 치환해볼까요?
a + b + c = 2s
a + b – c = (a + b + c) – 2c = 2s – 2c = 2(s – c)
a – b + c = (a + b + c) – 2b = 2s – 2b = 2(s – b)
-a + b + c = (a + b + c) – 2a = 2s – 2a = 2(s – a)
이제 이걸 근호 안에 대입해요.
sinC를 구했으니까 삼각형의 넓이 공식 에 대입해보죠.
되게 복잡한 과정을 거쳤더니 공식이 하나 유도되었네요.
헤론의 공식
△ABC의 세 변의 길이를 a, b, c라고 할 때
세 변의 길이가 4, 5, 6인 삼각형의 넓이를 구하여라.
a = 4, b = 5, c = 6이라고 해보죠.
제2 코사인법칙에서
c2 = a2 + b2 – 2abcosC
62 = 42 + 52 – 2 × 4 × 5 × cosC
36 = 16 + 25 – 40cosC
40cosC = 5
cosC =
sinC를 구했으니까 삼각형의 넓이 공식 에 대입해보죠.
정말 복잡하죠? 헤론의 공식에 넣어서 바로 구해보죠.
공식을 이용하니까 훨씬 쉽게 삼각형의 넓이를 구했네요.
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삼각형의 넓이 공식, 삼각형 넓이 공식 증명
1. 헤론의 공식 유도 (A derivation of Heron’s formula)
$$ \begin{align} A&=\frac12ab\sin C \\ &=\frac12ab\sqrt{1-\cos^2C}\quad{\rm since}\quad \cos^2C+\sin^2C=1 \\ &=\frac12ab\sqrt{1-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2} \\ &=\frac12ab\sqrt{1-\frac{\left(a^2+b^2-c^2\right)^2}{4a^2b^2}} \\ &=\frac14\sqrt{(2ab)^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2} \\ &=\frac14\sqrt{\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)} \\ &=\frac14\sqrt{\left[(a+b)^2-c^2\right]\left[c^2-(a-b)^2\right]} \\ &=\frac14\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)} \\ &=\sqrt{\left(\frac{a+b+c}2\right)\left(\frac{a+b-c}2\right)\left(\frac{c+a-b}2\right)\left(\frac{c-a+b}2\right)} \\ &=\sqrt{\left(\frac{a+b+c}2\right)\left(\frac{a+b+c-2c}2\right)\left(\frac{c+a+b-2b}2\right)\left(\frac{c+a+b-2a}2\right)} \\ &=\sqrt{\left(\frac{a+b+c}2\right)\left(\frac{a+b+c}2-c\right)\left(\frac{c+a+b}2-b\right)\left(\frac{c+a+b}2-a\right)} \\ &=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \qquad\square \end{align}$$
$$ \begin{align} A&=\frac12ab\sin C \\ &=\frac12ab\sqrt{1-\cos^2C}\quad{\rm since}\quad \cos^2C+\sin^2C=1 \\ &=\frac12ab\sqrt{1-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2} \\ &=\frac12ab\sqrt{1-\frac{\left(a^2+b^2-c^2\right)^2}{4a^2b^2}} \\ &=\frac14\sqrt{(2ab)^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2} \\ &=\frac14\sqrt{\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)} \\ &=\frac14\sqrt{\left[(a+b)^2-c^2\right]\left[c^2-(a-b)^2\right]} \\ &=\frac14\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)} \\ &=\sqrt{\left(\frac{a+b+c}2\right)\left(\frac{a+b-c}2\right)\left(\frac{c+a-b}2\right)\left(\frac{c-a+b}2\right)} \\ &=\sqrt{\left(\frac{a+b+c}2\right)\left(\frac{a+b+c-2c}2\right)\left(\frac{c+a+b-2b}2\right)\left(\frac{c+a+b-2a}2\right)} \\ &=\sqrt{\left(\frac{a+b+c}2\right)\left(\frac{a+b+c}2-c\right)\left(\frac{c+a+b}2-b\right)\left(\frac{c+a+b}2-a\right)} \\ &=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \qquad\square \end{align}$$
Comment: Heron’s formula can be used when three sides (and no angles) of a triangle are known. To remind you, while this is a convenient formula as long as one remembers its form, one can always work out one of the angles using the cosine rule and then use $\frac12ab\sin C$. Heron’s formula only provides a short-cut.
