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‘불확정성 원리’란 입자의 위치와 운동량을 동시에 정확히 알아낼 수 없고, 두 측정값의 부정확도를 일정 이하로 줄일 수 없다는 양자역학적 원리이다.
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불확정성 원리 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
1924년부터 코펜하겐의 보어 연구소에서 원자의 구조에 대해 연구하던 베르너 하이젠베르크는 1925년 5월, 문제를 단순화시켜 복잡한 수소원자가 아닌 가상적인 조화 진동자를 설정하여 자신의 생각을 구체화하고자 했다. 그는 조화 진동자에서 고전적인 다주기 체계에 상응하는 위치 좌표를 푸리에 급수로 전개하여 이에 대한 수학적인 형식화를 추구한 결과, 그가 시도한 새로운 방법이 에너지 보존법칙을 만족한다는 것을 증명하였다. 그리하여 마침내 1925년 6월, 휴양지인 헬골란트 섬에서 최초로 양자 현상에 대한 새로운 역학을 정립해냈다. 이후 하이젠베르크는 양자 현상 내에서는 물리량들과 연관시킨 수학적 대상 두 개를 함께 곱함으로써 얻어지는 답이 곱이 수행되는 순서에 따라 결과가 달라지는 독특한 특성을 발견했다. (현대적인 표현으로 바꾸어 말하면 여기서 말하는 물리량과 연관된 수학적 대상은 연산자이며, 두 연산자 사이에는 교환관계가 성립하지 않는다고 할 수 있다.) 이 수학적 특징은 당시의 물리학자들에게 친숙하지 않았던 것이어서 쉽게 받아들여지진 않았고 하이젠베르크 자신 역시 그것의 의미를 정확히 알 수 없었다. 이때 막스 보른은 1925년 하이젠베르크의 논문에 담긴 비교환적 양들이 수학자들 사이에서는 잘 알려진 행렬임을 인식할 수 있었고, 하이젠베르크의 연구 내용을 파스쿠알 요르단(Pascual Jordan)과 함께 행렬로 표현해내는데 성공했다. 그리하여 하이젠베르크가 정립한 새로운 역학은 행렬역학이라 명명되었다. 1926년 3월, 하이젠베르크는 행렬역학의 비교환적 성질이 불확정성을 내포하고 있다는 것을 깨닫고(당시 닐스 보어는 ‘불확정성’을 ‘상호보완성’이라고 표현했다), 미시적인 자연 세계를 바라보는 새로운 관점을 제시하고자 노력한 결과, 1927년 3월에 불확정성 원리를 발표하였다.[3]
불확정성 원리는 입자의 위치와 운동량 관계에만 성립하는 것만이 아니라 양자역학의 일반적인 관측에 적용될 수 있다. 양자현상의 관측량들은 연산자에 의해 얻어지는데, 각 연산자들 사이에는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다. 교환법칙이 성립하지 않는 두 연산자를 ‘교환(맞바꿈) 관계에 있지 않다’라고 말하기도 하는데, 이러한 두 연산자에 대해서는 불확정성 원리가 성립한다. 앞서 언급한 위치와 운동량은 교환관계에 있지 않기 때문에 위치와 운동량의 측정은 불확정적인 것이다. 반면 3차원 공간에서의 위치와 운동량을 측정할 경우엔, 다른 두 방향에서의 위치와 운동량은 서로 교환 가능한 관계이므로 그것들에 대해서는 불확정적이지 않게 (정확하게) 관측할 수 있다. 예를 들어 직교좌표계에서의 관측을 생각해보자. x축 상의 위치를 측정하는 행위는 x축상의 운동량에 영향을 주지만, 이 관측은 y축과 z축 상의 위치와 운동량 관측에는 아무런 영향을 주지 않으며 모든 관측에 불확정성은 존재하지 않는다. 만약 처음의 결과가 실험 오차에 의한 것이었다면 x축상의 위치와 y축상의 운동량의 측정 역시 제대로 이루어지지 않아야하는데 그렇지 않다는 부분이 바로 기술적 한계와 불확정성 원리가 구별되는 부분이다.
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위키백과, 우리 모두의 백과사전
하이젠베르크 불확정성 원리(Heigenberg 不確定性原理, Heigenberg uncertainty principle)는 양자 역학에서 맞바꿈 관측가능량(commuting observables)이 아닌 두 개의 관측가능량(observable)을 동시에 측정할 때, 둘 사이의 정확도에는 물리적 한계가 있다는 원리다.[1][2] 불확정성 원리는 양자역학에 대한 추가적인 가정이 아니고 양자역학의 통계적 해석으로부터 얻어진 근본적인 결과이다. 하이젠베르크의 불확정성 원리는 위치-운동량에 대한 불확정성 원리이며, 입자의 위치와 운동량을 동시에 정확히 측정할 수 없다는 것을 뜻한다. 위치가 정확하게 측정될수록 운동량의 퍼짐(또는 불확정도)은 커지게 되고 반대로 운동량이 정확하게 측정될수록 위치의 불확정도는 커지게 된다.
하이젠베르크의 불확정성 원리를 수학적으로 표현하면 다음과 같다. 임의의 양자상태에서 위치의 평균에 대한 제곱평균제곱근(RMS)편차 (X의 표준편차)는
σ x = ⟨ ( X − ⟨ X ⟩ ) 2 ⟩ {\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle (X-\langle X\rangle )^{2}\rangle }}}
운동량의 평균에 대한 제곱평균제곱근 편차 (P의 표준편차)는
σ p = ⟨ ( P − ⟨ P ⟩ ) 2 ⟩ {\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle (P-\langle P\rangle )^{2}\rangle }}}
두 표준편차의 곱은 다음과 같다.
σ x σ p ≥ ℏ 2 {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\hbar \over 2}}
즉, 위치와 운동량의 표준편차의 곱은 디랙 상수의 절반보다 같거나 크다.
또한, 수학적으로 다음과 같이 설명 할 수 있다: 푸리에 해석학에서, 푸리에 변환의 두 변수 사이에는 특정한 관계가 성립한다. 한편, 우리가 양자역학의 파동역학적 관점을 채택한다면, 파동함수의 변수를 여러 관측가능량들 중 하나로 설정할 수 있다. 그런데, 비 가환(non-commutation)인 두 관측가능량들 x , x ′ {\displaystyle x,x’} 을 변수로 하는 두 파동함수들 ψ ( x ) , ψ ( x ′ ) {\displaystyle \psi (x),\psi (x’)} 사이에는 푸리에 변환 관계가 성립하며, 그러면 자명하게 두 관측가능량은 앞서 언급한 푸리에 변환의 두 변수 사이의 관계가 성립한다. 이 관계를 양자역학적으로 해석하면 하이젠베르크 불확정성 원리가 된다. 이는, 결국 이 원리는 푸리에 변환의 성질에 기인하므로, 하이젠베르크 불확정성 같은 성질은 양자역학에만 있는것이 아니며, 푸리에 변환으로 설명되는 모든 현상에 다 있다는 뜻이기도하다.
물리적 의미 [ 편집 ]
불확정성의 원리의 물리적 의미를 해석하는 데에는 여러 관점이 있다. 아래는 기본적으로 양자역학의 코펜하겐 해석에 따라 불확정성 원리의 의미를 서술한 것이다.
‘불확정성 원리’란 입자의 위치와 운동량을 동시에 정확히 알아낼 수 없고, 두 측정값의 부정확도를 일정 이하로 줄일 수 없다는 양자역학적 원리이다. 고전역학의 예측과는 달리, 양자역학에서는 위치와 운동량이 동시에 확정적인 값을 가질 수 없으며 위치의 불확정성과 운동량의 불확정성이 플랑크상수에 의해 제한되어 있다. 이는 입자계로부터 동일한 측정의 과정을 여러 번 거친 통계에 대한 진술이지, 단순히 입자계를 한번 측정하여 얻어지는 결과가 아니다. 양자현상은 특정한 시도에 의해 그때그때 얻어지는 결과물에 대한 예측이 아니며, 여러 번의 관찰로부터 얻어지는 기댓값과 같은 통계적인 예측만을 할 수 있다. 불확정성 원리는 이러한 양자현상의 특성을 잘 보여주는 물리적인 원리이다.
불확정성 원리는 입자의 위치와 운동량 관계에만 성립하는 것만이 아니라 양자역학의 일반적인 관측에 적용될 수 있다. 양자현상의 관측량들은 연산자에 의해 얻어지는데, 각 연산자들 사이에는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다. 교환법칙이 성립하지 않는 두 연산자를 ‘교환(맞바꿈) 관계에 있지 않다’라고 말하기도 하는데, 이러한 두 연산자에 대해서는 불확정성 원리가 성립한다. 앞서 언급한 위치와 운동량은 교환관계에 있지 않기 때문에 위치와 운동량의 측정은 불확정적인 것이다. 반면 3차원 공간에서의 위치와 운동량을 측정할 경우엔, 다른 두 방향에서의 위치와 운동량은 서로 교환 가능한 관계이므로 그것들에 대해서는 불확정적이지 않게 (정확하게) 관측할 수 있다. 예를 들어 직교좌표계에서의 관측을 생각해보자. x축 상의 위치를 측정하는 행위는 x축상의 운동량에 영향을 주지만, 이 관측은 y축과 z축 상의 위치와 운동량 관측에는 아무런 영향을 주지 않으며 모든 관측에 불확정성은 존재하지 않는다. 만약 처음의 결과가 실험 오차에 의한 것이었다면 x축상의 위치와 y축상의 운동량의 측정 역시 제대로 이루어지지 않아야하는데 그렇지 않다는 부분이 바로 기술적 한계와 불확정성 원리가 구별되는 부분이다.
또한 불확정성 원리는 관측 행위의 순서가 관측하고자 하는 상태에 영향을 주는 양자현상의 특징을 함축하고 있기도 하다. 교환관계에 있지 않은 두 연산자에 의한 관측을 연속적으로 수행하는 경우, 즉 한번의 관측을 수행한 후 다른 관측을 수행할 때 두 관측 순서를 바꾸면 각각은 다른 결과가 얻어지게 된다. 이것은 처음의 관측에 의해 상태가 변화하게 되어 다음 관측에서는 처음과 같지 않은 상태에 대해 측정을 수행하기 때문에 발생하는 현상이다. 이렇게 초기 상태가 관측에 의해 다른 상태로 바뀌는 것을 파동 함수 붕괴 (wave function collapse)라고 말한다. 양자 현상의 상태는 파동함수로 표현되므로, 그 파동 함수가 변화했다는 것은 수학적 계산에 의해 전과 같은 관측량을 얻을 수 없다는 것을 뜻한다.
