베스트 47 다 익스트라 알고리즘 새로운 업데이트 55 일 전

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다익스트라 알고리즘 – 나무위키:대문

15 thg 12, 2022 — 음의 가중치가 없는 그래프의 한 정점(頂點, Vertex)에서 모든 정점까지의 최단거리를 각각 구하는 알고리즘(최단 경로 문제, Shortest Path Problem) …

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23. 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘 – 네이버 블로그

다익스트라(Dijkstra) 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍을 활용한 대표적인 최단 경로(Shortest Path) 탐색 알고리즘 입니다. 흔히 인공위성 GPS 소프트웨어 등에서 가장 많이 사용됩니다. 다익스트라 알고리즘은 특정한 하나의 정점에서 다른 모든 정점으로 가는 최단 경로를 알려줍니다. 다만 이 떄 음의 간선을 포함할 수 없습니다. 물론 현실 세계에서는 음의 간선이 존재하지 않기 때문에 다익스트라는 현실 세계에 사용하기 매우 적합한 알고리즘 중 하나 라고 할 수 있습니다.

다익스트라 알고리즘이 다이나믹 프로그래밍 문제인 이유는 ‘최단 거리는 여러 개의 최단 거리로 이루어져있기 때문입니다.’ 작은 문제가 큰 문제의 부분 집합에 속해있다고 볼 수 있습니다. 기본적으로 다익스트라는 하나의 최단 거리를 구할 때 그 이전까지 구했던 최단 거리 정보를 그대로 사용 한다는 특징이 있습니다. 무슨 소리인지 이해가 안 가시더라도 차근차근 과정을 따라하시면 이해하실 수 있을 거에요.

한 번 다음의 경우를 고려해봅시다. 1부터 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 구해야 합니다.

22 thg 3, 2018 — 다익스트라 알고리즘은 특정한 하나의 정점에서 다른 모든 정점으로 가는 최단 경로를 알려줍니다. 다만 이 떄 음의 간선을 포함할 수 없습니다. 물론 …

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25강 – 다익스트라 알고리즘(Dijkstra Algorithm) [ 실전 알고리즘 강좌(Algorithm Programming Tutorial) #25 ]

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23. 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘

다익스트라(Dijkstra) 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍을 활용한 대표적인 최단 경로(Shortest Path) 탐색 알고리즘 입니다. 흔히 인공위성 GPS 소프트웨어 등에서 가장 많이 사용됩니다. 다익스트라 알고리즘은 특정한 하나의 정점에서 다른 모든 정점으로 가는 최단 경로를 알려줍니다. 다만 이 떄 음의 간선을 포함할 수 없습니다. 물론 현실 세계에서는 음의 간선이 존재하지 않기 때문에 다익스트라는 현실 세계에 사용하기 매우 적합한 알고리즘 중 하나 라고 할 수 있습니다.

다익스트라 알고리즘이 다이나믹 프로그래밍 문제인 이유는 ‘최단 거리는 여러 개의 최단 거리로 이루어져있기 때문입니다.’ 작은 문제가 큰 문제의 부분 집합에 속해있다고 볼 수 있습니다. 기본적으로 다익스트라는 하나의 최단 거리를 구할 때 그 이전까지 구했던 최단 거리 정보를 그대로 사용 한다는 특징이 있습니다. 무슨 소리인지 이해가 안 가시더라도 차근차근 과정을 따라하시면 이해하실 수 있을 거에요.

한 번 다음의 경우를 고려해봅시다. 1부터 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 구해야 합니다.

데이크스트라 알고리즘 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전

변의 비용이 작은 정수일 때(C 보다 작을 때), 데이크스트라 알고리즘의 속도를 높이기 위해서 단조 우선순위 큐를 쓸 수 있다. 이 종류의 첫 번째 알고리즘은 Dial’s algorithm으로, 버켓 큐를 사용해서 수행 시간이 O ( | E | + diam ⁡ ( G ) ) {\displaystyle O(|E|+\operatorname {diam} (G))} 로, 정수 가중치를 갖는 그래프의 가중 지름에 의존한다(Dial 1969). 판엠더 보아스 트리를 우선순위 큐로 사용하면 복잡성은 O ( | E | log ⁡ log ⁡ C ) {\displaystyle O(|E|\log \log C)} 가 된다(Ahuja 등. 1990). 새로운 기수 힙과 잘 알려진 피보나치 힙의 결합에 기반한 수행은 O ( | E | + | V | log ⁡ C ) {\displaystyle O(|E|+|V|{\sqrt {\log C}})} 의 시간이 소요된다(Ahuja 등. 1990). 마지막으로, 여기에서 언급한 특수한 경우에 대한 최적의 알고리즘은 다음과 같다. (Thorup 2000)의 알고리즘은 O ( | E | log ⁡ log ⁡ | V | ) {\displaystyle O(|E|\log \log |V|)} 의 시간이 소요되고 (Raman 1997)의 알고리즘은 O ( | E | + | V | min { ( log ⁡ | V | ) 1 / 3 + ϵ , ( log ⁡ C ) 1 / 4 + ϵ } ) {\displaystyle O(|E|+|V|\min\{(\log |V|)^{1/3+\epsilon },(\log C)^{1/4+\epsilon }\})} 의 시간이 소요된다.

모든 꼭짓점을 미방문 상태로 표시한다. 미방문 집합이라는 모든 미방문 꼭짓점의 집합을 만든다. 모든 꼭짓점에 시험적 거리 값을 부여한다: 초기점을 0으로, 다른 모든 꼭짓점을 무한대로 설정한다. 초기점을 현재 위치로 설정한다. 현재 꼭짓점에서 미방문 인접 꼭짓점을 찾아 그 시험적 거리를 현재 꼭짓점에서 계산한다. 새로 계산한 시험적 거리를 현재 부여된 값과 비교해서 더 작은 값을 넣는다. 예를 들어, 현재 꼭짓점 A의 거리가 6이라고 표시되었고, 인접 꼭짓점 B로 연결되는 변의 길이가 2라고 한다면, A를 통한 B까지의 거리는 6 + 2 = 8이 된다. 이전의 B까지의 거리가 8보다 컸다면 8로 바꾸고, 그렇지 않다면 그대로 놔둔다. 만약 현재 꼭짓점에 인접한 모든 미방문 꼭짓점까지의 거리를 계산했다면, 현재 꼭짓점을 방문한 것으로 표시하고 미방문 집합에서 제거한다. 방문한 꼭짓점은 이후에는 다시 방문하지 않는다. 두 꼭짓점 사이의 경로를 찾는 경우: 도착점이 방문한 상태로 표시되면 멈추고 알고리즘을 종료한다. 완전 순회 경로를 찾는 경우: 미방문 집합에 있는 꼭짓점들의 시험적 거리 중 최솟값이 무한대이면 이는 출발점과 미방문 집합 사이에 연결이 없는 경우이므로 멈추고 알고리즘을 종료한다. 아니면 시험적 거리가 가장 작은 다음 미방문 꼭짓점을 새로운 “현재 위치”로 선택하고 3단계로 되돌아간다.

1 function Dijkstra(Graph, source): 2 3 create vertex set Q 4 5 for each vertex v in Graph: // 초기화 6 dist[v] ← INFINITY // 소스에서 v까지의 아직 모르는 길이 7 prev[v] ← UNDEFINED // 소스에서 최적 경로의 이전 꼭짓점 8 add v to Q // 모든 노드는 초기에 Q에 속해있다 (미방문 집합) 9 10 dist[source] ← 0 // 소스에서 소스까지의 길이 11 12 while Q is not empty: 13 u ← vertex in Q with min dist[u] // 최소 거리를 갖는 꼭짓점 14 // 을 가장 먼저 선택한다 15 remove u from Q 16 17 for each neighbor v of u: // v는 여전히 Q에 있다. 18 alt ← dist[u] + length(u, v) 19 if alt < dist[v]: // v 까지의 더 짧은 경로를 찾았을 때 20 dist[v] ← alt 21 prev[v] ← u 22 23 return dist[], prev[]

컴퓨터 과학에서 데이크스트라 알고리즘(영어: Dijkstra algorithm) 또는 다익스트라 알고리즘은 도로 교통망 같은 곳에서 나타날 수 있는 그래프에서 꼭짓점 간의 …

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최단경로검색 다익스트라 알고리즘 – python [상상개발자]

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위키백과, 우리 모두의 백과사전

데이크스트라 알고리즘 a와 b 사이의 최단 경로를 찾는 데이크스트라의 알고리즘이다. 가장 낮은 값을 가진 방문하지 않은 꼭짓점을 선택하고, 방문하지 않은 각 인접 노드와의 거리를 계산하고, 작을 경우 인접 거리를 업데이트한다. 이 그림에서는 꼭짓점에 도착하면 빨간색으로 표시했다. 분류 탐색 알고리즘 자료 구조 그래프 최악 시간복잡도 O ( | E | + | V | log ⁡ | V | ) {\displaystyle O(|E|+|V|\log |V|)}

컴퓨터 과학에서 데이크스트라 알고리즘(영어: Dijkstra algorithm) 또는 다익스트라 알고리즘은 도로 교통망 같은 곳에서 나타날 수 있는 그래프에서 꼭짓점 간의 최단 경로를 찾는 알고리즘이다. 이 알고리즘은 컴퓨터 과학자 에츠허르 데이크스트라가 1956년에 고안했으며 삼 년 뒤에 발표했다.[1][2][3]

이 알고리즘은 변형이 많다. 데이크스트라의 원래 알고리즘은 두 꼭짓점 간의 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘이지만,[3] 더 일반적인 변형은 한 꼭짓점을 “소스” 꼭짓점으로 고정하고 그래프의 다른 모든 꼭짓점까지의 최단경로를 찾는 알고리즘으로 최단 경로 트리를 만드는 것이다.

그래프에서 주어진 소스 꼭짓점에 대해서, 데이크스트라 알고리즘은 그 노드와 다른 모든 꼭짓점 간의 가장 짧은 경로를 찾는다.[4] 이 알고리즘은 어떤 한 꼭짓점에서 다른 한 도착점까지 가는 경로를 찾을 때, 그 도착점까지 가는 가장 짧은 경로가 결정되면 멈추는 식으로 사용할 수 있다. 예컨대 어떤 그래프에서, 꼭짓점들이 각각 도시를 나타내고, 변들이 도시 사이를 연결하는 도로의 길이를 나타낸다면, 데이크스트라 알고리즘을 통하여 두 도시 사이의 최단 경로를 찾을 수 있다. 따라서 최단 경로 알고리즘은 네트워크 라우팅 프로토콜에서 널리 이용되며, 특히 IS-IS (Intermediate System to Intermediate System)와 OSPF(Open Shortest Path First)에서 주로 사용된다. 또한 데이크스트라 알고리즘은 존슨 알고리즘 같은 알고리즘의 서브루틴으로 채택되었다.

데이크스트라의 원래 알고리즘은 우선순위 큐를 사용하지 않았기 때문에 시간 복잡도가 O ( | V | 2 ) {\displaystyle O(|V|^{2})} ( | V | {\displaystyle |V|} 는 꼭짓점의 개수이다)이다. 이 알고리즘의 개념은 Leyzorek 등. 1957에서도 사용된다. 최소 우선 큐에 기반한 알고리즘은 피보나치 힙으로 수행되며 시간복잡도는 Fredman & Tarjan 1984 harvnb error: 대상 없음: CITEREFFredmanTarjan1984 (help) 때문에 O ( | E | + | V | log ⁡ | V | ) {\displaystyle O(|E|+|V|\log |V|)} ( | E | {\displaystyle |E|} 는 변의 개수이다)이다. 이 알고리즘은 알려진 제한 없는 음이 아닌 가중치를 가지는 무작위 유향 그래프에서의 단일 소스 최단 경로 알고리즘 중 점근적으로 가장 빠른 알고리즘이다. 하지만, 특별한 경우(제한이 있는 정수 가중치나 유향 비순환 그래프 등의 경우)에는 다른 § 세분화된 변형으로 개선할 수 있다.