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1. 헤론의 공식 유도 (A derivation of Heron’s formula)
헤론의 공식(Heron’s formula)은 삼각형의 넓이를 구하는 식이다. 여기서 우리는 삼각형의 넓이를 구하는 두 가지 버전의 공식을 살펴보고, 코사인 법칙(the cosine rule)을 사용하여 헤론의 공식을 유도해보자.
$A=\frac12ah$
$A=\frac12ab\sin C$
헤론의 공식: $A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\,$, 그리고 $s=\frac{a+b+c}{2}\,$는 삼각형 둘레의 절반이다.
곧 살펴보겠지만 이 세 가지 공식은 하나의 공식에서 다른 공식을 유도할 수 있는 만큼 모두 동등하다. 따라서 문제에서 주어진 조건에 따라 이 세 가지 공식 중 적절한 것을 선택하여 사용하면 된다.
삼각형의 넓이 1
우리가 가장 먼저 배우는 삼각형의 넓이 공식은 다음과 같다.
$$ {\rm Area}=\frac12\times{\rm 밑변}\times{\rm 높이}=\frac12ah$$
삼각형의 넓이 2: 삼각함수
위 공식에서 삼각함수를 이용하여 높이 h를 b와 각도 C로 나타낼 수 있다. 즉, $h=b\sin C$.
$$ A=\frac12ah=\frac12ab\sin C$$
Comment: 이 두 번째 공식은 두 변과 그 사잇각을 알 때 사용할 수 있는 공식이다.
코사인 법칙(The cosine rule)
헤론의 공식을 유도하기 위해서는 코사인 법칙을 알아야 한다. 코사인 법칙은 왼쪽 컬럼과 같이 세 가지 버전으로 나타낼 수 있는데, 세 변 중 무엇을 구하고자 하는가에 따라 세 가지로 표현한 것이다. 오른쪽 컬럼은 왼쪽의 공식에서 각도를 구할 수 있게끔 정리한 것이다.
$$ \begin{align} a^2&=b^2+c^2-2bc\cos A &&\Leftrightarrow& \cos A&=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ b^2&=c^2+a^2-2ca\cos B &&\Leftrightarrow& \cos B&=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} \\ c^2&=a^2+b^2-2ab\cos C &&\Leftrightarrow& \cos C&=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \end{align} $$
왼쪽 컬럼을 보면 ‘삼각형의 세 번째 변의 길이는 나머지 두 변의 길이와 사잇각을 통해 구할 수 있다’.
오른쪽 컬럼을 보면 ‘삼각형의 세 각도는 세 변의 길이를 통해 구할 수 있다’.
Proof. 코사인 법칙은 피타고라스의 정리를 통해 증명 가능하다.
위 그림을 보면 왼쪽과 오른쪽, 두 개의 직각삼각형이 보인다. 여기서 왼쪽 직각삼각형의 밑변을 x, 오른쪽 직각삼각형의 밑변을 y라고 하자. 이 두 직각삼각형에 피타고라스의 정리를 적용하면 다음과 같다.
$$ \begin{align} {\rm 왼쪽\;삼각형}:\qquad x^2+h^2&=b^2 \\ {\rm 오른쪽\;삼각형}:\qquad y^2+h^2&=c^2 \\ \Rightarrow\qquad y^2-x^2&=c^2-b^2 \end{align} $$
이제 $y=a-x$ 와 $x=b\cos C$ 를 사용하면, $$ \begin{align} c^2&=b^2+y^2-x^2 \\ &=b^2+(a-x)^2-x^2 \\ &=b^2+a^2-2ax+x^2-x^2 \\ &=a^2+b^2-2ab\cos C\qquad\square \end{align} $$
삼각형의 넓이 3: 헤론의 공식(Heron’s formula)
$$ A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\qquad s=\frac{a+b+c}2 $$
이제 위에서 소개한 ‘삼각형의 넓이 2’에 해당하는 공식과 코사인 법칙(the cosine rule)을 이용하여 헤론의 공식을 유도할 수 있다.