역사 [ 편집 ]
1924년부터 코펜하겐의 보어 연구소에서 원자의 구조에 대해 연구하던 베르너 하이젠베르크는 1925년 5월, 문제를 단순화시켜 복잡한 수소원자가 아닌 가상적인 조화 진동자를 설정하여 자신의 생각을 구체화하고자 했다. 그는 조화 진동자에서 고전적인 다주기 체계에 상응하는 위치 좌표를 푸리에 급수로 전개하여 이에 대한 수학적인 형식화를 추구한 결과, 그가 시도한 새로운 방법이 에너지 보존법칙을 만족한다는 것을 증명하였다. 그리하여 마침내 1925년 6월, 휴양지인 헬골란트 섬에서 최초로 양자 현상에 대한 새로운 역학을 정립해냈다. 이후 하이젠베르크는 양자 현상 내에서는 물리량들과 연관시킨 수학적 대상 두 개를 함께 곱함으로써 얻어지는 답이 곱이 수행되는 순서에 따라 결과가 달라지는 독특한 특성을 발견했다. (현대적인 표현으로 바꾸어 말하면 여기서 말하는 물리량과 연관된 수학적 대상은 연산자이며, 두 연산자 사이에는 교환관계가 성립하지 않는다고 할 수 있다.) 이 수학적 특징은 당시의 물리학자들에게 친숙하지 않았던 것이어서 쉽게 받아들여지진 않았고 하이젠베르크 자신 역시 그것의 의미를 정확히 알 수 없었다. 이때 막스 보른은 1925년 하이젠베르크의 논문에 담긴 비교환적 양들이 수학자들 사이에서는 잘 알려진 행렬임을 인식할 수 있었고, 하이젠베르크의 연구 내용을 파스쿠알 요르단(Pascual Jordan)과 함께 행렬로 표현해내는데 성공했다. 그리하여 하이젠베르크가 정립한 새로운 역학은 행렬역학이라 명명되었다. 1926년 3월, 하이젠베르크는 행렬역학의 비교환적 성질이 불확정성을 내포하고 있다는 것을 깨닫고(당시 닐스 보어는 ‘불확정성’을 ‘상호보완성’이라고 표현했다), 미시적인 자연 세계를 바라보는 새로운 관점을 제시하고자 노력한 결과, 1927년 3월에 불확정성 원리를 발표하였다.[3]
후에 하이젠베르크는 자신이 불확정성 원리를 창안할 수 있었던 것은 알베르트 아인슈타인의 영향을 받았기 때문이라고 회고했다. 아인슈타인은 “관찰이란 현상과 그것에 관련된 자연법칙을 알고 있을 때만 의미가 있으며, 관찰할 수 있는 것이 무엇인지를 결정해주는 것이 이론이다.”라고 말했는데, 하이젠베르크는 이러한 관점하에 새로운 현상에 대한 연구를 수행한 결과 불확정성 원리에 대한 기본적인 착상을 할 수 있었다고 한다. (아이러니하게도 그러한 계기를 제공한 아인슈타인은 양자역학의 불확정성, 비결정론적인 특성을 매우 못마땅하게 생각했다.) 불확정성 원리에 대한 수학적인 논증을 완성한 하이젠베르크는 이후 사고 실험을 통하여 빛과 물질의 파동, 입자의 이중성이 불확정성으로 연결된다는 것을 입증하려고 했다.
하이젠베르크의 1927년 논문은 Δ x {\displaystyle \Delta x} 와 Δ p {\displaystyle \Delta p} 가 무엇을 의미하는지 정확히 명시하지 않았고, 다음과 같은 형태였다.
Δ x Δ p ≳ h {\displaystyle \Delta x\Delta p\gtrsim h}
같은 해 7월에 미국의 얼 케너드(Earle Hesse Kennard)가 오늘날과 같이 Δ x {\displaystyle \Delta x} 와 Δ p {\displaystyle \Delta p} 를 관측가능량의 표준편차로 정의하고, 오늘날과 같은 형태의 부등식
Δ x Δ p ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p\geq \hbar /2}
을 증명하였다.[4]
하이젠베르크의 현미경 [ 편집 ]
하이젠베르크의 현미경. 전자 (파란색), 입사되는 감마선 (녹색), 산란된 감마선 (붉은색). 산란된 감마선 은 현미경의 관측 구경에 임의의 각도로 들어오게 된다.
현미경으로 입자를 관측하는 사고 실험인 하이젠베르크의 현미경(Heisenberg’s microscope)은 하이젠베르크가 불확정성의 원리를 설명하는데 사용했던 대표적인 방법이었다. 하이젠베르크는 현미경에 사용하는 빛의 파장이 짧을수록 상을 형성하는 해상도가 높다는 사실을 토대로, 원자 속 전자의 위치를 정밀하게 측정하기 위해서는 관측에 사용되는 빛은 감마선 정도여야 한다고 생각했다. 원자 속의 전자를 관측하기 위해 감마선과 같이 짧은 파장(높은 진동수)의 광자를 쏠 경우, 감마선 광자가 가진 운동량은 매우 커서 원자가 전자를 잡아두는 에너지를 초과한다. 따라서 이 경우 전자의 위치는 정확히 관측되지만, 광자는 전자에 큰 임의의 운동량을 전달하므로 컴프턴 효과에 의해 전자의 운동량은 부정확하게 측정된다. 반대로 전자를 관측하기 위해 긴 파장(낮은 진동수)의 광자를 쏠 경우 광자의 충돌이 전자의 운동량에 큰 영향을 주지 않지만, 전자에 의해 크게 산란된 광자는 관측자에게 전자의 위치를 정확히 전달해 줄 수 없다. 위의 두 상황에 의해, 전자의 위치와 운동량을 동시에 정확히 아는 것은 불가능하다.
유도 과정 [ 편집 ]
하이젠베르크의 불확정성 원리에 대한 발견적 논의 [ 편집 ]
슬릿을 통과하는 입자의 위치-운동량 불확정성
작은입자가 x축 방향으로 놓인 폭이 a인 슬릿을 통과하는 경우를 생각해보자. 이 경우 x축으로의 불확정성은 △ x {\displaystyle \triangle x} 가 된다. 이 입자는 드브로이의 물질파에 해당되는 파동의 성질을 가지고 있기 때문에 슬릿을 통과한 입자의 파동은 회절하게 되고, sin θ = λ a {\displaystyle \sin \theta ={\frac {\lambda }{a}}} 인 곳에서 첫 번째 간섭무늬가 나타나게 된다. 이 경우 전자가 발견될 확률은 회절된 파동함수의 제곱에 비례하기 때문에, 입자의 확률적 분포가 절반각인 θ {\displaystyle \theta } 에 해당되는 영역 안으로 제한될 것을 의미한다. 따라서 운동량의 불확정도는 다음과 같다.
△ p ≈ p sin θ = p λ a {\displaystyle \triangle p\approx p\sin \theta =p{\frac {\lambda }{a}}}
이때 드브로이의 물질파 관계식으로부터 운동량 p = h λ {\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }}} 이므로 위치와 운동량의 불확정도는 다음과 같다.
△ x △ p ≃ h {\displaystyle \triangle x\triangle p\simeq h}
이 과정은 일반적인 수학적 증명이 아니라, 위치와 운동량 불확정성이 어떻게 발생하는지 설명하는 발견적 논의(heuristic argument)이므로 그 결과는 정성적이다. 즉, 위 식의 우변인 h는 수학적으로 엄밀한 불확정도가 아니다.
일반화된 불확정성 원리 [ 편집 ]
임의의 관측량 A에 대한 분산은 다음과 같다.
σ A 2 = ⟨ ( A ^ − ⟨ A ⟩ ) Ψ | ( A ^ − ⟨ A ⟩ ) Ψ ⟩ {\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi }\right\rangle }
마찬가지로 관측량 B의 분산은 다음과 같다.
σ B 2 = ⟨ ( B ^ − ⟨ B ⟩ ) Ψ | ( B ^ − ⟨ B ⟩ ) Ψ ⟩ {\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\left\langle {({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle }
이에 대해 코시-슈바르츠 부등식을 적용하면 다음의 식을 얻는다.
σ A 2 σ B 2 = ⟨ ( A ^ − ⟨ A ⟩ ) Ψ | ( A ^ − ⟨ A ⟩ ) Ψ ⟩ ⟨ ( B ^ − ⟨ B ⟩ ) Ψ | ( B ^ − ⟨ B ⟩ ) Ψ ⟩ ⩾ | ⟨ ( A ^ − ⟨ A ⟩ ) Ψ | ( B ^ − ⟨ B ⟩ ) Ψ ⟩ | 2 {\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}=\left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi }\right\rangle \left\langle {({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle \geqslant \left|{\left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle }\right|^{2}}
한편, 임의의 복소수 z는 복소수의 일반적인 성질에 의해 다음의 식이 항상 성립한다.
| z | 2 = [ Re ( z ) ] 2 + [ Im ( z ) ] 2 ⩾ [ Im ( z ) ] 2 = [ 1 2 i ( z − z ∗ ) ] 2 {\displaystyle \left|z\right|^{2}=\left[{\operatorname {Re} (z)}\right]^{2}+\left[{\operatorname {Im} (z)}\right]^{2}\geqslant \left[{\operatorname {Im} (z)}\right]^{2}=\left[{{\frac {1}{2i}}(z-z^{*})}\right]^{2}}
따라서 우변의 | ⟨ ( A ^ − ⟨ A ⟩ ) Ψ | ( B ^ − ⟨ B ⟩ ) Ψ ⟩ | 2 {\displaystyle \left|{\left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle }\right|^{2}} 에 위의 관계를 적용하면 다음과 같다.
| ⟨ ( A ^ − ⟨ A ⟩ ) Ψ | B ^ − ⟨ B ⟩ ) Ψ ⟩ | 2 ⩾ ( 1 2 i [ ⟨ ( A ^ − ⟨ A ⟩ ) Ψ | ( B ^ − ⟨ B ⟩ ) Ψ ⟩ − ⟨ ( B ^ − ⟨ B ⟩ ) Ψ | ( A ^ − ⟨ A ⟩ ) Ψ ⟩ ] ) 2 {\displaystyle \left|{\left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |{\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle }\right|^{2}\geqslant \left({{\frac {1}{2i}}\left[{\left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle -\left\langle {({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi }\right\rangle }\right]}\right)^{2}}
위 식 우변의 괄호 안의 내적을 계산하면 다음과 같다.
⟨ ( A ^ − ⟨ A ⟩ ) Ψ | ( B ^ − ⟨ B ⟩ ) Ψ ⟩ {\displaystyle \left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle } = ⟨ Ψ | ( A ^ − ⟨ A ⟩ ) ( B ^ − ⟨ B ⟩ ) Ψ ⟩ {\displaystyle =\left\langle {\Psi |({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle } = ⟨ Ψ | ( A ^ B ^ − A ^ ⟨ B ⟩ − B ^ ⟨ A ⟩ + ⟨ A ⟩ ⟨ B ⟩ ) Ψ ⟩ {\displaystyle =\left\langle {\Psi |({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {A}}\left\langle B\right\rangle -{\hat {B}}\left\langle A\right\rangle +\left\langle A\right\rangle \left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle } = ⟨ Ψ | A ^ B ^ Ψ ⟩ − ⟨ B ⟩ ⟨ Ψ | A ^ Ψ ⟩ − ⟨ A ⟩ ⟨ Ψ | B ^ Ψ ⟩ + ⟨ A ⟩ ⟨ B ⟩ ⟨ Ψ | Ψ ⟩ {\displaystyle =\left\langle {\Psi |{\hat {A}}{\hat {B}}\left.\Psi \right\rangle -\left\langle B\right\rangle \left\langle \Psi \right.|{\hat {A}}\left.\Psi \right\rangle -\left\langle A\right\rangle \left\langle \Psi \right.|{\hat {B}}\left.\Psi \right\rangle +\left\langle A\right\rangle \left\langle B\right\rangle \left\langle \Psi \right.|\Psi }\right\rangle } = ⟨ A ^ B ^ ⟩ − ⟨ B ⟩ ⟨ A ⟩ − ⟨ A ⟩ ⟨ B ⟩ + ⟨ A ⟩ ⟨ B ⟩ {\displaystyle =\left\langle {{\hat {A}}{\hat {B}}}\right\rangle -\left\langle B\right\rangle \left\langle A\right\rangle -\left\langle A\right\rangle \left\langle B\right\rangle +\left\langle A\right\rangle \left\langle B\right\rangle } = ⟨ A ^ B ^ ⟩ − ⟨ A ⟩ ⟨ B ⟩ {\displaystyle =\left\langle {{\hat {A}}{\hat {B}}}\right\rangle -\left\langle A\right\rangle \left\langle B\right\rangle }
마찬가지로,
⟨ ( B ^ − ⟨ B ⟩ ) Ψ | ( A ^ − ⟨ A ⟩ ) Ψ ⟩ {\displaystyle \left\langle {({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi }\right\rangle } = ⟨ B ^ A ^ ⟩ − ⟨ B ⟩ ⟨ A ⟩ {\displaystyle =\left\langle {{\hat {B}}{\hat {A}}}\right\rangle -\left\langle B\right\rangle \left\langle A\right\rangle }
그러므로 부등식 괄호 안의 내적은 최종적으로 다음과 같이 표현된다.