어떤 분야, 특히 인공 지능 분야에서, 데이크스트라 알고리즘이나 그 변형은 균일 비용 탐색으로 알려져 있으며 최상 우선 탐색의 일반적인 아이디어의 예시로 공식화되어있다.[5]

역사 [ 편집 ]

로테르담에서 흐로닝언까지, 일반적으로 한 도시에서 다른 도시로 가는 가장 짧은 길은 무엇일까요? 이것은 제가 이십 분 동안 생각해낸 최단 거리를 찾는 알고리즘입니다. 어느 날 아침에 저는 제 약혼녀와 암스테르담에서 쇼핑을 하고 있었고, 지쳤었기 때문에 카페 테라스에 앉아서 커피를 마시면서 그 문제에 대해서 생각하다가 최단 거리를 찾는 알고리즘을 고안했습니다. 제가 말했듯이, 이것은 이십 분 짜리 발명품입니다. 사실, 이 알고리즘은 삼 년 뒤인 1959년에 발표했습니다. 그 간행물을 여전히 읽을 수 있습니다. 사실은 꽤 괜찮습니다. 이것이 괜찮은 이유 중 하나는 제가 이 알고리즘을 고안할 때 연필과 종이 없이 고안했다는 것입니다. 제가 나중에 알게 된 바로는 연필과 종이 없이 고안하는 것의 좋은 점은 고안 할 때 피할 수 있는 복잡성을 피하도록 거의 강요되기 때문이라고 합니다. 갑자기 그 알고리즘이 나타남이 저를 놀랍게 했으며 제 명성의 초석이 되었습니다. — 에츠허르 데이크스트라, Philip L과의 인터뷰에서. Frana, Communications of the ACM, 2001[2]

데이크스트라는 1956년에 네덜란드 국립 수학 정보과학 연구소에서 새로운 컴퓨터 ARMAC의 수용력을 입증하는 프로그래머로 일할 때 최단 경로 문제에 대해서 생각했다.[6] 이제 해야 할 일은 컴퓨터를 다루지 않는 사람들도 이해할 수 있도록 문제와 (컴퓨터가 만들어낸)해법을 둘 다 선택하는 것이었다. 그는 최단 거리 알고리즘을 고안하고, 이후 ARMAC에서 약간 단순화된 네덜란드 도시 64개(도시의 숫자를 표시하기 위해서 6 비트만 필요하도록 64를 선정했다)의 교통 지도에 대해서 수행했다.[2] 일 년 뒤, 데이크스트라는 기관의 다음 컴퓨터를 작업하던 하드웨어 엔지니어들의 문제를 직면했다: 기계의 후면 패널에 있는 핀을 연결할 때 필요한 전선의 개수를 최소화하는 것이다. 그 해법으로, 프림 최소 신장 트리 알고리즘으로 알려진 알고리즘을 재발견 했다(이전에는 Jarník에 의해 알려져 있었고, 또한 프림에 의해 재발견 되었었다).[7][8] 데이크스트라는 이 알고리즘을 프림이 발표한 지 2년 뒤이고 Jarník이 발표한 지 29년 뒤인 1959년에 발표했다.[9][10]

알고리즘 [ 편집 ]

로봇 모션 계획 문제에서 데이크스트라 알고리즘이 시작점(좌측 하단, 빨간색)에서 도착점(우측 상단, 초록색)까지의 경로를 찾는 도해. 빈 꼭짓점은 “시험” 집합(“미방문” 꼭짓점들의 집합)을 나타낸다. 채워진 꼭짓점은 방문한 꼭짓점으로, 색은 거리를 나타낸다: 초록색이 될 수록 더 가깝다는 의미이다. 다른 방향으로 있는 꼭짓점들은 균일하게 탐색되며, 데이크스트라 알고리즘이 휴리스틱 을 0과 같게 사용하기 때문에 원형 파면 으로 적거나 많게 나타난다.

시작할 꼭짓점은 초기점으로, 꼭짓점 Y의 거리를 초기점에서 Y까지의 거리로 정의한다. 데이크스트라 알고리즘은 초기 거리 값을 부여하고, 단계를 거듭하며 개선시킬 것이며, 이 개선시키는 것을 간선 완화(edge relaxation)이라고 한다.

모든 꼭짓점을 미방문 상태로 표시한다. 미방문 집합이라는 모든 미방문 꼭짓점의 집합을 만든다. 모든 꼭짓점에 시험적 거리 값을 부여한다: 초기점을 0으로, 다른 모든 꼭짓점을 무한대로 설정한다. 초기점을 현재 위치로 설정한다. 현재 꼭짓점에서 미방문 인접 꼭짓점을 찾아 그 시험적 거리를 현재 꼭짓점에서 계산한다. 새로 계산한 시험적 거리를 현재 부여된 값과 비교해서 더 작은 값을 넣는다. 예를 들어, 현재 꼭짓점 A의 거리가 6이라고 표시되었고, 인접 꼭짓점 B로 연결되는 변의 길이가 2라고 한다면, A를 통한 B까지의 거리는 6 + 2 = 8이 된다. 이전의 B까지의 거리가 8보다 컸다면 8로 바꾸고, 그렇지 않다면 그대로 놔둔다. 만약 현재 꼭짓점에 인접한 모든 미방문 꼭짓점까지의 거리를 계산했다면, 현재 꼭짓점을 방문한 것으로 표시하고 미방문 집합에서 제거한다. 방문한 꼭짓점은 이후에는 다시 방문하지 않는다. 두 꼭짓점 사이의 경로를 찾는 경우: 도착점이 방문한 상태로 표시되면 멈추고 알고리즘을 종료한다. 완전 순회 경로를 찾는 경우: 미방문 집합에 있는 꼭짓점들의 시험적 거리 중 최솟값이 무한대이면 이는 출발점과 미방문 집합 사이에 연결이 없는 경우이므로 멈추고 알고리즘을 종료한다. 아니면 시험적 거리가 가장 작은 다음 미방문 꼭짓점을 새로운 “현재 위치”로 선택하고 3단계로 되돌아간다.

경로를 계획하고 있을 때, 사실은 위에서 했던 것처럼 도착점이 “방문”한 상태가 될 때까지 기다릴 필요가 없다: 도착점이 “미방문” 꼭짓점들 중 가장 시험적 거리가 작아지면 (그리고 다음 “현재 위치”로 선택될 수 있다면) 알고리즘을 종료할 수 있다.

설명 [ 편집 ]

아래쪽 교차로가 현재 위치일 때 갱신되는 상황을 나타낸 그림이다. 각 교차로에는 현재까지의 최단 거리가 적혀있다. 현재 위치에서 이웃 교차로까지 5의 거리로 갈 수 있다고 할 때, 이웃교차로에는 15의 거리로 도착할 수 있다. 왼쪽 교차로는 이미 다른 경로를 통해 13의 거리로 도착할 수 있으므로 갱신하지 않고, 오른쪽 교차로는 더 짧은 거리로 도착할 수 있으므로 갱신한다. 가운데 교차로는 방문하지 않은 교차로이므로 갱신한다. 이 과정은 현재 거리에 도로 길이를 더한 값과 교차로에 쓰여진 값을 비교해서 구할 수 있다.

참고: 이 문단에서는 이해를 돕기 위해서 교차로, 도로 그리고 지도라는 용어를 사용했지만, 공식적인 용어는 각각 꼭짓점, 변 그리고 그래프이다.

도시의 지도에서 출발지와 목적지 사이의 가장 짧은 거리를 찾는다고 하자. 데이크스트라 알고리즘에서는 교차점마다 출발지로부터의 거리를 적어서 가장 짧은 거리를 찾는다.

데이크스트라 알고리즘에서는 우선 모든 교차점에 무한대를 적어놓는다. 이 표시는 실제 거리가 무한대라는 뜻이 아니라 교차로에 가보지 않았다는 것을 의미한다. 변형된 데이크스트라 알고리즘에서는 표시되지 않음을 써놓기도 한다.

다음으로는 모든 교차점을 표시할 때까지 반복한다. 우선 현재 위치를 정하고 시작점으로부터의 거리를 쓴다. 시작할 때의 현재 위치는 시작점이다. 그리고 시작점으로부터의 거리는 당연히 0이다.

그 다음 현재 위치와 연결되어있는 교차로들의 거리를 갱신한다. 현재 위치에는 시작점으로부터 가장 짧은 거리가 쓰여 있다. 현재 위치 T {\displaystyle T} 에 쓰여 있는 거리를 A {\displaystyle A} , 이웃 교차로로 연결된 도로의 길이를 B {\displaystyle B} , 이웃 교차로에 쓰여 있는 거리를 C {\displaystyle C} 라고 할 때, A + B < C {\displaystyle A+B dist[u]에 의해서 모순이 생긴다. 이와 비슷하게, u로 가는 경로 중 미방문 꼭짓점을 지나지 않는 더 짧은 경로가 있고, 그 경로의 마지막 꼭짓점이 w라고 한다면, dist[u] = dist[w] + length[w,u]이여야 하기 때문에 여전히 모순이 생긴다.

u를 처리하고 나서도 각각의 미방문 꼭짓점 w에 대해서, dist[w]는 여전히 방문한 꼭짓점만을 통해서 source에서 w로까지의 최단 거리이다. 그 이유는 u를 통과하지 않는 경로 중 더 짧은 경로가 있다고 한다면 이미 찾았었을 것이며, u를 통하는 경로가 더 짧다면 u를 처리할 때 갱신되었을 것이기 때문이다.

실행 시간 [ 편집 ]

간선 E와 꼭짓점 V를 가지는 그래프에서 데이크스트라 알고리즘의 실행 시간의 상한은 대문자 O 표기법을 사용해서 변의 개수 | E | {\displaystyle |E|} 와 꼭짓점의 개수 | V | {\displaystyle |V|} 의 함수로 나타낼 수 있다. 상한을 어떻게 정하는지는 꼭짓점 집합 Q을 수행하는 방법에 의존한다. 다음에서, 어떤 그래프든지 | E | = O ( | V | 2 ) {\displaystyle |E|=O(|V|^{2})} 이기 때문에 상한을 단순화 할 수 있지만, 이 단순화는 | E | {\displaystyle |E|} 에 대한 다른 상한이 있을 수 있다는 점을 간과한다.

꼭짓점 집합 Q의 어떤 수행에서든지 수행 시간은 다음에 포함되어있다:

O ( | E | ⋅ T d k + | V | ⋅ T e m ) {\displaystyle O(|E|\cdot T_{\mathrm {dk} }+|V|\cdot T_{\mathrm {em} })}

이 때 T d k {\displaystyle T_{\mathrm {dk} }} 와 T e m {\displaystyle T_{\mathrm {em} }} 은 각각 Q에서 decrease-key와 extract-minimum 연산의 복잡성이다. 가장 간단한 데이크스트라 알고리즘은 꼭짓점 집합 Q를 일반적인 연결 리스트나 배열로 저장하고, extract-minimum은 단순히 Q에 있는 모든 꼭짓점의 선형 탐색이다. 따라서 이 경우에 실행 시간은 O ( | E | + | V | 2 ) = O ( | V | 2 ) {\displaystyle O(|E|+|V|^{2})=O(|V|^{2})} 이다.