$$ \begin{align} A&=\frac12ab\sin C \\ &=\frac12ab\sqrt{1-\cos^2C}\quad{\rm since}\quad \cos^2C+\sin^2C=1 \\ &=\frac12ab\sqrt{1-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2} \\ &=\frac12ab\sqrt{1-\frac{\left(a^2+b^2-c^2\right)^2}{4a^2b^2}} \\ &=\frac14\sqrt{(2ab)^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2} \\ &=\frac14\sqrt{\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)} \\ &=\frac14\sqrt{\left[(a+b)^2-c^2\right]\left[c^2-(a-b)^2\right]} \\ &=\frac14\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)} \\ &=\sqrt{\left(\frac{a+b+c}2\right)\left(\frac{a+b-c}2\right)\left(\frac{c+a-b}2\right)\left(\frac{c-a+b}2\right)} \\ &=\sqrt{\left(\frac{a+b+c}2\right)\left(\frac{a+b+c-2c}2\right)\left(\frac{c+a+b-2b}2\right)\left(\frac{c+a+b-2a}2\right)} \\ &=\sqrt{\left(\frac{a+b+c}2\right)\left(\frac{a+b+c}2-c\right)\left(\frac{c+a+b}2-b\right)\left(\frac{c+a+b}2-a\right)} \\ &=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \qquad\square \end{align}$$
Comment: 헤론의 공식은 세 변의 길이를 알 때 삼각형의 넓이를 구할 수 있는 식이다. 만약 헤론의 공식이 복잡하게 느껴진다면 굳이 외우고자 노력하지 않아도 된다. 왜냐하면 유도하는 과정에서 알 수 있듯이, 세 변을 알 때 코사인 법칙을 이용하여 세 각도 중 하나를 구할 수 있고, 그런 다음 ‘삼각형의 넓이 2’ 공식을 사용하여 얼마든지 삼각형의 넓이를 구할 수 있기 때문이다. 즉, 헤론의 공식은 이 두 가지 과정을 한 번에 지나갈 수 있는 지름길로 봐도 무방하다.
Heron’s formula calculates the area of a triangle. Here, we will look at two different formulae describing the area of a triangle and then derive the third version, Heron’s formula.
$A=\frac12ah$
$A=\frac12ab\sin C$
Heron’s formula: $A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\,$ where $s=\frac{a+b+c}{2}$. s can be thought of as half the perimeter of the triangle.
As we will see, they are all equivalent and therefore can be used interchangeably depending on the available conditions.
Area of a triangle 1
As widely known, the area of a triangle is:
$$ {\rm Area}=\frac12\times{\rm base}\times{\rm height}=\frac12ah$$
Area of a triangle 2: Trigonometry
We can express the height h in terms of b and the angle C using trigonometry, i.e. $h=b\sin C$
$$ A=\frac12ah=\frac12ab\sin C$$
Comment: This formula can be used when two sides and the angle between them are known.
The cosine rule
In order to derive Heron’s formula, we need to recall what’s commonly called the cosine rule:
$$ \begin{align} a^2&=b^2+c^2-2bc\cos A &&\Leftrightarrow& \cos A&=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ b^2&=c^2+a^2-2ca\cos B &&\Leftrightarrow& \cos B&=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} \\ c^2&=a^2+b^2-2ab\cos C &&\Leftrightarrow& \cos C&=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \end{align} $$
The left hand column says ‘a length of a triangle can be expressed in terms of the other two lengths and the angle betweem them’.
The right hand column says ‘each angle can be expressed in terms of three lengths’.
Proof. The cosine rule can be proved by Pythagoras’ theorem.