⟨ ( A ^ − ⟨ A ⟩ ) Ψ | ( B ^ − ⟨ B ⟩ ) Ψ ⟩ − ⟨ ( B ^ − ⟨ B ⟩ ) Ψ | ( A ^ − ⟨ A ⟩ ) Ψ ⟩ = ⟨ A ^ B ^ ⟩ − ⟨ B ^ A ^ ⟩ {\displaystyle \left\langle {({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi }\right\rangle -\left\langle {({\hat {B}}-\left\langle B\right\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\left\langle A\right\rangle )\Psi }\right\rangle =\left\langle {{\hat {A}}{\hat {B}}}\right\rangle -\left\langle {{\hat {B}}{\hat {A}}}\right\rangle }
위 계산결과는 다음과 같이 두 연산자에 대한 교환자 표기법으로 나타낼 수 있다.
[ A ^ , B ^ ] ≡ A ^ B ^ − B ^ A ^ {\displaystyle [{{\hat {A}},{\text{ }}{\hat {B}}}]\equiv {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}따라서 최종적으로 다음의 식을 얻게 된다.
σ A 2 σ B 2 ⩾ ( 1 2 i ⟨ [ A ^ , B ^ ] ⟩ ) 2 {\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geqslant \left({{\frac {1}{2i}}\left\langle {[{\hat {A}},{\text{ }}{\hat {B}}]}\right\rangle }\right)^{2}}
이것이 일반화된 불확정성 원리이다.
여기서 A ^ , B ^ {\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}} 는 임의의 연산자이므로 교환자가 0이 아닌 두 연산자에 대해서는 불확정성 원리가 성립한다. 따라서 하이젠베르크의 위치-운동량 불확정성은 일반화된 불확정성의 특정한 예라고 할 수 있다.
위치-운동량 불확정성 원리 [ 편집 ]
1차원(x축) 공간 상에 존재하는 입자의 위치와 운동량을 측정하는 경우를 생각해보자. 양자역학에서 운동량을 측정하는 연산자는 다음과 같다.
p = − ℏ i d d x {\displaystyle p=-{\hbar }{i}{\frac {d}{dx}}}
위치와 운동량 연산자의 교환자는 다음의 과정을 통해 계산된다.
[ x , p ] f = ( x p − p x ) f = − x ℏ i d f d x + ℏ i d d x ( x f ) {\displaystyle [x,{\text{ }}p]f=(xp-px)f=-x{{\hbar }{i}{\frac {df}{dx}}}+{\hbar }{i}{\frac {d}{dx}}(xf)} = − x ℏ i d f d x + ( x ℏ i d f d x + ℏ i f ) = i ℏ f {\displaystyle =-x{\hbar }{i}{\frac {df}{dx}}+\left(x{\hbar }{i}{\frac {df}{dx}}+{\hbar }{i}f\right)=i\hbar f}임의의 함수 f를 제거하면 위치-운동량 교환자를 얻을 수 있다.
[ x , p ] = i ℏ {\displaystyle \left[{x,{\text{ }}p}\right]=i\hbar }이것을 일반화된 불확정성 원리에 대입하면 다음과 같다.
σ x 2 σ p 2 ⩾ ( 1 2 i i ℏ ) 2 {\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}\geqslant \left({{\frac {1}{2i}}i\hbar }\right)^{2}}
양변에 제곱근을 취하면 다음과 같다.
σ x σ p ⩾ ℏ 2 {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}
이것이 하이젠베르크의 위치-운동량 불확정성 원리이다.
위치-운동량 불확정성 원리의 보완 [ 편집 ]
불확정성 원리는 양자역학에 대한 추가적인 가정이 아니며 양자역학의 기본 가정으로부터 유도되는 하나의 결과이다. 하이젠베르크의 위치-운동량 불확정성에 대한 보다 엄밀한 전개로써 2003년 1월에 나고야 대학교의 오자와 마사나오(小澤正直) 교수는 측정의 한계, 측정 행위에 의한 교란과 양자 자체의 성질에 의한 양자의 움직임을 엄밀하게 구별하는 식을 제안했다.[5][6][7] 본래의 하이젠베르크의 위치-운동량 불확정성
σ x σ p ⩾ ℏ 2 {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geqslant {\hbar \over 2}}
은 물리량 A {\displaystyle A} 와 그것을 측정하는 결과 연산자 O A {\displaystyle O_{A}} 와의 차이에 대한 제곱평균제곱근을 의미하는 ϵ A {\displaystyle \epsilon _{A}} 와 측정 도중의 A {\displaystyle A} 의 변화량(요동)의 제곱평균제곱근을 의미하는 η A {\displaystyle \eta _{A}} 를 도입하면
ϵ x η p ⩾ ℏ 2 {\displaystyle \epsilon _{x}\eta _{p}\geqslant {\hbar \over 2}}
와 같게 되는데, 오자와는 보다 일반적인 위치-운동량 불확정성 원리의 보완식으로써 두 개의 항이 추가되는
ϵ x η p + ϵ x σ p + σ x η p ⩾ ℏ 2 {\displaystyle \epsilon _{x}\eta _{p}+\epsilon _{x}\sigma _{p}+\sigma _{x}\eta _{p}\geqslant {\hbar \over 2}}
을 제시하였다. 이 식에 따르면 작은 양자에 대하여 기존의 위치-운동량 불확정성의 ‘측정의 한계’를 넘는 측정이 가능하게 된다. 이것은 이후 빈 공과 대학교와 나고야 대학교의 공동 연구에 의하여 특정 조건에서 놓인 중성자의 두 종류 스핀 값을 동시에 정확하게 측정하는 실험으로써 증명되었으며, 2012년 1월 15일 《네이쳐 피직스》에 개재되었다.[6][7][8][9]
에너지-시간 불확정성 원리 [ 편집 ]
임의의 관측량 Q ( x , p , t ) {\displaystyle Q(x,p,t)} 의 기댓값을 시간에 대해 미분하면 다음과 같다.
d d t ⟨ Q ⟩ = d d t ⟨ Ψ ∣ Q ^ Ψ ⟩ = ⟨ ∂ Ψ ∂ t ∣ Q ^ Ψ ⟩ + ⟨ Ψ ∣ ∂ Q ^ ∂ t Ψ ⟩ + ⟨ Ψ ∣ Q ^ ∂ Ψ ∂ t ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle Q\right\rangle ={\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi \mid {\hat {Q}}\Psi \right\rangle =\left\langle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\mid {\hat {Q}}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi \mid {\frac {\partial {\hat {Q}}}{\partial t}}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi \mid {\hat {Q}}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\right\rangle }
슈뢰딩거 방정식을 적용하면
i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ {\displaystyle i\hbar {\partial \Psi \over \partial t}={\hat {H}}\Psi }
이므로 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
d d t ⟨ Q ⟩ = − 1 i ℏ ⟨ H ^ Ψ ∣ Q ^ Ψ ⟩ + 1 i ℏ ⟨ Ψ ∣ Q ^ H ^ Ψ ⟩ + ⟨ ∂ Q ^ ∂ t ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle Q\right\rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle {\hat {H}}\Psi \mid {\hat {Q}}\Psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \Psi \mid {\hat {Q}}{\hat {H}}\Psi \right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {Q}}}{\partial t}}\right\rangle }
H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} 는 헤르미트이므로 ,
⟨ H ^ Ψ ∣ Q ^ Ψ ⟩ = ⟨ Ψ ∣ H ^ Q ^ Ψ ⟩ {\displaystyle \left\langle {\hat {H}}\Psi \mid {\hat {Q}}\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \mid {\hat {H}}{\hat {Q}}\Psi \right\rangle }
따라서 임의의 관측량 Q {\displaystyle Q} 와 그것에 대한 연산자 Q ^ {\displaystyle {\hat {Q}}} , 해밀토니안 H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} 사이에는 다음의 관계가 성립한다.
d d t ⟨ Q ⟩ = i ℏ ⟨ [ H ^ , Q ^ ] ⟩ + ⟨ ∂ Q ^ ∂ t ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle Q\right\rangle ={\frac {i}{\hbar }}\left\langle {[{\hat {H}},{\text{ }}{\hat {Q}}]}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {Q}}}{\partial t}}\right\rangle }
연산자 Q ^ {\displaystyle {\hat {Q}}} 가 시간에 무관하다고 가정하면 마지막 항은 0이 된다. 이제 위 식을 일반화된 불확정성 원리를 적용하면 다음과 같다.
σ H 2 σ Q 2 ⩾ ( 1 2 i ⟨ [ H ^ , Q ^ ] ⟩ ) 2 = ( 1 2 i ℏ i d ⟨ Q ⟩ d t ) 2 = ( ℏ 2 ) 2 ( d ⟨ Q ⟩ d t ) 2 {\displaystyle \sigma _{H}^{2}\sigma _{Q}^{2}\geqslant \left({{\frac {1}{2i}}\left\langle {[{\hat {H}},{\text{ }}{\hat {Q}}]}\right\rangle }\right)^{2}=\left({{\frac {1}{2i}}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {d\left\langle Q\right\rangle }{dt}}}\right)^{2}=\left({\frac {\hbar }{2}}\right)^{2}\left({\frac {d\left\langle Q\right\rangle }{dt}}\right)^{2}}
위 식의 양변에 제곱근을 취하면 다음과 같다.
σ H σ Q ⩾ ℏ 2 | d ⟨ Q ⟩ d t | {\displaystyle \sigma _{H}\sigma _{Q}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}\left|{\frac {d\left\langle Q\right\rangle }{dt}}\right|}
여기서 에너지와 시간을 다음과 같이 정의할 수 있다.
Δ E ≡ σ H {\displaystyle \Delta E\equiv \sigma _{H}} Δ t ≡ σ Q | d ⟨ Q ⟩ / d t | {\displaystyle \Delta t\equiv {\frac {\sigma _{Q}}{\left|{d\left\langle Q\right\rangle /dt}\right|}}}
따라서 다음의 관계식을 얻을 수 있다.
Δ E Δ t ⩾ ℏ 2 {\displaystyle \Delta E\Delta t\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}
이 식이 바로 에너지-시간의 불확정성 원리이다.
주요 반론 [ 편집 ]
보어-아인슈타인 논쟁은 아인슈타인이 당시 점차 표준으로 받아들여지고 있던 양자역학의 코펜하겐 해석에 대해 여러 차례에 걸쳐 이의를 제기하고, 이에 대해 닐스 보어가 반박한 사건을 말한다. 대표적으로 제5차(1927년) 솔베 회의에서 언급된 ‘아인슈타인의 슬릿’과 제6차(1930년) 솔베 회의에서 언급된 ‘아인슈타인의 박스’가 불확정성원리에 대한 대표적인 반론이다.
또한 양자역학의 측정에 대해 문제를 제기한 정교한 사고실험인 ‘EPR 역설'(1935년)이 있다.
아인슈타인의 슬릿 [ 편집 ]
‘아인슈타인의 슬릿’은 아인슈타인의 사고실험으로서, 그 내용을 요약하면 다음과 같다.
입자가 좁은 슬릿을 통과하는 경우, 슬릿을 통과한 입자는 슬릿의 폭에 반비례하는 운동량의 불확정성을 갖게 된다. 하지만 입자의 운동량을 측정하는게 아니라, 입자가 충돌한 벽이 후퇴한 정도를 측정하여 운동량 보존법칙을 이용하면 입자의 정확한 운동량을 측정할 수 있다.
이에 대한 보어의 반론은 다음과 같다.
벽 역시 양자역학의 불확정성 원리를 따르므로 입자가 충돌하기 전 벽의 운동량 역시 불확정성을 지닌다. 따라서 충돌 후 벽이 후퇴한 정도를 측정할 때 벽 역시 위치의 불확정성을 갖게 되어 정확한 측정이 불가능하다.
아인슈타인의 상자 [ 편집 ]
아인슈타인의 상자는 알베르트 아인슈타인이 고안한, 에너지-시간 관계의 불확정성에 대한 사고 실험이다. 그 내용을 요약하면 다음과 같다.
낮은 밀도의 전자기 복사선으로 채워져 있고 내부에는 시계에 의해 작동되는 셔터를 갖춘 상자를 가정하자. 단 하나의 광자만 상자로부터 빠져나올 수 있도록 시계가 특정한 시간 간격으로 셔터를 열고 닫을 수 있게 설정되어 있다. 광자가 빠져나온다면 상자 내부의 에너지가 감소되는 것이므로 질량-에너지 등가원리에 의해 광자가 빠져나오기 전, 후 상자의 질량에는 변화가 있을 것이다. 따라서 시계가 셔터를 열고닫은 시간과 에너지차이를 정확히 계산할 수 있기 때문에 에너지 차이와 시간간격의 곱을 불확정성 원리에 위배되는 정도로 작게 만들 수 있을 것이다.