변이 | V | 2 {\displaystyle |V|^{2}} 보다 한참 적은 희소 그래프에 대해서는, 데이크스트라 알고리즘은 그래프를 인접 리스트의 형태로 저장하고 최소 추출을 효율적으로 하기 위해서 우선순위 큐로 자가 균형 이진 탐색 트리, 이진 힙, 페어링 힙, 또는 피보나치 힙을 사용해서 효율적으로 수행할 수 있다. decrease-key 단계를 이진 힙으로 효율적으로 수행하기 위해서는 각각의 꼭짓점에서 힙의 위치로 연결하는 보조 자료 구조를 사용하고 우선순위 큐 Q가 바뀔 때마다 갱신할 필요가 있다. 자가 균형 이진 탐색 트리나 이진 힙에서 데이크스트라 알고리즘은 최악의 경우에 다음의 시간이 필요하다( log {\displaystyle \log } 는 이진 로그 log 2 {\displaystyle \log _{2}} 를 의미한다):

Θ ( ( | E | + | V | ) log ⁡ | V | ) {\displaystyle \Theta ((|E|+|V|)\log |V|)}

연결 그래프에서는 이 시간 상한을 Θ ( | E | log ⁡ | V | ) {\displaystyle \Theta (|E|\log |V|)} 로 단순화 할 수 있다. 피보나치 힙은 이 시간을 다음과 같이 개선시킬 수 있다:

O ( | E | + | V | log ⁡ | V | ) {\displaystyle O(|E|+|V|\log |V|)}

이진 힙을 사용할 때, 평균 시간복잡도는 최악의 경우 보다 더 낮다: 변의 비용이 일반적인 확률 분포와 무관하다고 가정하면, decrease-key 연산의 기대 연산 횟수의 상한은 O ( | V | log ⁡ ( | E | / | V | ) ) {\displaystyle O(|V|\log(|E|/|V|))} 이므로, 총 수행 시간은 다음과 같아진다:[4]

O ( | E | + | V | log ⁡ | E | | V | log ⁡ | V | ) {\displaystyle O\left(|E|+|V|\log {\frac {|E|}{|V|}}\log |V|\right)}

게다가, 그래프에 있는 모든 꼭짓점을 삽입하지 않으면 알고리즘을 무한 그래프나 메모리로 표현하기에는 너무 큰 그래프에서 시작점에서 도착점까지의 최단 경로를 찾도록 확장할 수 있다. 그 결과로 나타나는 알고리즘은 인공지능 분야에서 균일 비용 탐색 (UCS)이라고 불리고[5][12][13] 다음의 의사 코드로 나타낼 수 있다

procedure UniformCostSearch(Graph, start, goal) node ← start cost ← 0 frontier ← priority queue containing node only explored ← empty set do if frontier is empty return failure node ← frontier.pop() if node is goal return solution for each of node’s neighbors n if n is not in explored frontier.add(n) explored.add(n)

이 알고리즘의 복잡성은 매우 큰 그래프에서 다른 방법으로 표현할 수 있다: C*가 시작점에서 “도착” 예측을 만족하는 어떤 점으로 가는 최단 경로의 길이라고 하고, 각각의 변이 적어도 ε의 비용이 들며, 꼭짓점의 인접 꼭짓점의 개수가 최대 b라고 한다면, 알고리즘의 최악의 경우와 공간복잡도는 둘 다 O(b1+⌊C* ⁄ ε⌋)이다.[12]

단일 도착점의 경우의 데이크스트라 알고리즘을 더 최적화 한 것에는 양방향 변형이 있고, A* 알고리즘 같은 목적 지향 변형이 있으며(§ 관련 문제와 알고리즘 참고), 어떤 꼭짓점이 최단 경로의 일부를 이룰 것 같은지를 결정하기 위한 그래프 가지치기가 있으며 (도달 기반 라우팅), s와 t를 각각 “고속도로”를 이용한 전이 꼭짓점 간의 최단 경로 계산에 의한 “전이 꼭짓점”으로 연결시키기 위해서 s–t 라우팅을 감소시키는 입력된 그래프의 계급 분해를 사용할 수 있다.[14] 이러 기술을 결합하는 것은 특정 문제에서 실제 최적의 수행에 필요할 수 있다.[15]

세분화된 변형 [ 편집 ]

변의 비용이 작은 정수일 때(C 보다 작을 때), 데이크스트라 알고리즘의 속도를 높이기 위해서 단조 우선순위 큐를 쓸 수 있다. 이 종류의 첫 번째 알고리즘은 Dial’s algorithm으로, 버켓 큐를 사용해서 수행 시간이 O ( | E | + diam ⁡ ( G ) ) {\displaystyle O(|E|+\operatorname {diam} (G))} 로, 정수 가중치를 갖는 그래프의 가중 지름에 의존한다(Dial 1969). 판엠더 보아스 트리를 우선순위 큐로 사용하면 복잡성은 O ( | E | log ⁡ log ⁡ C ) {\displaystyle O(|E|\log \log C)} 가 된다(Ahuja 등. 1990). 새로운 기수 힙과 잘 알려진 피보나치 힙의 결합에 기반한 수행은 O ( | E | + | V | log ⁡ C ) {\displaystyle O(|E|+|V|{\sqrt {\log C}})} 의 시간이 소요된다(Ahuja 등. 1990). 마지막으로, 여기에서 언급한 특수한 경우에 대한 최적의 알고리즘은 다음과 같다. (Thorup 2000)의 알고리즘은 O ( | E | log ⁡ log ⁡ | V | ) {\displaystyle O(|E|\log \log |V|)} 의 시간이 소요되고 (Raman 1997)의 알고리즘은 O ( | E | + | V | min { ( log ⁡ | V | ) 1 / 3 + ϵ , ( log ⁡ C ) 1 / 4 + ϵ } ) {\displaystyle O(|E|+|V|\min\{(\log |V|)^{1/3+\epsilon },(\log C)^{1/4+\epsilon }\})} 의 시간이 소요된다.

또한 유향 비순환 그래프에서는 꼭짓점의 위상적 순서를 처리하고 각각의 꼭짓점까지의 길이를 들어오는 변을 통한 경로 중 최소 거리로 설정하면 주어진 시작점에서 선형 시간 O ( | E | + | V | ) {\displaystyle O(|E|+|V|)} 만에 최단 경로를 찾을 수 있다.[16][17]

가중치가 정수인 무향 연결 그래프의 경우의 데이크스트라 알고리즘은 (Thorup 1999)에 의해 완전히 선형 복잡도 O ( | E | ) {\displaystyle O(|E|)} 를 가진다.

관련 문제와 알고리즘 [ 편집 ]

데이크스트라의 원 알고리즘의 기능성은 변형의 다양성을 통해 확장할 수 있다. 예를 들면, 종종 수학적으로 덜 최적인 해법을 나타내는 것이 바람직할 때가 있다. 최적 이하의 해법의 순위표를 얻기 위해서는 먼저 최적 해법을 계산해야 한다. 최적 해법의 한 변을 그래프에서 제거하고, 이 새로운 그래프에서 최적 해법을 계산한다. 원래 해법의 각각의 변을 차례로 제거하고 새로운 최단 경로를 계산한다. 그러면 두 번째 해법을 순위매기고 첫 번째 최적 해법의 다음에 표시한다.

데이크스트라 알고리즘은 종종 링크 상태 라우팅 프로토콜의 원리에 의해 작동하며, OSPF와 IS-IS가 그중 가장 일반적인 것이다.

데이크스트라 알고리즘과는 달리, 벨먼-포드 알고리즘은 소스 꼭짓점 s에서 도달할 수 있는 음수 사이클이 없으면 음수 가중치가 있을 때에도 사용할 수 있다. 이런 사이클이 존재하면, 이 사이클에 들어가서 한 바퀴를 돌 때마다 전체 비용이 감소하기 때문에 최단 경로가 없다. 데이크스트라 알고리즘에 (음수 변을 제거하고 음수 사이클을 감지하기 위해)벨먼-포드 알고리즘을 결합해서 음수 가중치를 다룰 수 있으며, 이런 알고리즘은 존슨 알고리즘이라고 불린다.

A* 알고리즘은 데이크스트라 알고리즘을 일반화 한 것으로, 목적지까지의 “거리”의 하한에 관한 정보를 얻을 수 있을 때 탐색해야 할 부분 그래프의 크기를 줄일 수 있다. 이 접근은 선형 계획법의 관점에서 볼 수 있다: 최단 경로의 계산에서 선형 계획법이 있고, 그 쌍대 선형 계획법의 해법이 실행 가능하다는 것은 일관 휴리스틱을 형성한다는 것이다(대략적으로 말하면, 서명 관례가 문헌마다 다르기 때문이다). 이 실행 가능한 쌍대 / 일관 휴리스틱은 음이 아닌 감소 비용을 정의하고 A*은 본질적으로 이 감소 비용을 가지고 데이크스트라 알고리즘을 돌리는 것이다. 쌍대 선형 계획법이 약한 허용성 조건을 만족하면, A*는 벨먼-포드 알고리즘에 더 비슷하다.

데이크스트라 알고리즘의 기초가 되는 과정은 프림 알고리즘에서 사용되는 탐욕 과정과 유사하다. 프림 알고리즘의 목적은 그래프에 있는 모든 꼭짓점을 연결하는 최소 신장 트리를 찾는 것이나, 데이크스트라 알고리즘은 꼭짓점 두 개 만을 고려하는 것이다. 프림 알고리즘은 시작 꼭짓점의 전체 가중치로 평가하지 않고 각각의 가중치만을 평가한다.

너비 우선 탐색은 데이크스트라 알고리즘을 비가중 그래프에서, 우선순위 큐를 선입선출(FIFO) 큐로 만든 특수한 경우로 볼 수 있다.

빠른 행진 방법은 삼각형 메쉬의 지오데식 거리를 계산하는 데이크스트라 알고리즘의 연속적인 버전으로 볼 수 있다.

동적 계획법의 관점 [ 편집 ]

동적 계획법의 관점에서 보면, 데이크스트라 알고리즘은 도달 방법에서 생겨난 최단 경로 문제에 대한 동적 계획법 함수적 방정식을 푸는 연속적 근사 계획법이다.[18][19][20]

사실, 알고리즘의 바탕이 되는 논리에 대한 데이크스트라의 설명[21]

문제 2. 주어진 두 개의 꼭짓점 P {\displaystyle P} 와 Q {\displaystyle Q} 사이의 최소 거리를 가지는 경로를 찾아라. R {\displaystyle R} 이 P {\displaystyle P} 에서 Q {\displaystyle Q} 로 가는 최단 경로에 있는 꼭짓점이라면, 이 경로는 마찬가지로 P {\displaystyle P} 에서 R {\displaystyle R} 까지 가는 최단 경로라는 사실을 이용한다.

은 벨먼의 유명한 최적성의 원리를 최단 경로 문제의 맥락에서 해석한 것이다.

같이 보기 [ 편집 ]

참조 [ 편집 ]

참고 문헌 [ 편집 ]

[알고리즘] 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘 – velog

# include # include int FindSmallestNode ( ) { int min_dist = INF ; int min_idx = – 1 ; for ( int i = 0 ; i <= N ; i ++ ) { if ( visited [ i ] == true ) continue ; if ( dist [ i ] < min_dist ) { min_dist = dist [ i ] ; min_idx = i ; } } return min_idx ; } void Dijkstra ( ) { for ( int i = 1 ; i <= N ; i ++ ) dist [ i ] = map [ start ] [ i ] ; dist [ start ] = 0 ; visited [ start ] = true ; for ( int i = 0 ; i < N - 1 ; i ++ ) { int new_node = FindSmallestNode ( ) ; visited [ new_node ] = true ; for ( int j = 0 ; j <= N ; j ++ ) { if ( visited [ j ] == true ) continue ; if ( dist [ j ] > dist [ new_node ] + map [ new_node ] [ j ] ) dist [ j ] = dist [ new_node ] + map [ new_node ] [ j ] ; } } }

4번 노드에서 같은 작업을 수행한다. 4번과 연결된 2, 5번까지 오는 거리를 계산한다. 가령 5의 경우엔 4번까지 오는 데 필요한 거리 + 4->5 간선의 가중치 값인 2와 기존의 값인 inf 중 최솟값을 계산하고, 2번 노드의 경우엔 기존 값인 2와 4번을 거쳐가는 값인 1+2 = 3을 비교한다. 그렇다면 2번 노드는 기존 값이 더 크므로 업데이트하지 않는다. 즉, 1번에서 바로 2번으로 가는 것이 1->4를 거쳐 2번으로 가는 길보다 더 적게 걸린단 뜻이다.

19 thg 2, 2022 — 다익스트라(dijkstra) 알고리즘은 그래프에서 한 정점(노드)에서 다른 정점까지의 최단 경로를 구하는 알고리즘 중 하나이다.

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[파이썬]알고리즘 이야기(04. 네비게이션 길찾기: 다익스트라 알고리즘-개념편)

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[알고리즘] 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘

1. 다익스트라 알고리즘

1-1. 개요

다익스트라(dijkstra) 알고리즘은 그래프에서 한 정점(노드)에서 다른 정점까지의 최단 경로를 구하는 알고리즘 중 하나이다. 이 과정에서 도착 정점 뿐만 아니라 모든 다른 정점까지 최단 경로로 방문하며 각 정점까지의 최단 경로를 모두 찾게 된다. 매번 최단 경로의 정점을 선택해 탐색을 반복하는 것이다.

참고로 그래프 알고리즘 중 최소 비용을 구하는 데는 다익스트라 알고리즘 외에도 벨만-포드 알고리즘, 프로이드 워샬 알고리즘 등이 있다.

1-2. 동작 단계

① 출발 노드와 도착 노드를 설정한다.

② ‘최단 거리 테이블’을 초기화한다.

③ 현재 위치한 노드의 인접 노드 중 방문하지 않은 노드를 구별하고, 방문하지 않은 노드 중 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다. 그 노드를 방문 처리한다.

④ 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 넘어가는 간선 비용(가중치)을 계산해 ‘최단 거리 테이블’을 업데이트한다.

⑤ ③~④의 과정을 반복한다.