There are two right-angled triangles in the diagram such that their bases are x and y respectively. Pythagoras’ theorem applied to them yield:
$$ \begin{align} {\rm Left-hand\;\triangle}:\qquad x^2+h^2&=b^2 \\ {\rm Right-hand\;\triangle}:\qquad y^2+h^2&=c^2 \\ \Rightarrow\qquad y^2-x^2&=c^2-b^2 \end{align} $$
Note that $y=a-x$ and $x=b\cos C$, $$ \begin{align} c^2&=b^2+y^2-x^2 \\ &=b^2+(a-x)^2-x^2 \\ &=b^2+a^2-2ax+x^2-x^2 \\ &=a^2+b^2-2ab\cos C\qquad\square \end{align} $$
Area of a triangle 3: Heron’s formula
$$ A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\qquad s=\frac{a+b+c}2 $$
Using the cosine rule, we can derive Heron’s formula from the second version of the area of a triangle:
$$ \begin{align} A&=\frac12ab\sin C \\ &=\frac12ab\sqrt{1-\cos^2C}\quad{\rm since}\quad \cos^2C+\sin^2C=1 \\ &=\frac12ab\sqrt{1-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2} \\ &=\frac12ab\sqrt{1-\frac{\left(a^2+b^2-c^2\right)^2}{4a^2b^2}} \\ &=\frac14\sqrt{(2ab)^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2} \\ &=\frac14\sqrt{\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)} \\ &=\frac14\sqrt{\left[(a+b)^2-c^2\right]\left[c^2-(a-b)^2\right]} \\ &=\frac14\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)} \\ &=\sqrt{\left(\frac{a+b+c}2\right)\left(\frac{a+b-c}2\right)\left(\frac{c+a-b}2\right)\left(\frac{c-a+b}2\right)} \\ &=\sqrt{\left(\frac{a+b+c}2\right)\left(\frac{a+b+c-2c}2\right)\left(\frac{c+a+b-2b}2\right)\left(\frac{c+a+b-2a}2\right)} \\ &=\sqrt{\left(\frac{a+b+c}2\right)\left(\frac{a+b+c}2-c\right)\left(\frac{c+a+b}2-b\right)\left(\frac{c+a+b}2-a\right)} \\ &=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \qquad\square \end{align}$$
Comment: Heron’s formula can be used when three sides (and no angles) of a triangle are known. To remind you, while this is a convenient formula as long as one remembers its form, one can always work out one of the angles using the cosine rule and then use $\frac12ab\sin C$. Heron’s formula only provides a short-cut.
헤론의 공식의 변신, 변의 길이가 무리수 일 때 – godingMath
23 thg 4, 2020 — 이 글에서는 이 식의 사용법과 증명을 알아 보겠습니다. 헤론의 공식의 기본형. 헤론의 공식은 삼각형의 세 변의 길이가 주어졌을 때, 삼각형의 넓이를 …
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삼각형의 넓이 구하기 (feat.헤론의 공식, 신발끈 공식) [이투스 한컷강의 수학 한정윤 선생님]
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헤론의 공식과 브라마굽타의 공식
삼각형과 원에 내접하는 볼록사각형의 유추를 통해 헤론의 공식을 브라마굽타의 공식으로 확장시킬 수 있다. 코사인 정리를 이용한 헤론의 공식의 증명을 확장하여 브라마 …
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경시 이론 : 영재고 과학고 수학. 헤론의 공식을 증명해봅시다.
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헤론의 공식 증명 – 상식체온 – 티스토리
아직 안 끝났습니다. 여기까지 계산했다면 8부 능선을 넘은 것입니다. 이제 위 식을 좀 더 간략하게 하기 위해서 삼각형이 세 변의 길의 합을 2로 나누어 보겠습니다. 이렇게 계산한 값을 s라고 놓고 정리하면 다음과 같습니다.
위의 코사인 제2법칙에 제시한 식은 다음과 같은 방식으로 정리할 수 있습니다. 오른쪽에 있는 -2bccosA를 등호 왼쪽으로 옮기고, a 제곱은 등호 오른쪽으로 넘겨서 cosA 값이 나오게 정리하면 다음과 같습니다.