이에 대한 닐스 보어의 반론은 다음과 같다.
광자가 상자를 빠져나갈 때 발생하는 질량 손실은 중력장의 변화를 유발시키고, 따라서 상자 내부의 시계의 속도에 영향을 주게 된다.
보어는 이 효과가 불확정성 관계에 정확하게 일치함을 보일 수 있었고, 아인슈타인은 자신의 이론에 의해 반박당할 수밖에 없었다. 이후 아인슈타인은 양자역학의 모순성보다는 불완전성의 문제에 집중하였다.
EPR 역설 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 EPR 역설 입니다.
“Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?”이라는 제목의 논문으로 발표된 EPR 역설은 1935년 아인슈타인, 포돌스키, 로젠에 의해 발표되었다(EPR이란 명칭은 세명의 앞글자를 딴 것이다). 물리계는 측정하기 전에 이미 물리적 성질들을 실제로 가지고 있다는 국소적 실재론 관점을 고수하던 아인슈타인은 포돌스키, 로젠과 함께 이를 입증하기 위한 정교한 가상실험을 설계했다. EPR측은 어떠한 물리적 영향력도 빛의 속도보다 빠르게 전달될 수 없다는 ‘국소성의 원리’를 근본 원리로 가정하고 있다. 양자역학의 전통적인 입장에 따르면 측정에 의한 파동함수의 붕괴는 거리에 관계없이 먼 곳에 순식간에 영향을 미치게 되는 것(action-at-a-distance)이므로, 양자역학은 국소성의 원리에 어긋나는 역설적인 상황을 발생시키게 된다. 따라서 양자역학은 불완전 체계이며, 물리계의 상태를 완벽하게 알아내기 위해선 파동함수 이상의 ‘숨은 변수’가 존재해야 한다고 주장했다.
1964년 존 벨은 EPR 역설을 검증할 수 있는 실제 실험을 고안했다. 벨은 실험의 결과가 ‘벨의 부등식’을 판별한다고 말했는데, 부등식이 성립한면 EPR측의 주장이 옳은 것이고 부등식이 성립하지 않는다면 양자역학의 체계가 유지되며 어떠한 숨은 변수도 허용되지 않음이 밝혀지는 것이었다. 이후 벨부등식을 입증하기 위한 다양한 실험을 수행한 결과, 부등식이 성립하지 않는다는 것이 밝혀져 양자역학의 비국소적 특징이 밝혀짐과 동시에 양자역학의 체계가 유지될 수 있었다.
벨의 실험과는 별개의 방법으로 EPR이 주장한 나타난 양자역학의 비국소적 특징을 설명할 수도 있다. 만약 EPR측의 주장처럼 파동함수의 붕괴가 유한한 속도로 일어난다면 국소성의 원리보다 더 우선시되는 원리인 ‘각운동량 보존법칙’이 깨어지게 된다.(이렇게 될 경우 물리화학에서 있을 수 없는 상황이 발생할 수도 있다.) 따라서 파동함수의 붕괴는 순간적으로, 즉 비국소적으로 일어날 수밖에 없다.
같이 보기 [ 편집 ]
각주 [ 편집 ]
참고 문헌 [ 편집 ]
Cropper, William H. 『위대한 물리학자 4』. 김희봉 역. 서울: 사이언스북스, 2007.
Cushing, James T. 『물리학의 역사와 철학』. 송진웅 역.서울: 북스힐, 2006.
Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics . Pearson Education, Inc., 2005.
. Pearson Education, Inc., 2005. 임경순. 「하이젠베르크와 양자역학」. 『한국물리학회』. 2006. 한국물리학회
불확정성 원리 – 나무위키
23 thg 10, 2022 — 하이젠베르크의 불확정성 원리는 위치와 운동량에 주목한 내용으로, 입자의 위치와 운동량을 동시에 정확히 측정할 수 없다는 것을 뜻한다.
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불확정성원리에 대해 알아보자. 양자역학 4편
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[불확정성 원리] 잘못된 통념과 정확한 설명 – Steemit
불확정성 원리는 양자역학에서 두 개의 관측 가능한 물리량을 동시에 측정할 때, 두 물리량이 교환 가능한 물리량이 아니라면 관측한 두 물리량 사이의 정확도에는 …
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절대 예측할 수 없는 원자의 움직임에 충격먹고 멘붕에 빠진 과학자들
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알아두면 쓸모있는 양자역학 이야기 – 불확정성의 원리
2차 세계대전이 발발하기 몇 년 전인 1927년 제 5차 솔베이 회의에는 많은 물리학자가 참석했다. 참석한 물리학자 29명 중 무려 18명이 노벨상 수상자다. 양자역학의 큰 획을 그었던 솔베이 회의를 역사가들은 이렇게 얘기한다. “과학사에서 그렇게 짧은 시간에, 그렇게 소수의 사람들에 의해, 그렇게 많은 것이 밝혀진 적은 없었다”라고. 아인슈타인과 보어 사이에 오간 유명한 담론인 “신은 주사위 놀이를 하지 않는다(아인슈타인)”, “신이 주사위 놀이를 하든 말든 당신이 상관할 바 아니다(보어)”도 이 회의에서 나온 얘기다.
하이젠베르크는 1901년 독일 뷔르츠부르크에서 태어났다. 그의 나이 24세에 라이프치히 대학교에서 교수직을 제안했지만, 제안을 거절하고 양자역학 해석 문제를 연구하기 위해 덴마크 코펜하겐에 있는 보어를 찾아가 비정규직 연구원을 자청한다. 그리고 이를 통해 노벨 물리학상을 받게 된다. 하이젠베르크는 오직 측정 가능한 것만 이론으로 삼는다는 실증주의 신념을 과감히 깨뜨린다. 위치와 운동량을 동시에, 정확하게 측정하는 것은 절대 불가능하다는 것이 그의 핵심적 주장이었다.
따라서 원자가 지닌 에너지가 미치는 범위내에서 전자가 존재해야 하며, 그 범위 내에서만 운동량을 지닌 채 분포하게 된다. 이로써 보어의 궤도 모델은 전면 부정되며, 불확정성의 원리에 의해 특정 위치가 아닌 존재 확률분포 형태로 전자들이 퍼져 있게 된다. 전자의 운동량을 명확히 알면 위치량의 불확정성이 높아지기 때문에 원자 내부라는 제한된 공간 내에서 전자는 정확한 지점이 아닌, 확률분포 즉, 전자구름(electron cloud) 형태로 나타나게 된다.
8 thg 7, 2019 — 관찰자의 관찰 행동 자체가 전자에 영향을 주기 때문에 어떠한 관찰수단을 썼느냐에 따라 그 값은 불확실 정도가 달라진다는 것이다. 이를 하이젠베르크의 …
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알아두면 쓸모있는 양자역학 이야기 – 불확정성의 원리
2차 세계대전이 발발하기 몇 년 전인 1927년 제 5차 솔베이 회의에는 많은 물리학자가 참석했다. 참석한 물리학자 29명 중 무려 18명이 노벨상 수상자다. 양자역학의 큰 획을 그었던 솔베이 회의를 역사가들은 이렇게 얘기한다. “과학사에서 그렇게 짧은 시간에, 그렇게 소수의 사람들에 의해, 그렇게 많은 것이 밝혀진 적은 없었다”라고. 아인슈타인과 보어 사이에 오간 유명한 담론인 “신은 주사위 놀이를 하지 않는다(아인슈타인)”, “신이 주사위 놀이를 하든 말든 당신이 상관할 바 아니다(보어)”도 이 회의에서 나온 얘기다.
▲ 보어와 아인슈타인의 담론 장면 (출처: 위키백과)
두 사람 사이의 담론에서 아인슈타인의 말은 양자론의 불완전성을 비꼬는 말이다. 양자론은 자연현상을 일정한 수준에서는 바르게 표현하고 있지만, 완전하지 않기 때문에 확률이라는 생각으로 시작할 수밖에 없다. 즉 자연현상은 어떠한 물리량으로 결정되어 있다는 아인슈타인의 생각과 상반되는 양자론은 그의 입맛에 맞을 수 없었다.
하이젠베르크의 불확정성의 원리
▲ 하이젠베르크 불확정성원리에 관한 기념우표 (출처: Amazon)
하이젠베르크는 1901년 독일 뷔르츠부르크에서 태어났다. 그의 나이 24세에 라이프치히 대학교에서 교수직을 제안했지만, 제안을 거절하고 양자역학 해석 문제를 연구하기 위해 덴마크 코펜하겐에 있는 보어를 찾아가 비정규직 연구원을 자청한다. 그리고 이를 통해 노벨 물리학상을 받게 된다. 하이젠베르크는 오직 측정 가능한 것만 이론으로 삼는다는 실증주의 신념을 과감히 깨뜨린다. 위치와 운동량을 동시에, 정확하게 측정하는 것은 절대 불가능하다는 것이 그의 핵심적 주장이었다.
우리에게 친숙한 거시세계에서 움직이는 물체의 운동량은 속도와 이동한 거리를 가지고 정확히 측정할 수 있다. 대포를 이용해 10kg의 포탄을 초속 300미터의 속도로 발사되도록 한다면, 몇 분 후 어디에 떨어지는지 알 수 있다. 고전물리학의 기본 전제인 결정론적 미래 예측이 가능한 예다.
하지만 미시세계에서는 이러한 법칙이 통하지 않는다. 전자가 너무 작기 때문에 우리가 빛을 이용해 전자의 위치와 운동량을 관찰하려고 하면, 빛(광자)에 영향을 받아 측정이 부정확해 지는 것이다. 따라서 미시세계에서의 포탄은 관찰하려는 순간 그 위치가 결정된다. 그 전까지는 어디에 떨어질지 확률만 알 수 있을 뿐이다.
쉽게 표현하자면, 전자의 운동량을 측정하는 순간 위치는 계속 변하기 때문에 위치를 정확히 측정하지 못하고, 시작점과 도착점 사이 어디쯤에 있을 것이라고 할 수 있다. 반대로 사진 찍듯이 움직이는 물체를 찍으면 위치는 정확하게 측정된다. 그러나 선명한 사진만 보고서 그 물체가 얼마의 속도로 움직이는 지는 동시에 알아내지 못한다. 사진 상으로는 정지된 것처럼 보이기 때문이다. 이는 측정 수단이 주는 불확정성을 뜻한다.
물의 온도를 측정하려고 하는데, 온도계 자체의 열이 있기에 물의 온도를 약간이라고 변하게 만든다는 말이 있다. 즉, 관찰 수단 자체가 지닌 물리적 특성으로 인해, 관찰 대상의 실제 값이 왜곡되어 정확한 정보를 추출할 수 없다는 것이다. 관찰자의 관찰 행동 자체가 전자에 영향을 주기 때문에 어떠한 관찰수단을 썼느냐에 따라 그 값은 불확실 정도가 달라진다는 것이다. 이를 하이젠베르크의 불확정성의 원리라고 한다.
불확정성(상보성)의 원리와 전자 구름 해석
양자역학에서 상보성의 원리(complementarity principle)는 광자 또는 전자가 파동의 특성을 보이기도 하고 입자의 특성을 보이기도 한다는 원리다. 이는 보어가 코펜하겐 연구소에서 불확정성 원리를 해명하기 위해 도입했다. 달리 말하자면, 물질을 이루는 기본입자들은 입자로 취급할 수도 파동으로 취급할 수도 있지만, 입자와 파동을 동시에 볼 수는 없다는 것이다.
파동론에 의하면 파장을 알고 있기에 운동량(p=h/l)을 명확히 알고 있지만, 입자론에 의하면 위치량(q)은 확실하되 그 이후의 행방은 모른다. 빛의 이중성에서와 같이 관찰하기 전에는 p, q 성질이 공존하지만 관찰하는 순간, p 관찰시 q가 소멸되고 q 관찰시 p가 소멸된다.