‘최단 거리 테이블’은 1차원 배열로, N개 노드까지 오는 데 필요한 최단 거리를 기록한다. N개(1부터 시작하는 노드 번호와 일치시키려면 N + 1개) 크기의 배열을 선언하고 큰 값을 넣어 초기화시킨다.

‘노드 방문 여부 체크 배열’은 방문한 노드인지 아닌지 기록하기 위한 배열로, 크기는 ‘최단 거리 테이블’과 같다. 기본적으로는 False 로 초기화하여 방문하지 않았음을 명시한다.

1-3. 동작 예

출발 노드는 1번, 도착 노드는 6번이라 하고 거리 테이블을 전부 큰 값, 여기서는 inf(무한대)로 초기화했다. 각 노드들을 잇는 간선의 가중치 역시 표시했다.

출발 노드를 먼저 선택하고 거리를 0으로 한다.

1번 노드와 연결된 인접 노드는 2, 4이다. 그곳까지 가는 거리를 각각 기존의 거리값과 비교해 최솟값으로 업데이트한다. 가령 2의 경우 inf와 2 중 작은 값인 2를 택해 할당한다.

또한 인접 노드까지의 거리를 모두 업데이트한 1번 노드는 방문 표시를 한다.

최근 갱신한 테이블 기준, 방문하지 않는 노드 중 가장 거리값이 작은 번호를 다음 노드로 택한다. 위 상태에서는 4번 노드이다.

4번 노드에서 같은 작업을 수행한다. 4번과 연결된 2, 5번까지 오는 거리를 계산한다. 가령 5의 경우엔 4번까지 오는 데 필요한 거리 + 4->5 간선의 가중치 값인 2와 기존의 값인 inf 중 최솟값을 계산하고, 2번 노드의 경우엔 기존 값인 2와 4번을 거쳐가는 값인 1+2 = 3을 비교한다. 그렇다면 2번 노드는 기존 값이 더 크므로 업데이트하지 않는다. 즉, 1번에서 바로 2번으로 가는 것이 1->4를 거쳐 2번으로 가는 길보다 더 적게 걸린단 뜻이다.

다음으로 선택될 노드는 아직 방문하지 않은 노드 2, 3, 5, 6 중 거리값이 가장 작은 노드이므로 2 또는 5이다. 거리 값이 같다면 일단 인덱스가 작은 노드를 택한다고 하고 2번으로 가보자.

2번 노드와 연결된 3, 4번 노드에 대해 같은 과정을 반복한다.

그 다음 노드는 3, 5, 6번 중 가장 거리값이 작은 5번 노드가 되겠다.

5번 노드와 연결된 6번 노드에 같은 과정을 반복한다.

다음 노드를 선택해야 하는데, 아직 방문하지 않은 3번과 6번 중 거리값이 작은 것은 6번이다. 그런데 6번은 더 이어지는 노드도 없는데다 도착 노드이다. 따라서 알고리즘을 종료한다.

최종적으로는 1번에서 6번까지 오는 데 1 – 4 – 5 – 6의 경로를 거치고 최소 거리는 4가 된다.

1-4. 특징

위 동작 예시에서 볼 수 있듯이, 다익스트라 알고리즘은 방문하지 않은 노드 중 최단 거리인 노드를 선택하는 과정을 반복한다.

또한 각 단계마다 탐색 노드로 한 번 선택된 노드는 최단 거리를 갱신하고, 그 뒤에는 더 작은 값으로 다시 갱신되지 않는다.

도착 노드는 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 길을 찾을 필요는 없다.

다익스트라 알고리즘은 가중치가 양수일 때만 사용 가능하다는 중요한 특징이 있다.

위 그림의 상황에서 1 → 4의 경로가 최단경로이려면 3+k 가 1보다 커야 한다. 즉, k > -2 가 성립해야 한다. 반대로 k가 -5라고 한다면 오히려 1 → 2 → 4 경로가 더 최단 경로가 된다. 그 말인 즉, 1번에서 연결된 노드 중 4번이 가중치가 적다는 이유로 최단 거리를 1이라 할 수는 없다는 이야기이다.

따라서 다익스트라 알고리즘을 사용하기 위해서는 정점 사이를 잇는 간선의 가중치가 양수여야 한다. 그래야 한 번 방문한 정점에 대해서는 값을 업데이트 하지 않아도 되는 것이다.

1-5. 구현 방법

다익스트라 알고리즘을 구현하는 방법에는 ‘방문하지 않은 노드’를 다루는 방식에서 ‘순차 탐색’을 할 것이나 ‘우선순위 큐’를 쓸 것이냐로 나뉜다. 자세한 방식은 아래에서 계속한다.

2. 구현(1): 순차 탐색

‘방문하지 않은 노드 중 거리값이 가장 작은 노드’를 선택해 다음 탐색 노드로 삼는다. 그 노드를 찾는 방식이 순차 탐색이 된다. 즉 거리 테이블의 앞에서부터 찾아내야 하므로 노드의 개수만큼 순차 탐색을 수행해야 한다. 따라서 노드 개수가 N이라고 할 때 각 노드마다 최소 거리값을 갖는 노드를 선택해야 하는 순차 탐색이 수행되므로 ( N − 1 ) × N = O ( N 2 ) (N-1) \times N = O(N^2) (N−1)×N=O(N2)의 시간이 걸린다.

아래 코드에서 dist[] 는 각 노드까지의 최소 거리를 저저장하고, visited[] 는 방문 여부를, map[][] 은 한 노드에서 다른 노드로의 거리를 저장하고 있다.

# include # include int FindSmallestNode ( ) { int min_dist = INF ; int min_idx = – 1 ; for ( int i = 0 ; i <= N ; i ++ ) { if ( visited [ i ] == true ) continue ; if ( dist [ i ] < min_dist ) { min_dist = dist [ i ] ; min_idx = i ; } } return min_idx ; } void Dijkstra ( ) { for ( int i = 1 ; i <= N ; i ++ ) dist [ i ] = map [ start ] [ i ] ; dist [ start ] = 0 ; visited [ start ] = true ; for ( int i = 0 ; i < N - 1 ; i ++ ) { int new_node = FindSmallestNode ( ) ; visited [ new_node ] = true ; for ( int j = 0 ; j <= N ; j ++ ) { if ( visited [ j ] == true ) continue ; if ( dist [ j ] > dist [ new_node ] + map [ new_node ] [ j ] ) dist [ j ] = dist [ new_node ] + map [ new_node ] [ j ] ; } } }

파이썬으로 구현한 코드는 아래 링크를 참고한다.

💎 [Python] 최단경로를 위한 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘

3. 구현(2): 우선순위 큐

3-1. 특징

순차 탐색을 사용할 경우 노드 개수에 따라 탐색 시간이 매우 오래 걸릴 수 있다. 이를 개선하기 위해 우선순위 큐를 도입하기도 한다.

거리 값을 담을 우선순위 큐는 힙으로 구현하고, 만약 최소 힙으로 구현한다면 매번 루트 노드가 최소 거리를 가지는 노드가 될 것이다.

파이썬의 경우 PriorityQueue 나 heapq 라이브러리로 우선순위 큐, 최소 힙이 지원되며, C++의 경우 라이브러리에서 최대 힙을 지원하는 priority_queue 를 사용할 수 있다. 최대 힙을 최소 힙으로 쓰려면 저장되는 값에 – 를 붙여 음수로 만들면 된다.

우선순위 큐에서 사용할 ‘우선순위’의 기준은 ‘시작 노드로부터 가장 가까운 노드’가 된다. 따라서 큐의 정렬은 최단 거리인 노드를 기준으로 최단 거리를 가지는 노드를 앞에 배치한다.

위의 순차 탐색을 쓰는 구현과는 다르게 우선순위 큐를 사용하면 방문 여부를 기록할 배열은 없어도 된다. 우선순위 큐가 알아서 최단 거리의 노드를 앞으로 정렬하므로 기존 최단 거리보다 크다면 무시하면 그만이다. 만약 기존 최단거리보다 더 작은 값을 가지는 노드가 있다면 그 노드와 거리를 우선순위 큐에 넣는다. 우선순위 큐에 삽입되는 형태는 <거리, 노드> 꼴이다.

3-2. 동작 예시

출발 노드인 1번의 거리를 업데이트하고 우선순위 큐에 넣는다.

큐에서 맨 앞 노드인 <거리 0, 노드 1>을 꺼내 그 인접 노드를 조사한다. 거리값이 업데이트 되는 노드만, 즉 최소 거리로 업데이트 되는 노드만 큐에 넣는다. 큐는 거리값이 작은 순서대로 정렬된다.

<거리 1, 노드 4>를 꺼내 그 인접 노드를 조사한다. 최소 거리로 거리가 업데이트 된 5번을 큐에 넣는다. 2번의 경우 기존의 거리값인 2보다 1 + 2 = 3이 더 크므로 2번은 큐에 넣지 않는다.

같은 과정의 반복으로 <거리 2, 노드 2>의 인접 노드를 조사하고 거리값이 갱신된 노드만 큐에 넣는다. 3번이 큐에 들어간다.

큐가 빌 때까지 해당 과정을 반복한다.

최종적으로 도착 노드의 거리 값이 최소 거리가 된다.

3-3. 코드 구현

그래프의 형태는 ‘시작 노드 / 끝 노드 / 그 사이 간선의 가중치’를 입력 받아 인접 행렬 graph[][] 에 넣어 표현한다.

# include # include # include using namespace std ; # define INF 99999999 vector < int > dijkstra ( int start , int N , vector < pair < int , int >> graph [ ] ) { vector < int > dist ( N , INF ) ; priority_queue < pair < int , int >> pq ; dist [ start ] = 0 ; pq . push ( { 0 , start } ) ; while ( ! pq . empty ( ) ) { int cur_dist = – pq . top ( ) . first ; int cur_node = pq . top ( ) . second ; pq . pop ( ) ; for ( int i = 0 ; i < graph [ cur_node ] . size ( ) ; i ++ ) { int nxt_node = graph [ cur_node ] [ i ] . first ; int nxt_dist = cur_dist + graph [ cur_node ] [ i ] . second ; if ( nxt_dist < dist [ nxt_node ] ) { dist [ nxt_node ] = nxt_dist ; pq . push ( { - nxt_dist , nxt_node } ) ; } } } return dist ; } int main ( ) { const int N = 10 ; int E = 20 ; vector < pair < int , int >> graph [ N ] ; for ( int i = 0 ; i < E ; i ++ ) { int from , to , cost ; cin >> from >> to >> cost ; graph [ from ] . push_back ( { to , cost } ) ; graph [ to ] . push_back ( { from , cost } ) ; } vector < int > dist = dijkstra ( 0 , N , graph ) ; cout << "끝점까지의 최단거리" << dist [ N - 1 ] << endl ; return 0 ; } 파이썬으로 구현한 코드는 아래 링크를 참고한다. 💎 Python으로 다익스트라(dijkstra) 알고리즘 구현하기 💎 [Python] 우선순위 큐를 활용한 개선된 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘 3-4. 시간 복잡도 간선의 수를 E(Edge), 노드의 수를 V(Vertex)라고 했을 때 O ( E l o g V ) O(E \ \mathrm logV) O(E logV)가 된다. 우선순위 큐에서 꺼낸 노드는 연결된 노드만 탐색하므로 최악의 경우라도 총 간선 수인 E만큼만 반복한다. 즉 하나의 간선에 대해서는 O ( l o g E ) O(\mathrm logE) O(logE)이고, E는 V 2 V^2 V2보다 항상 작기 때문에 E개의 간선을 우선순위 큐에 넣었다 빼는 최악의 경우에 대해서는 O ( E l o g V ) O(E \ \mathrm logV) O(E logV)이다. 참고 자료

다익스트라(Dijkstra) 알고리즘이란? – 코드 연구소

” ); vector < int > dist = dijkstra( 0 , V, adj); for ( int i = 0 ; i < V; i + + ) { printf ( "0번 정점에서 %d번 정점까지 최단거리 : %d

1차원 배열 dist[]에 각 정점까지의 최단거리를 갱신해 나갈 것이다. 초기에는 모두 INF(무한대)로 설정한다.

11 thg 8, 2021 — 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘이란? 다익스트라 알고리즘은 그래프 상에서 시작 정점부터 나머지 각 정점까지의 최단거리를 계산하는 알고리즘이다.

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EBS 링크 소프트웨어 세상, \”가장 빠른길을 찾아라, 최단경로 알고리즘\”

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[알고리즘] 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘이란?