다른 방법도 몇 가지 있지만, 이번 글에서 사용하는 방법은 삼각함수를 이용하는 방법입니다. 따라서, 이것을 유도하기 위해서는 고등학교 수준의 삼각함수 내용을 알고 있어서 이해할 수 있습니다.
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헤론의 공식 증명
삼각형 넓이를 구하는 방법은 여러 가지가 있습니다.
이번 글에서는 삼각형의 넓이 구하는 방법 중에서 3 변의 길이만 알 때, 넓이를 구하는 방법에 관해서 알아보고자 합니다.
위와 같은 삼각형이 있다고 가정해 보겠습니다. 위 삼각형에서는 세 변의 길이가 a, b, c만 안다고 가정하면, 넓이 구하는 공식은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
헤론의 공식
위 식은 헤론의 공식이라고 알려진 삼각형 넓이 구하는 식입니다. 이 식은 다음과 같은 방법으로 유도할 수 있습니다.
다른 방법도 몇 가지 있지만, 이번 글에서 사용하는 방법은 삼각함수를 이용하는 방법입니다. 따라서, 이것을 유도하기 위해서는 고등학교 수준의 삼각함수 내용을 알고 있어서 이해할 수 있습니다.
먼저, 삼각함수 사인(sin) 값을 이용해서 삼각형 구하는 공식과 코사인(cos) 제2법칙을 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
위 식에서 A는 삼각형의 한 각이며, a는 각 A의 마주 보는 변, b와 c는 다른 두 변의 길이가 되겠습니다.
위의 코사인 제2법칙에 제시한 식은 다음과 같은 방식으로 정리할 수 있습니다. 오른쪽에 있는 -2bccosA를 등호 왼쪽으로 옮기고, a 제곱은 등호 오른쪽으로 넘겨서 cosA 값이 나오게 정리하면 다음과 같습니다.
x, y좌표에서 중심이 0이고 반지름이 1인 원의 방정식, 또는 삼각함수 그래프 등에서 sinA와 cosA를 각각 제곱해서 더하면 1이 된다는 사실을 가져와서 식을 다음과 같이 정리합니다.
이제 위에서 정리한 사인 A값을 이용한 삼각형 넓이 구하는 공식에 대입합니다.
위 식은 근호 안에 있는 분모 값이 제곱수 이므로 근호 밖으로 꺼낼 수 있으며, 이를 정리하면 다음과 같습니다.
위의 마지막 결과에서 근호 안을 보면 제곱수가 빼기로 연결되어 있습니다. 이제 중학교 때 배운 아래와 같은 인수분해 공식을 가져옵니다.
위 인수분해 식을 이용해서 근호 안에 있는 식을 인수 분해하고, 이를 다음과 같이 더 정리해 보겠습니다.
위 결과를 보면, 눈에 익숙한 제곱의 수 인수분해 형식이 보입니다. 이를 좀 더 편하게 보기 위해서 아래와 같이 정리하고 더 계산해 보겠습니다.
위와 같이 계산하고 보니, 근호 안에 제곱수의 뺄셈이 또 나옵니다. 각각 인수 분해하면 아래와 같이 정리할 수 있습니다.
아직 안 끝났습니다. 여기까지 계산했다면 8부 능선을 넘은 것입니다. 이제 위 식을 좀 더 간략하게 하기 위해서 삼각형이 세 변의 길의 합을 2로 나누어 보겠습니다. 이렇게 계산한 값을 s라고 놓고 정리하면 다음과 같습니다.
위 식을 바로 위의 식 결과의 값에 적용하기 위해 식을 다음과 같이 변경해서 정리해 봅니다.
이렇게 쓰고 보니, 이제 마지막으로 계산했던 식을 s의 값으로 정리하여 계산하면 좀 더 간단하게 계산됩니다. 그리고, 맨 처음 제시한 헤론의 공식이 나옵니다.
헤론의 공식을 다시 한번 정리하면서 글을 마칩니다.
헤론의 공식 결론
**결과만 알고 과정을 모르는 아이에게 설명하기 위해서 쓴 글이므로 혹시 불편하신 분들이 계시다면 양해 부탁드립니다.
주제에 대한 관련 정보 헤론 의 공식
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