▲ 원자내 전자궤도 (출처: 위키백과)
전자가 보어의 원자 모델에서 임의의 운동량을 지니면서 n 궤도를 돌고 있다고 하면, 위치는 n 궤도이고 운동량은 전자의 운동속도로 모든 정보를 동시에 보이게 된다. 그렇지만 전자가 궤도를 옮길 때 전자의 위치량 정보가 사라지듯, 운동하는 양자가 특정 위치에 귀속되는 것은 불확정성 원리에 맞지 않는다. 따라서 원자 내에 귀속되는 전자는 분명 원자 내부 어느 공간 영역에 분포하여 존재해야 할 것이다.
전자를 원자 내부에 가둘 수 있는지는 ΔpΔq=h(불확정성 원리의 수식)를 활용해 계산할 수있다. 결론적으로 원자의 크기에 2만 배나 작은 공간(핵)에 전자를 가두기 위해서는 3.77 eV가 필요하다. 따라서 전자는 핵에 갇혀 있지 않고 원자 내부 어딘가에 존재하게 된다.
따라서 원자가 지닌 에너지가 미치는 범위내에서 전자가 존재해야 하며, 그 범위 내에서만 운동량을 지닌 채 분포하게 된다. 이로써 보어의 궤도 모델은 전면 부정되며, 불확정성의 원리에 의해 특정 위치가 아닌 존재 확률분포 형태로 전자들이 퍼져 있게 된다. 전자의 운동량을 명확히 알면 위치량의 불확정성이 높아지기 때문에 원자 내부라는 제한된 공간 내에서 전자는 정확한 지점이 아닌, 확률분포 즉, 전자구름(electron cloud) 형태로 나타나게 된다.
▲ 오비탈에 따른 전자 확률 분포 (오비탈 : 전자가 나타날 위치를 무수히 많이 겹쳐 표현하면 나타나는 모습 / 출처: 위키백과)
존재 확률에 관한 확률밀도로 나타낸 전자구름 모델에서, 전자가 해당 구름 내에 동시에 모든 위치에 있다는 뜻은 아니다. 구름의 밀도가 높은 곳은 수백 번 측정 시 해당 위치에서 발견될 확률이 높다는 것을 나타낼 뿐이다. 확률상 존재할 수 있는 위치를 나타낼 뿐 정확한 위치량은 아니다. 전자의 위치를 관찰하는 순간, 전자구름속에 존재하던 전자는 한 점을 중심으로 수축하고, 다시 관찰행위를 그만두면, 전자는 또다시 전자구름 형태로 존재하게 된다.
앞에서 말했듯 양자의 세계에서 입자의 위치와 운동량 모두를 정확하게 측정하기란 불가능하다. 확실한 것만 다루는 것으로 알려진 물리학에서 ‘나도 모르겠다’라고 외치는 것과 같은 불확정성의 원리는 세상 모든 것이 확실한 물리학의 기반으로만 구성된 것은 아니라는 것을 일깨워 준다.
불확정성의 원리 – SeeHint
입자는 이 웨이브 패킷 내의 어느 곳에 있게 된다. 따라서 웨이브 패킷의 너비가 좁으면 입자의 위치에 대한 불확실성이 작아지고 반대로 웨이브 패킷의 너비가 커지면 위치에 대한 불확실성이 커진다. 좁은 너비를 가지는 웨이브 패킷을 만들기 위해서는 다른 진동수를 가지는 더 많은 파동을 합해야 한다. 입자의 운동량은 진동수에 비례하고 따라서 파장에 반비례한다. 그러므로 좁은 너비를 가지는 웨이브 패킷을 만들기 위해 다른 진동수를 가지는 많은 파동을 합하게 되면 운동량의 불확실성은 커진다. 다시 말해 위치 측정의 오차를 줄이려고 하면 운동량 측정의 오차가 증가한다는 것이다. 이것이 위치와 운동량 사이에 존재하는 불확정성이다. 하이젠베르크는 위치의 오차와 운동량 오차의 곱은 일정한 값 이상일 수밖에 없다는 것을 수학적으로 증명했다. 이것을 식으로 나타내면 다음과 같다.
양자물리학 이야기를 하면서 불확정성의 원리 이야기를 하지 않을 수 없다. 독일의 물리학자 베르너 하이젠베르크(Werner Heisenberg, 1901~1976)가 제안한 불확정성의 원리는 코펜하겐 해석의 핵심 내용 중의 하나이다. 많은 물리학 해설서나 현대 물리학 입문서에서 불확정성의 원리를 다루고 있어 불확정성 원리는 양자 물리학의 내용 중 가장 많은 사람에게 알려진 내용이기도 하다. 하지만 수학을 떠나서 불확정성 원리를 정확하게 설명하는 것은 쉬운 일이 아니다. 따라서 불확정성 원리에 대해 많은 것을 들어서 알고 있는 사람들도 조금씩 잘못 알고 있는 경우가 많다. 불확정성의 원리는 말 그대로 확실하지 않다는 원리이다. 확실한 것만을 다루는 것으로 알려진 물리학에 왜 이런 원리가 등장하게 되었을까? 무엇이 왜 불확실하다는 것일까?
보어는 이 사고실험도 불확정성의 원리 내에서 해결했다. 그는 상자가 가진 에너지의 양을 정확하게 알면 창문을 여닫는 시간이 부정확해질 수밖에 없다는 것을 증명했다. 상자와 상자의 질량을 측정하는 저울은 모두 중력장 안에 있다. 중력장 안에서의 시계의 위치에도 오차가 있을 수밖에 없고 위치에 따라 중력의 크기가 다르므로 위치의 오차는 일방상대성이론에 의해 시간의 오차를 불러온다는 것이다. 중력이 시간의 흐름에 영향을 준다는 것을 밝혀낸 사람은 아인슈타인이었다. 그러나 아인슈타인은 쉽게 포기하지 않았다. 1935년에 그는 로젠, 포돌스키와 함께 불확정성 원리와 코펜하겐 해석을 비판하는 EPR 패러독스를 발표했다. 다음 이야기에서는 아인슈타인이 제시한 EPR 패러독스에 대한 내용을 알아보자.
불확정성의 원리는 위치의 측정이 운동량을 변화시키고, 반대로 운동량의 측정이 위치를 변화시켜 오차를 증가시키기 때문이라고 설명하기도 한다. 이런 설명은 잘못된 …
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불확정성의 원리 직관적인 설명
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불확정성의 원리
Basic chemistry ≫ 원자, 분자
불확정성의 원리
양자물리학 이야기를 하면서 불확정성의 원리 이야기를 하지 않을 수 없다. 독일의 물리학자 베르너 하이젠베르크(Werner Heisenberg, 1901~1976)가 제안한 불확정성의 원리는 코펜하겐 해석의 핵심 내용 중의 하나이다. 많은 물리학 해설서나 현대 물리학 입문서에서 불확정성의 원리를 다루고 있어 불확정성 원리는 양자 물리학의 내용 중 가장 많은 사람에게 알려진 내용이기도 하다. 하지만 수학을 떠나서 불확정성 원리를 정확하게 설명하는 것은 쉬운 일이 아니다. 따라서 불확정성 원리에 대해 많은 것을 들어서 알고 있는 사람들도 조금씩 잘못 알고 있는 경우가 많다. 불확정성의 원리는 말 그대로 확실하지 않다는 원리이다. 확실한 것만을 다루는 것으로 알려진 물리학에 왜 이런 원리가 등장하게 되었을까? 무엇이 왜 불확실하다는 것일까?
위치와 운동량을 곱하면 일정한 숫자보다 항상 크다 : 불확정성의 원리
입자는 이 웨이브 패킷 내의 어느 곳에 있게 된다. 따라서 웨이브 패킷의 너비가 좁으면 입자의 위치에 대한 불확실성이 작아지고 반대로 웨이브 패킷의 너비가 커지면 위치에 대한 불확실성이 커진다. 좁은 너비를 가지는 웨이브 패킷을 만들기 위해서는 다른 진동수를 가지는 더 많은 파동을 합해야 한다. 입자의 운동량은 진동수에 비례하고 따라서 파장에 반비례한다. 그러므로 좁은 너비를 가지는 웨이브 패킷을 만들기 위해 다른 진동수를 가지는 많은 파동을 합하게 되면 운동량의 불확실성은 커진다. 다시 말해 위치 측정의 오차를 줄이려고 하면 운동량 측정의 오차가 증가한다는 것이다. 이것이 위치와 운동량 사이에 존재하는 불확정성이다. 하이젠베르크는 위치의 오차와 운동량 오차의 곱은 일정한 값 이상일 수밖에 없다는 것을 수학적으로 증명했다. 이것을 식으로 나타내면 다음과 같다.
이 식에서 Δx는 위치의 오차를 나타내고 Δp는 운동량의 오차를 나타내며 ℏ는 플랑크 상수를 2π로 나눈 값이다. 불확정성의 원리 때문에 위치와 운동량을 동시에 정확하게 측정하는 것은 불가능하다. 이러한 불확정성의 원리는 시간과 에너지 사이에도 존재한다. 어떤 양들 사이에 불확정성이 존재하는지를 설명하는 것은 간단하지 않다. 다만 여기서는 위치와 운동량, 그리고 에너지(질량)와 시간 사이에 불확정성의 원리가 적용된다는 것을 알고 있는 것으로 충분하다고 생각한다.
불확정성의 원리, 하나를 측정하는 동안 다른 하나가 변화한다
불확정성의 원리는 위치의 측정이 운동량을 변화시키고, 반대로 운동량의 측정이 위치를 변화시켜 오차를 증가시키기 때문이라고 설명하기도 한다. 이런 설명은 잘못된 설명이 아니다. 하이젠베르크와 보어도 이런 방법으로 불확정성 원리를 설명하려고 시도했다. 물리학 입문서에 자주 등장하는 것도 이런 설명이다. 예를 들면 다음과 같은 설명이다.
전자를 관찰할 수 있는 현미경이 있다고 가정해 보자. 이 현미경으로 전자를 관측하기 위해서는 전자에 충돌한 빛이 현미경으로 들어와야 한다. 전자의 위치를 정확하게 측정하기 위해서는 파장이 짧아서 에너지가 큰 빛을 사용해야 한다. 이런 빛으로는 전자의 위치를 작은 오차로 측정할 수 있지만, 측정 과정에서 전자의 운동량을 크게 변화시킨다. 반대로 운동량의 변화를 최소로 하여 운동량의 오차를 줄이려고 하면, 빛의 긴 파장 때문에 위치에 오차가 커질 수밖에 없다. 따라서 위치와 운동량을 동시에 정확하게 측정하는 것이 불가능하다는 것이다.
그러나 이러한 설명은 불확정성의 원리를 입자의 기본 성질이 아니라 측정 과정 때문에 나타나는 효과라고 생각하게 하기 쉽다. 하이젠베르크와 보어는 이런 설명을 논리적인 인식론의 철학적 체계 안에서 사용했다. 논리적인 인식론에서는 어떤 계의 물리적 성질은 측정 가능한 가장 정확한 측정값에 의해 나타나는 것이라 본다. 이것을 다르게 표현하면 만약 어떤 측정값이 이론적으로 어떤 오차보다 더 작아질 수 없다면, 이러한 한계는 물리적 성질 때문이지 측정 장치나 측정 기술 때문이 아니라는 것이다. 다시 말해 불확정성 원리는 측정 때문에 생기는 것이 아니라, 측정하고자 하는 입자 자체가 가지고 있는 물리적 성질에 기인한다는 것이다.
아인슈타인, 사고실험을 통해 불확정성 원리에 대한 반론을 제기하였다
결정론을 받아들이고 있던 과학자들은 불확정성 원리를 받아들이지 않았다. 1927년에 코펜하겐 해석이 제안되었을 때, 아인슈타인과 슈뢰딩거를 비롯한 많은 과학자가 가장 격렬하게 비판한 내용 중의 하나가 바로 불확정성의 원리였다. 코펜하겐 해석에 의하면 양자물리학을 이용하여 어떤 실험결과를 얻을 수 있는지를 계산할 수는 있지만, 입자가 실제로 어떤 상태인지를 알 수는 없다. 다시 말해 파동 방정식이 말해 주는 것은 입자가 어떤 상태에 있는지가 아니라 실험을 했을 때 우리가 어떤 값을 얻을 것인지를 이야기해 줄 뿐이다.