다익스트라(Dijkstra) 알고리즘이란?

다익스트라 알고리즘은 그래프 상에서 시작 정점부터 나머지 각 정점까지의 최단거리를 계산하는 알고리즘이다.

다익스트라 알고리즘은 그래프의 어느 간선의 가중치라도 음수가 있으면 안된다. (벨만-포드 알고리즘은 음수도 가능)

다익스트라 알고리즘을 구현하기 위해서는 다음과 같은 과정을 반복하면 된다.

1. 방문하지 않은 정점 중 가장 가중치 값이 작은 정점을 방문한다. (처음엔 시작 정점 방문)

2. 해당 정점을 거쳐서 갈 수 있는 정점의 거리가 이전에 기록한 값보다 작다면 그 거리를 갱신한다.

이해가 잘 가지 않는다면 아래 예시를 보면 이해가 빠를 것이다.

위와 같은 그래프가 있다고 하자. 시작정점은 0번 정점이라고 가정하고 나머지 정점까지의 최단거리를 계산해보자.

1차원 배열 dist[]에 각 정점까지의 최단거리를 갱신해 나갈 것이다. 초기에는 모두 INF(무한대)로 설정한다.

가장 먼저 시작정점을 방문한다.

시작 정점에서 방문 할 수 있는 정점들에 대한 거리를 갱신한다.

방문하지 않은 정점 중 가장 가중치가 작은 2번 정점을 방문한다.

0번 정점에서 2번 정점을 거쳐서 4번 정점을 가면 기존 거리 보다 최단 거리이므로 갱신한다 ( INF > 11)

0번 정점에서 2번 정점을 거쳐서 3번 정점을 가면 기존 거리 보다 최단 거리이므로 갱신한다 ( 7 > 6 )

방문하지 않은 정점 중 가장 가중치가 작은 3번 정점을 방문한다.

0번 정점-2번 정점-3번정점을 거쳐서 4번 정점을 가면 기존 거리보다 최단 거리이므로 갱신한다( 11> 10 )

방문하지 않은 정점 중 가장 가중치가 작은 4번 정점을 방문한다.

갱신할 거리가 없다.

방문하지 않은 정점 중 가장 가중치가 작은 1번 정점을 방문한다.

갱신할 거리가 없다.

모든 정점을 방문했으므로 종료한다.

위와 같은 과정을 거치면 dist 배열에 0번정점부터 각 정점까지의 최단거리가 기록되게 된다.

c++ 다익스트라 구현

다익스트라는 배열을 이용해 구현할 수도 있고, 우선순위 큐를 이용해 구현할 수도 있다.

정점의 개수를 V, 간선의 개수를 E라고 했을 때

배열을 이용하는 경우 시간복잡도는 O(V^2) 이고 우선순위 큐를 이용하는 경우 O(ElogV)이다.

우선순위 큐를 사용하는게 훨씬 빠르고 간단하니 우선순위 큐를 이용한 방법을 살펴보자.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 #include < vector > #include < iostream > #include < queue > #define MAX 100 // 최대 정점의 개수 #define INF 99999999 using namespace std ; vector < int > dijkstra( int start, int V, vector < pair < int , int > > adj[]) { vector < int > dist(V, INF); // 전부 INF로 초기화 priority_queue < pair < int , int > > pq; dist[start] = 0 ; pq.push( make_pair ( 0 , start)); // 시작 정점 방문 while ( ! pq.empty()) { int cost = – pq.top().first; // 방문한 정점의 dist 값 int cur = pq.top().second; // 현재 방문한 정점 pq. pop (); for ( int i = 0 ; i < adj[cur]. size (); i + + ) { // 현재 방문한 정점의 주변 정점 모두 조사 int next = adj[cur][i].first; // 조사할 다음 정점 int nCost = cost + adj[cur][i].second; // 현재 방문한 정점을 거쳐서 다음 정점을 갈때의 비용 if (nCost < dist[next] ) { // 기존 비용보다 현재 방문한 정점을 거친 비용이 더 싸다면 dist[next] = nCost; // 갱신 pq.push( make_pair ( - nCost, next)); // pq에 저장 } } } return dist; } int main() { int V,E; vector < pair < int , int > > adj[MAX]; cout < < "정점의 개수 입력 : " ; cin > > V; cout < < "간선의 개수 입력 : " ; cin > > E; for ( int i = 0 ; i < E; i + + ) { int from, to, cost; cout < < "그래프 입력 [정점 정점 가중치]: " ; cin > > from > > to > > cost; adj[from]. push_back ( make_pair (to, cost)); // 양방향 그래프 adj[to]. push_back ( make_pair (from, cost)); } printf ( ”

===다익스트라 결과===

” ); vector < int > dist = dijkstra( 0 , V, adj); for ( int i = 0 ; i < V; i + + ) { printf ( "0번 정점에서 %d번 정점까지 최단거리 : %d " , i, dist[i]); } return 0 ; } Colored by Color Scripter cs 실행결과

[ 다익스트라 알고리즘 ] 개념과 구현방법 (C++)

[ 우선순위 큐를 이용한 다익스트라 소스코드 ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 void Dijkstra_Using_Heap() { priority_queue < pair < int , int > > PQ; PQ.push( make_pair ( 0 , Start)); Dist[Start] = 0 ; while (PQ.empty() = = 0 ) { int Cost = – PQ.top().first; int Cur = PQ.top().second; PQ. pop (); for ( int i = 0 ; i < Vertex[Cur]. size (); i + + ) { int Next = Vertex[Cur][i].first; int nCost = Vertex[Cur][i].second; if (Dist[Next] > Cost + nCost) { Dist[Next] = Cost + nCost; PQ.push( make_pair ( – Dist[Next], Next)); } } } for ( int i = 1 ; i < = V; i + + ) { if (Dist[i] = = INF) cout < < "INF" < < endl ; else cout < < Dist[i] < < endl ; } } Colored by Color Scripter cs 코드는 위와 같다.

2. 방문한 정점들과 연결되어 있는 정점들 중, 비용이 가장 적게 드는 정점을 선택하고, 해당 정점을 방문한 정점으로 선택해준다. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 int Find_Shortest_Node() { int Min_Dist, Min_Idx; Min_Dist = INF; Min_Idx = – 1 ; for ( int i = 1 ; i < = V; i + + ) { if (Select[i] = = true ) continue ; if (Dist[i] < Min_Dist) { Min_Dist = Dist[i]; Min_Idx = i; } } return Min_Idx; } Colored by Color Scripter cs 2번 과정을 나타낸 코드이다. 방문한 정점들과 연결되어 있는 정점들 중, 비용이 가장 적게 드는 정점을 선택하는 과정인데, line10) 에서 Dist[i] < Min_Dist로 비교할 수 있는 것은, 어차피 방문한 정점들과 직접적으로 연결되어 있지 않다면

4 thg 3, 2020 — 그래프 알고리즘에서 ‘최소 비용’을 구해야 하는 경우 사용할 수 있는 대표적인 알고리즘으로는. ‘다익스트라 알고리즘’ , ‘벨만-포드 알고리즘’ …

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  • Description Website: 4 thg 3, 2020 — 그래프 알고리즘에서 ‘최소 비용’을 구해야 하는 경우 사용할 수 있는 대표적인 알고리즘으로는. ‘다익스트라 알고리즘’ , ‘벨만-포드 알고리즘’ …

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(이코테 2021 강의 몰아보기) 7. 최단 경로 알고리즘

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[ 다익스트라 알고리즘 ] 개념과 구현방법 (C++)

그래프 알고리즘에서 ‘최소 비용’을 구해야 하는 경우 사용할 수 있는 대표적인 알고리즘으로는

‘다익스트라 알고리즘’ , ‘벨만-포드 알고리즘’ , ‘ 플로이드 워샬 알고리즘’ 이 있다.

이번 글에서는 ‘다익스트라 알고리즘’에 대해서 알아보자.

1. 다익스트라 알고리즘 ??

다익스트라 알고리즘은 위에서도 말했듯이, 그래프에서 ‘최소 비용’을 구해야 하는 경우 유용하게 사용되는 알고리즘이다.

최소 비용 중에서도, 주어진 두 노드(시작노드 , 도착노드) 사이의 최소 비용인 경로를 찾을 때 유용하게 사용된다.

2. 다익스트라 알고리즘의 동작 원리

지금부터 ‘비용’ 이라는 말을 많이 사용하게 될 텐데, 이 값은 1차원 배열 Dist[] 라는 배열에 저장되어 있다고 생각하자.

초기 Dist배열의 모든 값은 무한대(INF)로 초기화 되어 있다.

다익스트라 알고리즘의 동작 원리를 순서대로 적어보자면 다음과 같이 작동한다.

1. 시작 노드와 직접적으로 연결된 모든 정점들의 거리를 비교해서 업데이트 시켜주고, 시작 노드를 방문한 노드로

체크한다.

2. 방문한 정점들과 연결되어 있는 정점들 중, 비용이 가장 적게 드는 정점을 선택하고, 해당 정점을 방문한 정점으로

선택해준다.

3. 2번 과정에 의해서 갱신될 수 있는 정점들의 거리를 갱신시켜준다.

4. 2 ~ 3번 과정을 반복한다.

위의 과정을 그림으로 한번 알아보자.

위의 그림을 토대로 한번 알아보자. 시작 노드가 ‘1’번이라고 가정하겠다.

현재 Dist배열 (해당 정점까지의 최소비용을 저장하는 배열) 은 모두 무한대(INF)로 초기화 되어 있는 상태이다.

1. 시작 노드와 직접적으로 연결된 모든 정점들의 거리를 비교해서 업데이트 시켜주고, 시작 노드를 방문한 노드로

체크한다.

– 시작 노드로 부터 직접 연결된 모든 정점들의 거리를 비교해서 업데이트 시켜주면 다음과 같이 될 것이다.

2번 정점은 길이가 ‘4’인 간선과 연결되어 있으므로 Dist[2] = 4.

3번 정점은 길이가 ‘2’인 간선과 연결되어 있으므로 Dist[3] = 2.

1번 정점은 자기 자신이므로 Dist[1] = 0.

이 후, 시작노드를 방문한 노드로 체크해주자. 여기서 방문한 노드로 체크를 한다는 것은, 다시는 이 정점의 최소비용은

건들지 않겠다는 의미이다. 다른 경로로 갔을 때 작은 비용이 나오게 되면?? 이라는 의문점이 생길 수 있는데, 이 부분에

대해서는 밑에서 알아보자.

그럼 위의 상태를 그림으로 나타내면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 초록색으로 동그라미를 칠한 것은 “이미 방문한 노드이니, 더 이상 건들지 않겠습니다” 를 의미한다.

또한, 1, 2, 3번 정점의 Dist값이 바뀌었다는 것을 확인할 수 있다.

2. 방문한 정점들과 연결되어 있는 정점들 중, 비용이 가장 적게 드는 정점을 선택하고, 해당 정점을 방문한 정점으로

선택해준다.

– 방문한 정점들과 연결되어 있는 정점은 { 2, 3 } 2개의 정점이 있다.

현재 방문한 정점은 { 1 } 1개 뿐이고, 이 정점과 연결되어 있는 정점 중 가장 비용이 적게 드는 정점은 비용이 ‘2’가 드는

‘3’번 정점일 것이다.

해당 간선이 연결해주는 새로운 정점을 방문한 정점으로 체크해주자.

그렇게 되면 다음과 같이 된다.

3. 2번 과정에 의해서 갱신될 수 있는 정점들의 거리를 갱신시켜준다.

– 2번 과정에 의해서 ‘3’번 정점이 새로운 방문한 정점이 되었고, 이로 인해서 Dist배열의 값, 즉, 최소비용의 값이 업데이트 되

는 정점들이 존재하므로 업데이트를 해주자.

위의 그림에서는 ‘3’번 정점에 의해서 ‘5’번 정점의 Dist 값이 무한대 에서 6이 될 것이다.

왜냐하면 ! 1번 정점에서 5번정점까지의 거리는 무한대였지만, 즉, 직접적으로 연결되어 있지 않아서 갈 수 없다고 생각하고

있었지만, 3번 정점에 의해서 연결이 되었고, 결국 1 → 3 → 5 로 갈 수 있기 때문에 가는데 걸리는 비용은

1 → 3 으로 갈 때 드는 비용 ‘2’ + 3 → 5로 갈 때 드는 비용 ‘4’ = 6 이 된다.

4번 과정은 2 ~ 3번의 과정을 반복하는 것이다.

그럼 다시 2번 과정을 진행해보자.

2. 방문한 정점들과 연결되어 있는 정점들 중, 비용이 가장 적게 드는 정점을 선택하고, 해당 정점을 방문한 정점으로

선택해준다.

– 방문한 정점들과 연결되어 있는 간선들 중에서 가장 짧은 간선은 1번과 2번을 잇는 길이가 ‘4’인 간선일 것이다.

왜냐하면, 현재 상황을 보면 Dist[2] = 4, Dist[5] = 6, Dist[4] = INF, Dist[6] = INF 이고, 이 중에서 현재 방문한 정점들과

연결되어 있는 정점은 { 2, 5 } 2개의 정점이 있고, 그 중 더 적은 비용이 드는 정점은 ‘2’번 정점이기 때문이다.

그럼 ‘2’번 정점을 방문한 정점으로 표시해주자.

그리고, 이 2번에 의해서 비용이 새롭게 갱신될 수 있는 정점들을 업데이트 해주자.

위의 상황에서는 ‘4’번 정점이 ‘8’로 갱신될 것이다.

왜냐하면 1 → 2 → 4 = 1 → 2 (4) + 2 → 4 (4) = 8 < INF 이므로, 8로 갱신될 것이다. 하지만 '5'번 정점은 갱신되지 않을 것이다. 현재 '5'번 정점까지 가는데 드는 최소 비용은 6이다.(Dist = 6) 그런데, 1 → 2 → 5 로 오게 될 경우, 1 → 2 (4) + 2 → 5 (5) = 9 이므로 9 > 5 이므로 갱신되지 않는다.

따라서 업데이트 되는 값을 적어보면 다음과 같다.

3번 과정을 따로 표시하지 않고 위에서 진행해버렸다…

다시 2번과정이다. 방문한 정점들과 연결되어 있는 정점들 중에서, 가장 적은 비용이 드는 정점을 찾아보자.

이번에는 ‘5’번 정점이 선택될 것이다. 왜냐하면 Dist[5] = 6, Dist[4] = 8, Dist[6] INF 이므로 5번 정점이 가장

비용이 적게 든다.

따라서, 5번 정점을 선택했다고 표시하고, 5번 정점 선택에 의해서 갱신되는 ‘6’번정점의 비용까지 표시해보면

다음과 같아진다.

그럼 이제 다시 방문한 정점들 중에서 가장 적게 비용이 드는 정점을 찾아보자. 그런데 보니, Dist[4]와 Dist[6]의 값이

8로 동일하다. 이럴때는 어떤 값을 선택해도 상관이 없다. ‘4’를 선택했다고 가정해보자.

4번을 선택하더라도, 4번 정점에 의해서 6번 정점이 업데이트 되지는 않는다. 왜냐하면

현재 Dist[6] = 8 인데, 1 → 2 → 4 → 6 으로 올 경우 9의 비용이 들기 때문에 기존의 값보다 더 큰 비용이 들기 때문에

갱신해 주지 않는다.

마지막으로 6번 정점까지 선택해 버리면 최소비용을 구하는 과정을 모두 마치게 된다.

그럼 지금부터는 위에서 빨간색으로 표시해 놨었던 “다른 경로로 갔을 때, 더 작은 비용이 나오지 않을까?” 에 대해서

이야기해보자.

3. 다익스트라 알고리즘의 한계

– 우리는 위에서 왜인지도 모른채, “현재 선택된 정점들과 연결된 정점들 중, 가장 적게 비용이 드는 정점을 무조건적으로

방문했다고 체크” 후, 연결된 다른 정점들의 값을 업데이트 시켜주었다.

그런데, 과연 지금 눈앞에 드는 비용이 가장 적다는 이유만으로, 해당 정점을 다시는 안쳐다봐도 될까 ??

분명, 위에서 초록색으로 표시된 ‘이미 방문한 정점’ 에 대해서는 “더 이상 쳐다보지 않겠습니다.” 라고 단정짓고

진행하였다.

그런데 보면.. 위의 과정을 해봐서 알겠지만 우리는 모든 정점을 방문할 때 까지, 기존에 초록색으로 표시한 정점의

값을 다시 갱신시킨다거나 건드리는 일이 없었다.

왜 이게 가능할까 ??

간단하게 정점 3개만 가지고 한번 생각을 해보자.

위의 상황을 통해서 다시한번 정리해보자. 우리가 지금까지 이야기한 걸로는 A에서 B를 선택하는게 맞다.

그 이후, B는 방문한 정점이라 표시해버린 이후에 다시는 쳐다도 보지 않았다. 그런데, B로 가는데 드는 최소비용이

단지, A 에서 연결된 정점들 중 비용이 가장 적다는 이유만으로 최소비용이 ‘5’ 라고 단정지을 수 있냐 라는 것이다.

그럼 “단정지을 수 없다.” 라고 가정을 하고 위의 X값을 한번 구해보자.

5 라고 단정지을 수 없다라는 말은, A → C → B가 5보다 더 작은 값이 나와야 한다는 말이다.

그럼 X값은 ?? 10 + X < 5 이기 때문에, X < - 5. 즉, X가 -5보다 작다면 위의 상황에서 B로 가는데 최소 비용이 '5' 라고 단정지을 수 없게 된다. 이게 다익스트라 알고리즘의 한계(?) 이다. 바로, 그래프에서 정점을 잇는 간선의 가중치에 '음수'가 들어가버리면, 다익스트라 알고리즘은 적용할 수가 없게 된다. 즉, 다익스트라 알고리즘은 '모든 가중치가 양수일 경우' 에만 적용시킬 수 있는 최소비용을 구하는 알고리즘이다. 그럼 다시 위의 상황을 봐보자. A → B가 5이다. 마찬가지로, B로 가는데 드는 최소비용이 5라고 단정지을 수 없다 라고 가정을 해보자. 이 때 X값을 구해보자. 단, (X > 0) 이다.

위의 조건을 만족하는 X값을 찾는게 가능할까 ?? 위의 조건을 만족하는 X값은 없다.

이러한 이유 때문에, 위에서 설명할 때에도 “현재 선택된 정점들과 연결된 정점들 중, 가장 적게 비용이 드는 정점을 방문했

다고 체크”하고 이미 방문한 정점에 대해서는 값을 업데이트 하거나 하지 않았던 것이다.

위의 과정을 다시 한번 살펴보면, 값을 업데이트 할 필요가 있었는데 억지로 피하거나 한 것은 아니다. 다익스트라 알고리즘

그대로 진행하다보니 방문한 정점의 값을 업데이트를 하지는 않았다.

즉, 다익스트라 알고리즘은 모든 가중치가 양수일 때만 적용할 수 있는 최소비용을 찾는 알고리즘이다 !

4. 다익스트라 알고리즘 구현

그럼 ! 이제 가장 중요한 실제로 코딩으로 구현해보는 방법에 대해서 알아보자.

이번 글에서는 2가지 방법에 대해서 알아볼 것이다.

첫 번째 방법은 위의 과정을 그대로 코드로 옮겨 놓은 것이다.

1. 시작 노드와 직접적으로 연결된 모든 정점들의 거리를 비교해서 업데이트 시켜주고, 시작 노드를 방문한 노드로

체크한다. 2. 방문한 정점들과 연결되어 있는 정점들 중, 비용이 가장 적게 드는 정점을 선택하고, 해당 정점을 방문한 정점으로 선택해준다. 3. 2번 과정에 의해서 갱신될 수 있는 정점들의 거리를 갱신시켜준다. 4. 2 ~ 3번 과정을 반복한다. 위에서 말한 과정을 그대로 가져온 것이다. 1번 과정부터 알아보자. 1. 시작 노드와 직접적으로 연결된 모든 정점들의 거리를 비교해서 업데이트 시켜주고, 시작 노드를 방문한 노드로

체크한다. 1 2 3 for ( int i = 1 ; i < = V; i + + ) Dist[i] = MAP[Start][i]; Dist[Start] = 0 ; Select[Start] = true ; Colored by Color Scripter c 여기서 Dist배열은 위에서 말한 '각 정점까지 가는데 드는 최소비용'을 저장해놓은 배열이고, Select배열은 '선택한 정점'을 표시하기 위해서 사용한 배열이다. Dist배열의 초기값은 모두 INF(무한대) 이고, Select배열의 초기값은 모두 false(선택하지 않음 or 방문하지 않음) 이다. 1번 과정에서 "시작노드와 직접적으로 연결된 모든 정점들의 거리를 업데이트" 하는 과정이 line1 에 있는 for문이다. 초기 Dist배열은 모두 무한대이기 때문에, 위와 같이 업데이트 해 주었다. 그리고 line2, 3 에서는 "시작노드를 방문한 노드로 체크" 하고, 시작노드와 자기자신의 거리는 0으로 갱신시켜 주었다. 2. 방문한 정점들과 연결되어 있는 정점들 중, 비용이 가장 적게 드는 정점을 선택하고, 해당 정점을 방문한 정점으로 선택해준다. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 int Find_Shortest_Node() { int Min_Dist, Min_Idx; Min_Dist = INF; Min_Idx = - 1 ; for ( int i = 1 ; i < = V; i + + ) { if (Select[i] = = true ) continue ; if (Dist[i] < Min_Dist) { Min_Dist = Dist[i]; Min_Idx = i; } } return Min_Idx; } Colored by Color Scripter cs 2번 과정을 나타낸 코드이다. 방문한 정점들과 연결되어 있는 정점들 중, 비용이 가장 적게 드는 정점을 선택하는 과정인데, line10) 에서 Dist[i] < Min_Dist로 비교할 수 있는 것은, 어차피 방문한 정점들과 직접적으로 연결되어 있지 않다면 Dist[i] = 무한대 일 것이기 때문에, 저 조건문을 만족해서 line 11 ~ 14를 진행한다는 것은 "방문한 정점들과 연결되어 있다" 라는 것을 의미한다. 그 중에서 가장 비용이 적게드는 정점을 선택해서 return 해주는 함수이다. 위의 코드에서는 "해당 정점을 방문한 정점으로 선택해준다" 를 구현한 부분이 없는데, 이 부분은 마지막 전체 코드에서 확인해보자. 3. 2번 과정에 의해서 갱신될 수 있는 정점들의 거리를 갱신시켜준다. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 void Update_Dist( int NewNode) { for ( int i = 1 ; i < = V; i + + ) { if (Select[i] = = true ) continue ; if (Dist[i] > Dist[NewNode] + MAP[NewNode][i]) { Dist[i] = Dist[NewNode] + MAP[NewNode][i]; } } } Colored by Color Scripter cs 이 함수에서 매개변수 ‘NewNode’는 2번 과정에서 return된 ‘Min_Idx’ 이다. 즉 ! 비용이 가장 적게 드는 정점을 선택해서, 해당 정점을 선택했다고 표시하는 것 까지 2번과정에서 진행했고, 해당 정점에 의해서 드는 비용이 업데이트 될 수 있는 정점들의 Dist값을 모두 갱신해 주는 것이다.

4. 2 ~ 3번 과정을 반복한다. 2 ~3 번의 과정을 반복해야 하는데, 과연 몇번을 반복할까 ??