아인슈타인은 측정 결과가 확률로 나타내지는 것은 우리가 실제 입자의 행동을 규제하는 변수들을 모두 알지 못하기 때문이라고 주장했다. 아인슈타인의 이런 주장을 숨은 변수이론이라고 부른다는 것은 이전 글에서 언급한 적이 있다. 이에 대해 보어는 확률적인 결과는 입자가 가지고 있는 기본적인 성질에 기인하는 것이어서 측정 장치와는 관계없으며 결코 줄일 수 없는 것이라고 주장했다.
불확정성 원리를 비판하기 위해 아인슈타인은 다음과 같은 사고실험을 제안했다. 사고실험은 원리의 진위를 따져보기 위한 가상적인 실험이므로 실제로 그런 실험이 가능하냐 하는 것과는 관계없다.
아인슈타인은 멀리서 날아온 입자가 벽에 난 작은 슬릿을 통과하는 경우를 예로 들었다. 만약 이 입자가 크기가 d인 슬릿을 통과한다고 가정하면 벽을 통과하는 동안 이 입자의 위치의 오차는 d보다 클 수 없다. 따라서 불확정성의 원리에 의하면 운동량의 오차는 약 ℏ/d이상이어야 한다.
그러나 만약 입자가 슬릿을 통과하는 동안에 벽의 운동량의 변화를 측정한다면 슬릿을 통과한 입자의 운동량을 얼마든지 정확하게 계산할 수 있다. 입자가 벽에서 멀리 떨어져 있을 때, 이 입자의 운동량을 원하는 만큼 정확하게 측정하여 알고 있고, 입자가 벽에 난 슬릿을 통과하는 동안 벽 운동량의 변화가 없었다면, 이 입자의 운동량은 운동량 보존 법칙에 의해 이전의 운동량과 같은 값을 가져야 한다. 그러나 만약 벽을 통과하는 동안 벽과의 상호작용으로 인해 벽의 운동량에 변화가 생겼다면 이 값으로부터 전자의 정확한 운동량을 알 수 있다는 것이다. 그렇게 되면 불확정성의 원리는 더는 성립하지 않는다.
아인슈타인의 이런 주장에 대해 보어는 입자뿐만 아니라 벽도 양자 역학의 지배를 받는다는 것을 지적했다. 따라서 벽의 운동량 변화를 측정하여 입자의 운동량 변화를 측정하려면, 입자가 벽을 통과하기 전후의 벽의 운동량을 정확하게 측정할 수 있어야 한다. 그러나 벽의 운동량을 정확하게 측정하려면 벽의 위치의 오차가 발생하게 되고 이는 입자의 위치 오차를 증가시키기 때문에 불확정성 원리는 이 사고실험에서도 성립한다는 것을 보여 주었다.
아인슈타인의 이론으로 아인슈타인의 반론을 잠재웠다
아인슈타인은 시간과 에너지 사이의 불확정성을 비판하기 위해 또 다른 사고실험을 제안했다. 이 사고실험에서는 빛 입자가 들어 있는 상자에 정밀한 시계 장치가 되어 있는 창문이 달렸다고 가정했다. 창문에 달린 시계 장치를 이용하여 정확한 시각에 창문이 열렸다 닫히고 이때 에너지가 밖으로 나간다고 가정해보자. 창문을 열었다 닫는 시간을 정확히 측정하고 창문 열고 닫기 전후의 상자 전체의 무게를 정확하게 측정하면 빛이 상자를 탈출하는 시간과 빛이 가지고 달아난 에너지의 양을 원하는 만큼 정확하게 측정할 수 있다는 것이다. 그렇게 되면 시간과 에너지의 양을 동시에 정확하게 측정할 수 없다는 불확정성 원리는 더는 성립하지 않게 된다.
보어는 이 사고실험도 불확정성의 원리 내에서 해결했다. 그는 상자가 가진 에너지의 양을 정확하게 알면 창문을 여닫는 시간이 부정확해질 수밖에 없다는 것을 증명했다. 상자와 상자의 질량을 측정하는 저울은 모두 중력장 안에 있다. 중력장 안에서의 시계의 위치에도 오차가 있을 수밖에 없고 위치에 따라 중력의 크기가 다르므로 위치의 오차는 일방상대성이론에 의해 시간의 오차를 불러온다는 것이다. 중력이 시간의 흐름에 영향을 준다는 것을 밝혀낸 사람은 아인슈타인이었다. 그러나 아인슈타인은 쉽게 포기하지 않았다. 1935년에 그는 로젠, 포돌스키와 함께 불확정성 원리와 코펜하겐 해석을 비판하는 EPR 패러독스를 발표했다. 다음 이야기에서는 아인슈타인이 제시한 EPR 패러독스에 대한 내용을 알아보자.
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나이테 폭이 넓은 쪽은 어느 방향인지를 묻는 문제가 나온 적이 있습니다. 답은 남쪽이었습니다.
그런데 사실은 그렇지 않다는 지적이 있었습니다. 간단히 말하면 평지의 나무는 나이테가 거의 원형에 가까워 방향을 찾을 수 없으며, 경사진 곳에 있는 경우에는 나이테가 타원형이 되지만 이 경우에도 남북방향과 상관없이 산 아래쪽이나 정상 쪽만을 가리키므로 나이테만으로는 방향을 알 방법이 없다는 것입니다.
고려대 환경생태공학부 김규혁 교수에 따르면 나무는 지구중심에 수직으로 자라는데 산기슭에서처럼 수직방향을 유지하기 어려울 때는 생장호르몬을 한 방향으로 과도하게 분비시켜 방향을 맞추려고 합니다. 그 결과 타원형 나이테가 생깁니다. 또 평지라도 가지들은 수직방향에서 벗어나 있기 때문에 마찬가지로 타원형 나이테를 보인다고 합니다.
한편 침엽수와 활엽수는 이 타원형 나이테의 방향이 정반대입니다. 침엽수는 경사면 아래쪽으로 폭이 넓어지고, 활엽수는 반대로 산 정상 쪽이죠. 그러므로 만약 침엽수가 남쪽 경사면에 있을 때는 폭이 넓은 쪽이 남쪽이 되지만 북쪽 경사면에서는 폭이 넓은 쪽이 북쪽이 되는 것입니다. 결국 경사면이 어느 방향인지를 모르는 상황에서 나이테만으로 방향을 잡긴 힘들다는 뜻이죠.
과학자들은 활엽수와 침엽수의 분화과정에서 생장호르몬의 작용이 정반대가 됐기 때문에 이런 결과를 낳았다는 추측도 하지만 정확한 메커니즘은 여전히 베일에 쌓여 있다고 합니다. 하긴 연륜이 그리 쉽게 드러나겠습니까. 어쨌든 괜히 방향을 맞춘다고 산에서 나뭇가지를 꺾지 말아야겠습니다.
[재밌는 양자역학] 7. 불확정성 원리(Uncertainty Principle)
전문가들은 “불확정성 원리에 결함이 있다고 해서 양자역학이 틀렸다는 게 아니라 오히려 하이젠베르크의 부등식에서는 할 수 없다고 생각한 측정을 할 수 있게 됐고, 양자역학의 가능성이 커졌다는 의미”라며 “오자와의 부등식은 해독 불가능한 양자암호나 양자컴퓨터 등 양자 정보기술 연구의 새로운 발판이 될 것”이라고 설명했다고 합니다.
이 설명이 아주 틀린 설명은 아닙니다. 실제로 보어와 하이젠베르크 본인조차도 이렇게 설명하려고 했습니다. 이를 하이젠베르크의 현미경(Heisenberg’s microscope) 이라고도 합니다.
반대로 운동량의 변화를 최소로 하여 운동량의 오차를 줄이려고 하면, 빛의 긴 파장 때문에 위치에 오차가 커질 수밖에 없다.
28 thg 12, 2017 — 불확정성 원리는 일단 말 그대로 “확실하지 않다”라는 원리입니다. 그럼 뭐가 확실하지 않느냐?? 대표적으로는 입자의 위치와 운동량을 둘 다 동시에 …
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불확정성원리(하이젠베르크)의 이해 (광쌤 클립 물리)
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[재밌는 양자역학] 7. 불확정성 원리(Uncertainty Principle)
안녕하세요! 생각하는 공대생입니다
오늘은 ~~ 그 유명한
불확정성 원리(Uncertainty Principle)에 대해서 알아보도록 하겠습니다!!
불확정성 원리는 일단 말 그대로 “확실하지 않다”라는 원리입니다.
그럼 뭐가 확실하지 않느냐??
대표적으로는 입자의 위치와 운동량을 둘 다 동시에 확실하게 알기 어렵다는 원리입니다.
이 말은, 입자의 ‘위치’를 정확히 알려고 하면 ‘운동량’을 정확히 알 수 없고
그 반대 역시 마찬가지라는 소리입니다.
이걸 식으로 표현하면!
또는
(플랑크 상수를 2π로 나눈값)
즉, 한 값의 불확실성을 0에 가까이 줄이려면, 또는 정확히 알려면
다른 불확실성이 무한대로 커질수 밖에 없다는 거죠!
(곱한 값이 일정 상수 이상이어야 하므로)
역시 우리가 사는 세상인 거시세계에서는 성립하지 않습니다.
예를들어 자동차의 위치와 속력(운동량)은 둘다 정확히 알 수 있죠.
물질파에서 말씀드렸듯이 거시세계에서는 파동성이 나타나지 않기 때문입니다.
이 식을 잘 바꿔주면
즉 에너지와 시간 사이에서도 불확정성이 성립한다는 결과가 나옵니다!!!
이걸 제안한 사람은
독일의 물리학자 하이젠베르크(Werner Karl Heisenberg)
잘생겼다
하이젠베르크는 아인슈타인과 드 브로이의 물질파이론에 영감을 받아
조화진동자, 푸리에 급수 등을 계산하는 과정을 거쳐
행렬역학을 이용하여 불확정성 원리를 제안해 냅니다.
하이젠베르크는 양자현상에서 물리량과 연관된 수학적 표현(연산자) 두개를 곱할때
곱하는 순서에 따라 계산값이 달라지는 것을 확인합니다.
사실 당시에는 생소한 개념이어서 하이젠베르크 본인을 비롯한 물리학자들도
이게 무얼 의미하는지 잘 이해하지 못했다고 합니다 ㅋㅋㅋ
이후 막스 보른(Max Born)이라는 독일의 물리학자가 이게 수학에서는 잘 알려진 행렬이구나!
라는걸 발견해서 행렬역학이라는 이름이 붙은거죠.
아무튼 여기서 행렬의 대표적인 특징! 바로 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다는 것입니다!!
요샌 고등학교 교육과정에서 빠져서 수능에도 안나오더라구요 ㅠㅠ
즉 양자역학에서는 입자의 위치 연산자와 운동량 연산자간 교환법칙이 성립하지 않습니다.
이걸 ‘Do not commute’라고 표현하는데
두 연산자가 do not commute하면 둘다 동시에 정확하게 알기 어렵다는 뜻입니다.
요건 나중에 자세하게 다루겠습니다. ㅎㅎ
불확정성 원리를 설명하기 위해 흔히 다음과 같은 설명을 하곤 합니다.
전자를 관찰할 수 있는 현미경이 있다.
이 현미경으로 전자를 관측하기 위해서는 전자에 충돌한 빛이 현미경으로 들어와야 한다.
전자의 위치를 정확하게 측정하기 위해서는 파장이 짧고 에너지가 큰 빛을 사용해야 한다.
이런 빛으로는 전자의 위치를 작은 오차로 측정할 수 있지만, 측정 과정에서 전자의 운동량을 크게 변화시킨다.
반대로 운동량의 변화를 최소로 하여 운동량의 오차를 줄이려고 하면, 빛의 긴 파장 때문에 위치에 오차가 커질 수밖에 없다.
따라서 위치와 운동량을 동시에 정확하게 측정하는 것이 불가능하다는 것.
이 설명이 아주 틀린 설명은 아닙니다. 실제로 보어와 하이젠베르크 본인조차도 이렇게 설명하려고 했습니다. 이를 하이젠베르크의 현미경(Heisenberg’s microscope) 이라고도 합니다.
그러나 이런 설명은 불확정성이 빛을 사용하는 인간 ‘관측장비’의 한계 때문이라는 오해가 생기기 쉽죠.
쉽게 말해서 이 우주는 원래 그렇지 않은데 인간이 부족해서 그런거라는 오해.
NO !!
우주는 원래 그럽니다.
즉 인간이 측정을하던 말던 원래 위치와 운동량은 둘다 동시에 정확하게 정해지지 못한다는 것이죠.
다시 말해 불확정성 원리는 측정 때문에 생기는 것이 아니라,
입자 자체가 가지고 있는 물리적 성질 때문이라는 것입니다.
하이젠베르크 역시 이로 인해 노벨 물리학상을 수상하게 됩니다.
but….
2012년 1월에는 이 불확정성 원리에도 약간의 결함이 있다는 실험결과가 나왔습니다.
(불확정성 원리도 불확정적이라니 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ)
2003년에 나고야 대학의 오자와 마사나오(小澤正直) 교수는
측정의 한계, 측정 행위에 의한 불확정성과 양자 자체의 성질에 의한 양자요동을 엄밀하게 구별하는 식을 제안했습니다.
하이젠베르크의 불확정성 원리를 다른 수학적 표현을 사용하면 다음과 같은데
이것을
이렇게 보다 엄밀하게 두개의 항을 추가한 식이었죠.
이에 따르면 특정 성분의 불확정도가 0에 가까워질 때 (정확하게 측정할수록)
다른 성분의 불확정도가 무한대로 발산한다는 기존 부등식과 다르게
특정 값(1.5보다는 약간 작은 값)에 수렴하게 됩니다.
즉, 두 성분을 모두 어느정도는 정확하게 측정할 수 있다는 의미가 됩니다!
실제로 오스트리아 빈 공대와 일본 나고야대 공동 연구진은
중성자의 성질 가운데 자전을 의미하는 스핀(spin)의 가로(x축)와 세로(y축) 두 방향을
동시에 정확하게 측정함으로써 이것을 실험적으로 증명하였습니다.
전문가들은 “불확정성 원리에 결함이 있다고 해서 양자역학이 틀렸다는 게 아니라 오히려 하이젠베르크의 부등식에서는 할 수 없다고 생각한 측정을 할 수 있게 됐고, 양자역학의 가능성이 커졌다는 의미”라며 “오자와의 부등식은 해독 불가능한 양자암호나 양자컴퓨터 등 양자 정보기술 연구의 새로운 발판이 될 것”이라고 설명했다고 합니다.
오늘은 불확정성 원리를 패러디한 만화로 마무리 하겠습니다 ㅎㅎ
거의 동시에 들어왔습니다!
전자현미경으로 판독 들어갑니다.
3번 말이 양자 1개 크기만큼 먼저 들어왔습니다.
이건 무효야!! 관측에 의해 결과가 바뀌었잖아!!
다음에 계속
[양자화학] 1.3. 불확정성의 원리 – 네이버 블로그
1924년부터 코펜하겐의 보어 연구소에서 원자의 구조에 대해 연구하던 베르너 하이젠베르크는 1925년 5월, 문제를 단순화시켜 복잡한 수소원자가 아닌 가상적인 조화 진동자를 설정하여 자신의 생각을 구체화하고자 했다. 그는 조화 진동자에서 고전적인 다주기 체계에 상응하는 위치 좌표를 푸리에 급수로 전개하여 이에 대한 수학적인 형식화를 추구한 결과, 그가 시도한 새로운 방법이 에너지 보존법칙을 만족한다는 것을 증명하였다. 그리하여 마침내 1925년 6월, 휴양지인 헬골란트 섬에서 최초로 양자 현상에 대한 새로운 역학을 정립해냈다. 이후 하이젠베르크는 양자 현상 내에서는 물리량들과 연관시킨 수학적 대상 두개를 함께 곱함으로써 얻어지는 답이 곱이 수행되는 순서에 따라 결과가 달라지는 독특한 특성을 발견했다. (현대적인 표현으로 바꾸어 말하면 여기서 말하는 물리량과 연관된 수학적 대상은 연산자이며, 두 연산자 사이에는 교환관계가 성립하지 않는다고 할 수 있다.) 이 수학적 특징은 당시의 물리학자들에게 친숙하지 않았던 것이어서 쉽게 받아들여지진 않았고 하이젠베르크 자신 역시 그것의 의미를 정확히 알 수 없었다. 이때 막스 보른은 1925년 하이젠베르크의 논문에 담긴 비교환적 양들이 수학자들 사이에서는 잘 알려진 행렬임을 인식할 수 있었고, 하이젠베르크의 연구 내용을 파스쿠알 요르단(Pascual Jordan)과 함께 행렬로 표현해내는데 성공했다. 그리하여 하이젠베르크가 정립한 새로운 역학은 행렬역학이라 명명되었다. 1926년 3월, 하이젠베르크는 행렬역학의 비교환적 성질이 불확정성을 내포하고 있다는 것을 깨닫고 (당시 닐스 보어는 ‘불확정성’을 ‘상호보완성’이라고 표현했다), 미시적인 자연 세계를 바라보는 새로운 관점을 제시하고자 노력한 결과, 1927년 3월에 불확정성 원리를 발표하였다.
일단 회절패턴에서 최초로 최소값이 나타나는 각도 (α)는 실험을 통해 곧장 측정할 수 있다. 이 최초의 최소값이 생기려면 틈새의 위쪽 모서리 (A)를 통과한 입자가 이동한 거리와 틈새 정중앙 (A와 E 사이의 정중앙)을 통과한 입자가 이동한 거리의 차이가 1/2 λ 이 되어야 한다. 여기에서 λ는 우리가 쏜 합성파의 파장을 의미한다. 즉 틈새 위쪽 모서리를 통과하고 나온 파동은 틈새 정중앙을 통과한 파동에 대해 정확히 역위상 (out of phase) 관계이다. 틈새 정중앙에서 거리 d 만큼 아래를 통과한 파동과 틈새 중앙에서 d 만큼 위를 통과한 파동은 상쇄된다. Fig 1.2 에서 AD = CD 가 되도록 AC를 그리면 BC 만큼 경로 길이에 차이가 있음을 알 수 있다. 틈새에서 사진건판까지의 거리를 틈새의 폭보다 훨씬 크게 하면 AD와 BD는 거의 평행이 될 것이다. 그러면 각도 ACB 는 직각이 되며, 직각이면 각도 BAC = α 가 된다. 그러면 경로 길이 차이 BC = 1/2 w sin α 가 된다. BC가 1/2 λ 와 같다고 하면 w sin α = λ 이고, 따라서 위의 (1.6)은 ΔxΔp x = pλ 가 된다. 파장 λ는 드브로이의 관계식 λ = h/p와 같다. 따라서 ΔxΔp x = h 이다. 사실 이 불확정도는 어느 정도 가정을 바탕으로 정의된 것이기 때문에 등호 (=)를 넣을 수는 없다. 즉 아래와 같다.
하이젠베르크의 현미경( Heisenberg’s microscope )은 하이젠베르크가 불확정성의 원리를 설명하는데 사용했던 대표적인 방법이었다. 하이젠베르크는 현미경으로 입자를 관측하는 사고 실험 )은 하이젠베르크가 불확정성의 원리를 설명하는데 사용했던 대표적인 방법이었다. 하이젠베르크는 현미경 에 사용하는 빛의 파장이 짧을수록 상을 형성하는 해상도가 높다는 사실을 토대로, 원자 속 전자의 위치를 정밀하게 측정하기 위해서는 관측에 사용되는 빛은 감마선 정도여야 한다고 생각했다. 원자 속의 전자를 관측하기 위해 감마선과 같이 짧은 파장(높은 진동수)의 광자를 쏠 경우, 감마선 광자가 가진 운동량은 매우 커서 원자가 전자를 잡아두는 에너지를 초과한다. 따라서 이 경우 전자의 위치는 정확히 관측되지만, 광자는 전자에 큰 임의의 운동량을 전달하므로 컴프턴 효과 에 의해 전자의 운동량은 부정확하게 측정된다. 반대로 전자를 관측하기 위해 긴 파장(낮은 진동수)의 광자를 쏠 경우 광자의 충돌이 전자의 운동량에 큰 영향을 주지 않지만, 전자에 의해 크게 산란된 광자는 관측자에게 전자의 위치를 정확히 전달해 줄 수 없다. 위의 두 상황에 의해, 전자의 위치와 운동량을 동시에 정확히 아는 것은 불가능하다.
25 thg 3, 2013 — ‘불확정성 원리’란 입자의 위치와 운동량을 동시에 정확히 알아낼 수 없고, 두 측정값의 부정확도를 일정 이하로 줄일 수 없다는 양자역학적 원리이다.
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양자역학 세 번째 이야기 – 불확정성
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[양자화학] 1.3. 불확정성의 원리
한 미세입자의 x 좌표와 x 성분에 대한 선운동량을 동시에 측정하려고 하는 경우 파동-입자 이중성이 어떤 영향을 미치는지 알아보자. 운동량 p를 갖는 입자들로 이루어진 빔을 y 방향으로 입사시켜서 좁은 틈새 (slit)를 통과시켜보자. 틈새 뒤에는 사진건판 (photographic plate)을 두었다. Fig 1.1 을 보라.
폭이 w 인 틈새를 통과하는 입자들은 틈새에 부딪힌 입자들에 대해 x 좌표로 w 만큼의 불확정성을 갖는다. 이 x 값이 퍼지는 정도를 Δx라고 하며, Δx = w이다.
※ slit을 좁힐수록 여길 통과하는 빛입자의 개수는 줄어들 것이고 자꾸 좁히다보면 결국 빛입자 한 두 개만 통과되어 결국 빛입자 한 개의 성질을 확실하게 알 수 있을 것 같지만… 그러나 실제론 slit(Δx = w)를 좁힐수록 plate에 포집되는 회절패턴(p sin α)은 넓어져버린다. slit을 통과하는 빛의 ‘운동량’을 줄일수록 plate에 포집되는 빛의 ‘위치’는 불확실해진다.
미세입자들은 파동성을 갖기 때문에 틈새에 의해 회절되어 사진건판에 회절패턴을 만든다. 위의 그림에 나타난 회절패턴의 높이는 해당 지점에 수집된 미세입자의 수를 측정한 양이다. 이 회절패턴은 미세입자들이 틈새에 의해 회절되어 운동방향이 바뀜에 따라 입자들의 운동량 일부가 x 방향으로 전이되었음을 보여준다. 이 x 성분에 대한 운동량은 x 방향의 운동량 벡터를 사영 (projection)하면 알 수 있다. 즉 위의 그림에서 각도 α 만큼 위쪽으로 회절된 입자의 x 성분에 대한 운동량은 p sin α 다. 각도 α 만큼 아래쪽으로 회절된 입자의 x 성분에 대한 운동량은 -p sin α 다. 거의 대부분의 입자들이 -α 에서 α 의 범위 안에 회절되었다. 여기에서 α 는 회절패턴에 최초로 나타난 최소값에 대한 각도이다. 중앙의 회절피크를 기준으로 운동량이 분산되는 정도를 절반 취하고, 이를 x 성분에 대한 운동량의 불확정도 Δp x 라고 하자: Δp x = p sin α.
그러면 틈새 (측정이 이루어지는 곳이다)에서의 불확정도는 다음과 같다.