다시 이 경우를 확인해보자. 우리는 처음에 Start 노드를 ‘1’번 노드로 선택하고 다익스트라 알고리즘을 시작하였다. 그럼 2 ~ 3번의 과정, 즉, 비용이 가장 적게드는 새로운 정점을 찾고, 값을 업데이트를 하는 과정을 몇 번 진행했을까 ? 1. 1번 정점에서 3번 정점을 선택하고, 3번정점에 의해서 값을 업데이트. = 1번 2. 2번 정점을 선택하고, 2번 정점에 의해서 값을 업데이트. = 2번 3. 5번 정점을 선택하고, 5번 정점에 의해서 값을 업데이트. = 3번 4. 4번 정점을 선택하고, 4번 정점에 의해서 값을 업데이트. = 4번 5. 6번 정점을 선택하고, 종료. = 5번 우리는 총 5번을 진행하였다. 즉 ! N – 1번(N = 정점의 수) 위의 과정을 반복하게 된다. 따라서 전체 코드를 보면 다음과 같다. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 int Find_Shortest_Node() { int Min_Dist, Min_Idx; Min_Dist = INF; Min_Idx = – 1 ; for ( int i = 1 ; i < = V; i + + ) { if (Select[i] = = true ) continue ; if (Dist[i] < Min_Dist) { Min_Dist = Dist[i]; Min_Idx = i; } } return Min_Idx; } void Update_Dist( int NewNode) { for ( int i = 1 ; i < = V; i + + ) { if (Select[i] = = true ) continue ; if (Dist[i] > Dist[NewNode] + MAP[NewNode][i]) { Dist[i] = Dist[NewNode] + MAP[NewNode][i]; } } } void Dijkstra() { for ( int i = 1 ; i < = V; i + + ) Dist[i] = MAP[Start][i]; Dist[Start] = 0 ; Select[Start] = true ; for ( int i = 0 ; i < V - 1 ; i + + ) { int NewNode = Find_Shortest_Node(); Select[NewNode] = true ; Update_Dist(NewNode); } } Colored by Color Scripter cs line 37)을 보게되면 i = 0 ~ V - 1 까지( 코드에서 V = 정점의 수) 즉, N - 1번만 반복한다는 것을 알 수 있다. 그리고 위에서 2번과정에서 빼먹은 "해당정점을 방문했다고 표시" 하는 과정은 line 41)에 있다. 하지만 이렇게 구현할 경우, 전체 (N - 1)번 탐색 x ( 최소비용이 드는 정점 찾기(N번 순차탐색) ) 만큼 걸리게 된다. 즉, O(N^2) 만큼의 시간복잡도를 갖게 되는데, 그리 빠른 편은 아닌 것 같다. 그래서 다익스트라 알고리즘을 자료구조 힙을 이용하는 우선순위큐를 사용하면 조금 더 시간을 줄일 수 있다. 두 번째 방법은 위에서 말한 우선순위 큐를 이용하는 방법이다. 우선순위 큐를 이용해서 구현하였을 때, 동작방식은 인접한 간선들을 모두 Queue에 집어 넣은 후, 최소힙을 구하는 연산을 통해서 최소비용이 드는 정점들부터 처리하는 방식이다. 이렇게 처리했을 경우, 시간복잡도는 O(E * logN) (E = 간선의 수, N = 정점의 수) 이다. ( 나무위키 참고 내용 ) 모든 정점들에 대해서 최소힙으로 추출하는데 걸리는 시간복잡도가 O(logN)이 되고, 각 노드마다 인접한 모든 간선들을 확인해 봐야 하므로, 결국 모든 간선들을 확인하는 것과 같으므로 O(E) 만큼 걸리게 되어서 결과적으로는 O(E * logN) 이 걸리게 된다. 무튼 이렇게 우선순위큐를 이용하게 되면 시간을 조금 더 빠르게 해서 구현할 수 있다. [ 우선순위 큐를 이용한 다익스트라 소스코드 ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 void Dijkstra_Using_Heap() { priority_queue < pair < int , int > > PQ; PQ.push( make_pair ( 0 , Start)); Dist[Start] = 0 ; while (PQ.empty() = = 0 ) { int Cost = – PQ.top().first; int Cur = PQ.top().second; PQ. pop (); for ( int i = 0 ; i < Vertex[Cur]. size (); i + + ) { int Next = Vertex[Cur][i].first; int nCost = Vertex[Cur][i].second; if (Dist[Next] > Cost + nCost) { Dist[Next] = Cost + nCost; PQ.push( make_pair ( – Dist[Next], Next)); } } } for ( int i = 1 ; i < = V; i + + ) { if (Dist[i] = = INF) cout < < "INF" < < endl ; else cout < < Dist[i] < < endl ; } } Colored by Color Scripter cs 코드는 위와 같다. line 9번과 line 21번에 보면, Queue에 값을 넣고 빼는 연산을 할 때, 간선의 길이에 '-'를 붙여서 연산을 해주는데, 이는 최소힙으로 구현하기 위해서이다. line 3번과 같이 일반적으로 Priority_Queue를 선언해서 사용할 경우 '값이 클 수록 더 높은 우선순위'를 갖게된다. 즉 { 2, 3, 5 } 를 넣게 되면, 우리는 더 최소비용인 '2'를 우선적으로 뽑아서 사용하고 싶지만, 저렇게만 선언해 놓을 경우 '5'를 가장 우선적으로 뽑아서 사용하게 된다. 따라서 '-'를 붙임으로써 값의 크기를 반전시켜 주는 효과이다. 물론, priority_queue를 아래와 같이 선언해서 사용하면 '-'를 붙이기 않고도 최소힙을 구현할 수 있다. 1 priority_queue < int , vector < int > , greater < int > > PQ; cs 위와 같이 선언하게 되면, 값이 작을수록 우선순위를 갖는 최소힙으로 사용이 가능하다.

[Python] 최단경로를 위한 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘

이제 헷갈릴 수 있으니 주의를 기울여 잘 이해해보자. 먼저 탐색할 4번 노드는 3번, 5번과 간선으로 연결되어 있다. 먼저 3번에 대해 표를 갱신하는 부분을 살펴보자. $min(5, 1+3)$ 이라고 되어 있다. 여기서 5는 2번째 단계에서 갱신했던 시작노드 1번에서 3번 노드로 다이렉트로 한 번에 갈 수 있는 거리였다. 그리고 1+3 이라고 되어 있는 부분은 시작노드 1번에서 4번 노드로 가는 거리비용 1 과 4번 노드에서 3번 노드로 가는 거리비용 3을 의미한다. 이 중 거리비용을 최소화하는 경로는 시작노드인 1번에서 3번으로 다이렉트로 가는 것보다 4번 노드를 거쳐 3번 노드로 가는 즉, 1 -> 4 -> 3 으로 가는 경로가 최단 경로가 된다. 이런 방식으로 동일하게 4번노드의 인접노드인 5번 노드도 갱신해준다.(참고로 5번 노드는 2번째 단계에서 시작노드인 1번과 연결되어 있지 않아서 무한대값이였기 때문에 당연히 4번노드를 통해 가는 것이 최단 경로이다)

위 단계에도 써있다시피 구현하기 위해 먼저 2가지의 빈 1차원 리스트를 정의해주어야 한다. 첫 번째는 최단 거리를 기록할 테이블이다. 이 리스트는 인덱스를 노드 번호로 하기 위해 N개의 노드가 있다고 가정할 때 N+1 길이로 하면서 원소값은 매우 큰 수를 넣어준다. 책에서는 10억(1e9)라는 숫자를 정의하지만 대부분의 문제에서는 주어지는 간선 정보를 1억(1e8) 미만의 값으로 정의해주기 때문에 1억의 값으로 넣어주어도 무방할 듯하다. 두 번째는 방문한 노드가 무엇인지 체크하기 위한 리스트이다. 이것도 마찬가지로 인덱스를 노드 번호로 하기 위해 N개의 노드가 있다고 할 때 N+1 길이로 하는 리스트를 정의해준다. 원소값은 문제에 따라 다르게 줄테지만 기본적으로는 False(방문하지 않음) 값으로 초기화시켜준다.

결국 다익스트라 알고리즘은 방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드를 선택하는 과정을 반복하는 게 핵심이다. 그런데 여기서 자세히 살펴보면, 각 단계마다 탐색노드로 한 번 선택된 노드는 최단거리가 갱신되고 난 후 재갱신되지 않는 것을 확인할 수 있다. 해당 포스팅에서는 다익스트라 알고리즘이 완전 다 종료된 후의 갱신된 거리 테이블을 첨부하지는 않았지만 책 속 자료나 기타 자료를 살펴보면 한 번 갱신된 최단 거리는 이후 단계를 거치더라도 더 작은 거리 값으로 갱신되지 않는 것을 볼 수 있다. 또 마지막 노드에 대해서는 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 경우를 확인할 필요가 없다.

22 thg 9, 2021 — 이번 포스팅에서는 최단 경로를 찾는 데 자주 사용되는 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘 개념에 대해 알아보고 Python으로 구현하는 방법에 대해 알아 …

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[영재교육] 네비게이션 길찾기, 최단경로 탐색 원리인 다익스트라 알고리즘을 아세요? /수학 주제탐구

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[Python] 최단경로를 위한 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘

🔊 이번 포스팅에는 최근에 Python으로 알고리즘을 공부하기 시작하면서 알게 된 여러 알고리즘의 원리와 Python으로 구현하는 방법에 대해 소개해보려 한다. 필자는 최근 알고리즘 공부를 ‘나동빈’님의’ ‘이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬’이라는 책과 백준 온라인 저지 사이트로 하고 있다. 이 중 ‘나동빈’님이 저자이신 책에서 가르쳐주는 내용을 기반으로 배운 내용을 정리해보려 한다.

이번 포스팅에서는 최단 경로를 찾는 데 자주 사용되는 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘 개념에 대해 알아보고 Python으로 구현하는 방법에 대해 알아보려고 한다.

최단경로는 어떻게 찾을까?

다익스트라 알고리즘은 최단 경로 알고리즘 종류 중 하나이다. 말 그대로 특정 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구한다거나 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 구하는 문제이다. 보통 최단 경로 문제는 그래프를 이용해 표현하는데, 각 지점은 그래프에서 노드(vertex)로 표현되고 경로(거리)는 간선(edge)로 표현된다. 실제 코딩 테스트에서는 최단 경로를 모두 출력하는 문제보다는 단순히 최단 거리를 출력하도록 요구하는 문제가 많이 출제된다고 한다.

책에서 소개하는 최단 경로 알고리즘 종류는 다익스트라 최단경로 알고리즘, 플로이드 워셜 알고리즘이다. 이 중 다익스트라 알고리즘은 간단하게 구현하되 시간이 오래 걸리는 방법과 구현하기는 까다롭지만 시간이 빠르게 동작하는 방법 2가지를 소개한다. 이번 포스팅에서는 그 중에 동작의 원리를 이해하기 위한 목적과 동시에 기초적인 방법으로서 간단하게 구현하되 시간이 상대적으로 오래 걸리는 방법에 대해 알아본다.

1. 다익스트라 최단 경로 알고리즘

다익스트라 알고리즘은 알고보면 그리디 알고리즘과 다이나믹 프로그래밍 알고리즘이 자연스레 녹아들어 있다. 다익스트라 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 존재할 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다. 보통 음의 간선이 존재하지 않는 즉, 간선(edge)의 값이 0 이상의 양수일 때 정상적으로 동작한다. 그래서 실제로 다익스트라 알고리즘은 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘으로 채택되고 있다고 한다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 매번 가장 거리가 짧은 노드를 선택해서 임의의 횟수의 과정을 계속적으로 반복하게 된다. 알고리즘의 동작 원리를 단계화시키면 다음과 같다.

출발 노드를 설정 최단 거리 테이블을 초기화(그러므로 최단 거리를 기록할 테이블을 정의해야 함) 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택(방문하지 않은 노드를 체크해야 하므로 이를 위한 테이블을 정의해야 함) 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 간선 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 업데이트 위 과정에서 3, 4번을 반복

위 단계에도 써있다시피 구현하기 위해 먼저 2가지의 빈 1차원 리스트를 정의해주어야 한다. 첫 번째는 최단 거리를 기록할 테이블이다. 이 리스트는 인덱스를 노드 번호로 하기 위해 N개의 노드가 있다고 가정할 때 N+1 길이로 하면서 원소값은 매우 큰 수를 넣어준다. 책에서는 10억(1e9)라는 숫자를 정의하지만 대부분의 문제에서는 주어지는 간선 정보를 1억(1e8) 미만의 값으로 정의해주기 때문에 1억의 값으로 넣어주어도 무방할 듯하다. 두 번째는 방문한 노드가 무엇인지 체크하기 위한 리스트이다. 이것도 마찬가지로 인덱스를 노드 번호로 하기 위해 N개의 노드가 있다고 할 때 N+1 길이로 하는 리스트를 정의해준다. 원소값은 문제에 따라 다르게 줄테지만 기본적으로는 False(방문하지 않음) 값으로 초기화시켜준다.

이제 구체적으로 다익스트라 알고리즘이 어떻게 동작하는지 살펴보자. 설명 자료는 참고한 책의 저자 나동빈님의 자료를 차용하였다.

1. 1번째 초기 단계

첫 번째 단계

시작노드가 빨간색인 1번 노드라고 가정하자. 그리고 아래에 표는 시작노드가 1번이라고 가정하고 1번 노드로부터 각 노드들 간의 거리를 표로 나타내었다. 그래서 최초에는 시작노드인 1번 노드에서 1번 노드로의 거리는 0이기 때문에 0으로 업데이트 해주고 나머지 값은 무한(매우 큰 수)로 초기화시켜준다.