(1.6)
일단 회절패턴에서 최초로 최소값이 나타나는 각도 (α)는 실험을 통해 곧장 측정할 수 있다. 이 최초의 최소값이 생기려면 틈새의 위쪽 모서리 (A)를 통과한 입자가 이동한 거리와 틈새 정중앙 (A와 E 사이의 정중앙)을 통과한 입자가 이동한 거리의 차이가 1/2 λ 이 되어야 한다. 여기에서 λ는 우리가 쏜 합성파의 파장을 의미한다. 즉 틈새 위쪽 모서리를 통과하고 나온 파동은 틈새 정중앙을 통과한 파동에 대해 정확히 역위상 (out of phase) 관계이다. 틈새 정중앙에서 거리 d 만큼 아래를 통과한 파동과 틈새 중앙에서 d 만큼 위를 통과한 파동은 상쇄된다. Fig 1.2 에서 AD = CD 가 되도록 AC를 그리면 BC 만큼 경로 길이에 차이가 있음을 알 수 있다. 틈새에서 사진건판까지의 거리를 틈새의 폭보다 훨씬 크게 하면 AD와 BD는 거의 평행이 될 것이다. 그러면 각도 ACB 는 직각이 되며, 직각이면 각도 BAC = α 가 된다. 그러면 경로 길이 차이 BC = 1/2 w sin α 가 된다. BC가 1/2 λ 와 같다고 하면 w sin α = λ 이고, 따라서 위의 (1.6)은 ΔxΔp x = pλ 가 된다. 파장 λ는 드브로이의 관계식 λ = h/p와 같다. 따라서 ΔxΔp x = h 이다. 사실 이 불확정도는 어느 정도 가정을 바탕으로 정의된 것이기 때문에 등호 (=)를 넣을 수는 없다. 즉 아래와 같다.
(1.7)
이 식은 x 와 p x 에 대한 불확정성의 곱이 플랑크상수의 단위로 증가하거나 감소함을 의미한다. 이 관계식은 위의 한 가지 실험만으로 얻은 결과이긴 하지만 일반적으로 널리 적용될 수 있다. 몇 번을 시도하든 미세한 입자들의 파동-입자 이중성 때문에 입자의 위치와 운동량을 동시에 측정하는 데 있어서 한계에 봉착하게 만든다. 위치를 더 정확하게 측정할 수록 운동량은 더 부정확하게 측정된다 (Fig 1.1 에서 sin α = λ/w 였으며, 즉 틈새의 폭 Δx 을 줄이면 회절패턴이 넓어져 입자의 위치 측정은 부정확해지지만 Δp x 는 커져서 x 방향으로의 운동량 측정은 정확해진다). 1927년 하이젠베르크는 이러한 한계를 발견하고는 이를 불확정성 원리라고 하였다.
지금까지 우리는 운동량 p x 값이 0으로 확실한 입자를 이용하여 식을 유도했다. 틈새를 이용하는 방법을 통해 입자의 x 좌표를 w 의 정확도로 측정할 수 있었다. 하지만 그렇게 하니까 입자의 p x 값의 불확정성이 커졌다. 이는 측정활동이 계의 상태에 변화를 줬기 때문이며, 이는 또한 파동-입자 이중성 때문이다.
물리적 의미
양자역학의 물리적 의미를 해석하는 데에는 여러 관점이 있으나, 여기서는 기본적으로 양자역학의 코펜하겐 해석에 따라 불확정성 원리의 의미를 서술하도록 하겠다.
‘불확정성 원리’란 입자의 위치와 운동량을 동시에 정확히 알아낼 수 없고, 두 측정값의 부정확도를 일정 이하로 줄일 수 없다는 양자역학적 원리이다. 고전역학의 예측과는 달리, 양자역학에서는 위치와 운동량이 동시에 확정적인 값을 가질 수 없으며 위치의 불확정성과 운동량의 불확정성이 플랑크상수에 의해 제한되어있다. 이는 입자계로부터 동일한 측정의 과정을 여러번 거친 통계에 대한 진술이지, 단순히 입자계를 한번 측정하여 얻어지는 결과가 아니다. 양자현상은 특정한 시도에 의해 그때그때 얻어지는 결과물에 대한 예측이 아니며, 여러번의 관찰로부터 얻어지는 기댓값과 같은 통계적인 예측만을 할 수 있다. 불확정성 원리는 이러한 양자현상의 특성을 잘 보여주는 물리적인 원리이다.
불확정성 원리는 입자의 위치와 운동량 관계에만 성립하는 것만이 아니라 양자역학의 일반적인 관측에 적용될 수 있다. 양자현상의 관측량들은 연산자에 의해 얻어지는데, 각 연산자들 사이에는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다. 교환법칙이 성립하지 않는 두 연산자를 ‘교환(맞바꿈) 관계에 있지 않다’라고 말하기도 하는데, 이러한 두 연산자에 대해서는 불확정성 원리가 성립한다. 앞서 언급한 위치와 운동량은 교환 관계에 있지 않기 때문에 위치와 운동량의 측정은 불확정적인 것이다. 반면 3차원 공간에서의 위치와 운동량을 측정할 경우엔, 동일하지 않은 방향에서의 위치와 운동량은 서로 교환 가능한 관계이므로 그것들에 대해서는 불확정적이지 않게 (정확하게) 관측할 수 있다. 예를들어 직교좌표계에서의 관측을 생각해보자. x축 상의 위치를 측정하는 행위는 x축상의 운동량에 영향을 주지만, 이 관측은 y축과 z축 상의 위치와 운동량 관측에는 아무런 영향을 주지 않으며 모든 관측에 불확정성은 존재하지 않는다. 만약 처음의 결과가 실험 오차에 의한 것이었다면 x축상의 위치와 y축상의 운동량의 측정 역시 제대로 이루어지지 않아야하는데 그렇지 않다는 점이 바로 기술적 한계와 불확정성 원리가 구별되는 점이다.
또한 불확정성 원리는 관측 행위의 순서가 관측하고자 하는 상태에 영향을 주는 양자현상의 특징을 함축하고 있기도 하다. 교환관계에 있지 않은 두 연산자에 의한 관측을 연속적으로 수행하는 경우, 즉 한번의 관측을 수행한 후 다른 관측을 수행할 때 두 관측 순서를 바꾸면 각각은 다른 결과가 얻어지게 된다. 이것은 처음의 관측에 의해 상태가 변화하게 되어 다음 관측에서는 처음과 동일하지 않은 상태에 대해 측정을 수행하기 때문에 발생하는 현상이다. 이렇게 초기 상태가 관측에 의해 다른 상태로 바뀌는 것을 파동 함수 붕괴 (wave function collapse)라고 말한다. 양자 현상의 상태는 파동함수로 표현되므로, 그 파동 함수가 변화했다는 것은 수학적 계산에 의해 전과 같은 관측량을 얻을 수 없다는 것을 뜻한다.
하이젠베르크의 현미경
하이젠베르크의 현미경. 전자(파란색), 입사되는 감마선(녹색), 산란된 감마선(붉은색). 산란된 감마선은 현미경의 관측 구경에 임의의 각도로 들어오게 된다.
하이젠베르크의 현미경( Heisenberg’s microscope )은 하이젠베르크가 불확정성의 원리를 설명하는데 사용했던 대표적인 방법이었다. 하이젠베르크는 현미경으로 입자를 관측하는 사고 실험 )은 하이젠베르크가 불확정성의 원리를 설명하는데 사용했던 대표적인 방법이었다. 하이젠베르크는 현미경 에 사용하는 빛의 파장이 짧을수록 상을 형성하는 해상도가 높다는 사실을 토대로, 원자 속 전자의 위치를 정밀하게 측정하기 위해서는 관측에 사용되는 빛은 감마선 정도여야 한다고 생각했다. 원자 속의 전자를 관측하기 위해 감마선과 같이 짧은 파장(높은 진동수)의 광자를 쏠 경우, 감마선 광자가 가진 운동량은 매우 커서 원자가 전자를 잡아두는 에너지를 초과한다. 따라서 이 경우 전자의 위치는 정확히 관측되지만, 광자는 전자에 큰 임의의 운동량을 전달하므로 컴프턴 효과 에 의해 전자의 운동량은 부정확하게 측정된다. 반대로 전자를 관측하기 위해 긴 파장(낮은 진동수)의 광자를 쏠 경우 광자의 충돌이 전자의 운동량에 큰 영향을 주지 않지만, 전자에 의해 크게 산란된 광자는 관측자에게 전자의 위치를 정확히 전달해 줄 수 없다. 위의 두 상황에 의해, 전자의 위치와 운동량을 동시에 정확히 아는 것은 불가능하다.
불확정성 원리의 역사
1924년부터 코펜하겐의 보어 연구소에서 원자의 구조에 대해 연구하던 베르너 하이젠베르크는 1925년 5월, 문제를 단순화시켜 복잡한 수소원자가 아닌 가상적인 조화 진동자를 설정하여 자신의 생각을 구체화하고자 했다. 그는 조화 진동자에서 고전적인 다주기 체계에 상응하는 위치 좌표를 푸리에 급수로 전개하여 이에 대한 수학적인 형식화를 추구한 결과, 그가 시도한 새로운 방법이 에너지 보존법칙을 만족한다는 것을 증명하였다. 그리하여 마침내 1925년 6월, 휴양지인 헬골란트 섬에서 최초로 양자 현상에 대한 새로운 역학을 정립해냈다. 이후 하이젠베르크는 양자 현상 내에서는 물리량들과 연관시킨 수학적 대상 두개를 함께 곱함으로써 얻어지는 답이 곱이 수행되는 순서에 따라 결과가 달라지는 독특한 특성을 발견했다. (현대적인 표현으로 바꾸어 말하면 여기서 말하는 물리량과 연관된 수학적 대상은 연산자이며, 두 연산자 사이에는 교환관계가 성립하지 않는다고 할 수 있다.) 이 수학적 특징은 당시의 물리학자들에게 친숙하지 않았던 것이어서 쉽게 받아들여지진 않았고 하이젠베르크 자신 역시 그것의 의미를 정확히 알 수 없었다. 이때 막스 보른은 1925년 하이젠베르크의 논문에 담긴 비교환적 양들이 수학자들 사이에서는 잘 알려진 행렬임을 인식할 수 있었고, 하이젠베르크의 연구 내용을 파스쿠알 요르단(Pascual Jordan)과 함께 행렬로 표현해내는데 성공했다. 그리하여 하이젠베르크가 정립한 새로운 역학은 행렬역학이라 명명되었다. 1926년 3월, 하이젠베르크는 행렬역학의 비교환적 성질이 불확정성을 내포하고 있다는 것을 깨닫고 (당시 닐스 보어는 ‘불확정성’을 ‘상호보완성’이라고 표현했다), 미시적인 자연 세계를 바라보는 새로운 관점을 제시하고자 노력한 결과, 1927년 3월에 불확정성 원리를 발표하였다.
후에 하이젠베르크는 자신이 불확정성 원리를 창안할 수 있었던 것은 알베르트 아인슈타인의 영향을 받았기 때문이라고 회고했다. 아인슈타인은 “관찰이란 현상과 그것에 관련된 자연법칙을 알고 있을 때에만 의미가 있으며, 관찰할 수 있는 것이 무엇인지를 결정해주는 것이 이론이다.”라고 말했는데, 하이젠베르크는 이러한 관점 하에 새로운 현상에 대한 연구를 수행한 결과 불확정성 원리에 대한 기본적인 착상을 할 수 있었다고 한다. (아이러니하게도 그러한 계기를 제공한 아인슈타인은 양자역학의 불확정성, 비결정론적인 특성을 매우 못마땅하게 생각했다.) 불확정성 원리에 대한 수학적인 논증을 완성시킨 하이젠베르크는 이후 사고 실험을 통하여 빛과 물질의 파동, 입자의 이중성이 불확정성으로 연결된다는 것을 입증하려고 했다.
하이젠베르크의 1927년 논문은 Δx와 Δp가 무엇을 의미하는지 정확히 명시하지 않았고, 다음과 같은 형태였다.
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같은 해 7월에 미국의 얼 케너드(Earle Hesse Kennard)가 오늘날과 같이 Δx와 Δp를 관측가능량의 표준편차로 정의하고, 오늘날과 같은 형태의 부등식
을 증명하였다.
상세 < < 전시 < 국립현대미술관
<불확정성의 원리>는 하이젠베르크의 양자물리학 이론인 “불확정성 원리”가 실험을 통해 증명하는 것처럼, 사물의 실체를 정확하게 관측한다는 것이 불가능하다는 것을 …
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