2. 2번째 단계

이제 시작노드인 1번 노드로부터 도달할 수 있는 인접 노드들의 거리를 표에 갱신시켜준다. 아래와 같이 말이다.

두 번째 단계

3. 3번째 단계

이제 시작노드인 1번 노드를 방문처리 하고 1번 노드의 인접노드들 중 방문하지 않은 노드들(아직까진 1번 노드밖에 방문하지 않았으므로 2,3,4번 노드 모두 후보가 된다) 중 시작 노드인 1번 노드와 가장 최단거리인 4번 노드를 다음에 탐색할 노드로 선택한다. 참고로 하단의 자료에서 회색은 방문한 노드, 점선으로 된 간선은 이미 처리한 간선을 의미한다.

3번째 단계

이제 헷갈릴 수 있으니 주의를 기울여 잘 이해해보자. 먼저 탐색할 4번 노드는 3번, 5번과 간선으로 연결되어 있다. 먼저 3번에 대해 표를 갱신하는 부분을 살펴보자. $min(5, 1+3)$ 이라고 되어 있다. 여기서 5는 2번째 단계에서 갱신했던 시작노드 1번에서 3번 노드로 다이렉트로 한 번에 갈 수 있는 거리였다. 그리고 1+3 이라고 되어 있는 부분은 시작노드 1번에서 4번 노드로 가는 거리비용 1 과 4번 노드에서 3번 노드로 가는 거리비용 3을 의미한다. 이 중 거리비용을 최소화하는 경로는 시작노드인 1번에서 3번으로 다이렉트로 가는 것보다 4번 노드를 거쳐 3번 노드로 가는 즉, 1 -> 4 -> 3 으로 가는 경로가 최단 경로가 된다. 이런 방식으로 동일하게 4번노드의 인접노드인 5번 노드도 갱신해준다.(참고로 5번 노드는 2번째 단계에서 시작노드인 1번과 연결되어 있지 않아서 무한대값이였기 때문에 당연히 4번노드를 통해 가는 것이 최단 경로이다)

자, 이제 다익스트라 알고리즘을 거의 다 이해한 것이나 마찬가지이다. 다음에 탐색할 노드를 선정해보자. 가장 마지막으로 갱신된 거리 테이블 기준으로 방문하지 않은 노드들 중 가장 거리가 작은 즉, 원소값이 가장 작은 인덱스 번호를 다음으로 탐색할 노드로 선정한다. 위 예시에서는 2번 5번이 거리 비용이 2로 동일한데, 이 때는 노드 번호가 작은 순서대로 먼저 탐색하는 걸로 한다.

4. 4번째 단계

4번째 단계

2번 노드도 똑같이 도달할 수 있는 간선으로 연결되어 있는 인접노드인 3,4번 노드에 대한 간선 비용을 위와 같이 갱신시켜준다. 그리고 방문하지 않은 노드 중 갱신한 테이블 기준으로 시작노드와 가장 최단거리인 5번 노드를 탐색한다. 이런식으로 모든 노드를 한 번씩 탐색하여 다익스트라 알고리즘 과정을 최종적으로 완료한다.

결국 다익스트라 알고리즘은 방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드를 선택하는 과정을 반복하는 게 핵심이다. 그런데 여기서 자세히 살펴보면, 각 단계마다 탐색노드로 한 번 선택된 노드는 최단거리가 갱신되고 난 후 재갱신되지 않는 것을 확인할 수 있다. 해당 포스팅에서는 다익스트라 알고리즘이 완전 다 종료된 후의 갱신된 거리 테이블을 첨부하지는 않았지만 책 속 자료나 기타 자료를 살펴보면 한 번 갱신된 최단 거리는 이후 단계를 거치더라도 더 작은 거리 값으로 갱신되지 않는 것을 볼 수 있다. 또 마지막 노드에 대해서는 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 경우를 확인할 필요가 없다.

2. 간단한 다익스트라 알고리즘을 Python으로 구현하기

간단한 다익스트라 알고리즘은 $V$가 노드의 개수라고 가정할 때, 시간 복잡도가 $O(V^2)$이게 된다. 왜냐하면 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 거리 테이블의 길이(=노드의 개수) 만큼 순차탐색을 수행하기 때문이다. 결과적으로 순차탐색이라는 것 때문에 주어지는 데이터가 만약 10,000개를 넘어가는 경우라면 시간 복잡도에서 문제가 발생한다. 그래서 이 포스팅 이후로 개선된 다익스트라 알고리즘에 대해 배울 예정이다.

간단한 다익스트라 알고리즘을 Python으로 구현하는 코드는 다음과 같다. 저자 동빈님은 이 코드 뿐만 아니라 추후에 소개될 개선된 다익스트라 알고리즘을 자다가도 벌떡 일어나서 바로 구현할 수 있어야 할 정도로 반복 숙지를 권장하는 만큼 해당 코드를 1일 1회 쳐보는 걸로 계속 연습해보자.

다익스트라 알고리즘(Dijkstra Algorithm) – JAVA

최단 경로를 구하는 과정에서 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 항상 1차원의 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신하는 특징이 있다. 매번 현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인하고, 나중에 현재 처리하고 있는 노드와 인접한 노드로 도달하는 더 짧은 경로를 찾으면 갱신을 합니다. 쉽게 구현하면 매번 최단 거리 테이블을 선형적으로(모든 원소를 앞에서부터) 탐색을 하는 방법이 있지만, 최단 거리가 가장 짧은 노드를 찾기 위해 우선순위 큐 사용하면 단순 탐색보다 시간 복잡도를 줄일 수 있습니다.

그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 한 정점(=노드)에서 출발하여 다른 모든 정점으로 가는 최단 경로를 구하는 알고리즘입니다. 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 ‘음의 간선’ 즉, 가중치가 0보다 작은 값이 아닌 경우에 때 정상 동작합니다. 현실 세계에서의 길(간선) 음의 간선으로 표현되지 않아 다익스트라 알고리즘은 실제로 인공위성 GPS 소프트웨어 등에서 가장 많이 사용됩니다.

23 thg 3, 2022 — 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 한 정점(=노드)에서 출발하여 다른 모든 정점으로 가는 최단 경로를 구하는 알고리즘입니다. 다익스트라 …

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다익스트라 알고리즘 – (1) 동작 원리 [알고리즘 특강]

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다익스트라 알고리즘(Dijkstra Algorithm)

다익스트라 알고리즘 이란?

그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 한 정점(=노드)에서 출발하여 다른 모든 정점으로 가는 최단 경로를 구하는 알고리즘입니다. 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 ‘음의 간선’ 즉, 가중치가 0보다 작은 값이 아닌 경우에 때 정상 동작합니다. 현실 세계에서의 길(간선) 음의 간선으로 표현되지 않아 다익스트라 알고리즘은 실제로 인공위성 GPS 소프트웨어 등에서 가장 많이 사용됩니다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류됩니다. 왜냐하면 매번 ‘가장 비용이 적은 노드’를 선택해서 임의의 과정을 반복합니다.

동작과정

출발 노드를 설정 최단 거리 테이블 초기화 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리(가중치)가 가장 짧은 노드 선택 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블 갱신 위 과정에서 3, 4번 반복

최단 경로를 구하는 과정에서 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 항상 1차원의 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신하는 특징이 있다. 매번 현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인하고, 나중에 현재 처리하고 있는 노드와 인접한 노드로 도달하는 더 짧은 경로를 찾으면 갱신을 합니다. 쉽게 구현하면 매번 최단 거리 테이블을 선형적으로(모든 원소를 앞에서부터) 탐색을 하는 방법이 있지만, 최단 거리가 가장 짧은 노드를 찾기 위해 우선순위 큐 사용하면 단순 탐색보다 시간 복잡도를 줄일 수 있습니다.

선형 탐색) 시간 복잡도 O(V²) 에서 -> 우선순위 큐) 시간 복잡도 O(ElogV) 로 줄일 수 있다.

https://www.acmicpc.net/problem/1753

백준 1753 최단경로 문제인데 다익스트라를 구현하는 기초 문제입니다. 위에서 배운 내용을 토대로 코드를 구현해보겠습니다.

문제에서 주어진 테스트 케이스의 그래프의 형태입니다. 단계별로 풀어내 보도록 하겠습니다.

1. 먼저 출발 지점의 노드가 1로 주어져 우선순위 큐에 넣습니다. 출발 노드에서 출발 노드로의 거리는 0이니 0으로 초기화가 됐습니다.

노드 번호 1 2 3 4 5 가중치 0 MAXVALUE(=무한) MAXVALUE(=무한) MAXVALUE(=무한) MAXVALUE(=무한) 우선순위 큐 (거리: 0, 노드 1)

2. 우선순위 큐를 사용하기 때문에 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해서는 단순히 큐에서 노드를 꺼내면 됩니다. 해당 노드를 이미 처리한 적이 있으면 무시하고 처리하지 않은 노드에 대해서만 처리하면 됩니다. 1번까지 가는 최단거리가 0이므로, 1번 노드를 거쳐 연결된 2번 3번까지 가는 최소 비용을 계산합니다. => 2(0+2) , 3(0+3)

꺼낸 원소: (거리 0, 노드 1)

노드 번호 1 2 3 4 5 가중치 0 2 3 MAXVALUE(=무한) MAXVALUE(=무한) 우선순위 큐 (거리: 2, 노드 2), (거리: 3, 노드 3)

3. 이어서 다시 우선순위 큐에서 원소를 꺼내서 동일한 과정을 반복합니다.

꺼낸 원소: (거리 2, 노드 2)

노드 번호 1 2 3 4 5 가중치 0 2 3 7 MAXVALUE(=무한) 우선순위 큐 (거리: 3, 노드 3) , (거리: 7, 노드 4)

4. 3번 노드에서 4번 노드로 가는 가중치가 6이라 ( 3+6 > 7) 이 되어 4번으로 가는 최단 경로는 갱신이 되지 않고 넘어가게 됩니다.

꺼낸 원소: (거리 3, 노드 3)

노드 번호 1 2 3 4 5 가중치 0 2 3 7 MAXVALUE(=무한) 우선순위 큐 (거리: 7, 노드 4)

5. 해당 노드에서 5번 노드로 가는 길은 없어 큐가 비게 되어 종료가 됩니다.

꺼낸 원소: (거리 7, 노드 4)

노드 번호 1 2 3 4 5 가중치 0 2 3 7 MAXVALUE(=무한) 우선순위 큐

import java.util.*; import java.io.*; public class Main { static class Node{ int v; //간선 int cost; //가중치 public Node(int v, int cost) { this.v = v; this.cost = cost; } } //각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 static ArrayList[] graph; //방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트 static boolean[] visit; //최단 거리 테이블 static int[] dist; public static void main(String[] args) throws IOException { BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)); StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine()); int v = Integer.parseInt(st.nextToken()); int e = Integer.parseInt(st.nextToken()); int k = Integer.parseInt(br.readLine()); graph = new ArrayList[v + 1]; dist = new int[v + 1]; visit = new boolean[v + 1]; for (int i = 1; i <= v; i++) { graph[i] = new ArrayList<>(); dist[i] = Integer.MAX_VALUE; //최대값으로 초기화, 최단거리를 찾기 위함. } for (int i = 0; i < e; i++) { // u -> v 로 가는 가중치 w가 주어진다. st = new StringTokenizer(br.readLine()); int inputU = Integer.parseInt(st.nextToken()); int inputV = Integer.parseInt(st.nextToken()); int inputW = Integer.parseInt(st.nextToken()); graph[inputU].add(new Node(inputV, inputW)); } //다익스트라 알고리즘 수행 dijkstra(k); for (int i = 1; i <= v; i++) { System.out.println(dist[i] == Integer.MAX_VALUE ? "INF" : dist[i]); } } static void dijkstra(int start) { //우선 순위 큐 사용, 가중치를 기준으로 오름차순한다. PriorityQueue q = new PriorityQueue<>((o1, o2) -> o1.cost – o2.cost); //시작 노드에 대해서 초기화 q.add(new Node(start, 0)); dist[start] = 0; while (!q.isEmpty()) { //현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서 방문 처리 한다. Node now = q.poll(); if (!visit[now.v]) { visit[now.v] = true; } for (Node next : graph[now.v]) { //방문하지 않았고, 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧을 경우 if (!visit[next.v] && dist[next.v] > now.cost + next.cost) { dist[next.v] = now.cost + next.cost; q.add(new Node(next.v, dist[next.v])); } } } } }

[참고]

나동빈 – 이코테

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