베스트 567 드 모르간 의 법칙 새로운 업데이트 20 분 전

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1. 개요[편집] 논리학과 수학의 법칙 중 하나이다. 논리 연산에서 논리합은 논리곱과 부정기호로, 논리곱은 논리합과 부정기호로 표현할 수 있음을 가리키는 법칙이다.

드모르간 법칙 – 나무위키:대문

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드 모르간의 법칙 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전

위의 술어 논리에서 드 모르간의 법칙의 내용으로 「모든 x에 대한A(x)」를 「A(1)와 A(2)와…A(100)」로 정의하고 논의를 시작하였지만, 이러한 것은 변수 x가 유한할 경우에만 가능하다. x가 나타내는 것이 무한할 경우 위처럼 드 모르간의 법칙으로 기술할 수 없다. 보통 술어 논리 체계에서는 무한한 경우에 대한 드 모르간의 법칙에 해당되는 공리로 인정되지만, 기호 논리학자 중 일부는 이것을 인정하지 않을 경우에 대한 논리학 연구를 하기도 한다.

( A ∩ B ) ¯ = A ¯ ∪ B ¯ {\displaystyle {\overline {(A\cap B)}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}} ( A ∪ B ) ¯ = A ¯ ∩ B ¯ {\displaystyle {\overline {(A\cup B)}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}}

이것의 부분 부정 「모든 책을 좋아하는 것은 아니다」는 「모든 x에 대하여 A(x)」의 부정이며, 드 모르간의 법칙에 따라 「어떤 x에 대하여 ￢A(x)」, 즉 「좋아하지 않는 책도 있다」라고 하면 된다. 반면에 전 부정 「모든 책을 싫어한다」는 「모든 x에 대하여 ￢A(x)」를 가리키는 드 모르간의 법칙에 따르면 「어떤 책을 좋아한다」의 부정이 된다.

드 모르간의 법칙(영어: De Morgan’s laws) 또는 드 모르간의 정리는 수리 논리학이나 집합론, 컴퓨터 과학 등에서 논리곱(집합의 공통 부분), 논리합(집합의 모든 …

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15강 드모르간의 법칙

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드 모르간의 법칙

드 모르간의 법칙(영어: De Morgan’s laws) 또는 드 모르간의 정리[1]는 수리 논리학이나 집합론, 컴퓨터 과학 등에서 논리곱(집합의 공통 부분), 논리합(집합의 모든 부분), 부정(여집합) 연산간의 관계(드 모르간의 상대성이라고 부름)를 기술하여 정리한 것으로, 수학자 오거스터스 드 모르간의 이름을 따서 드 모르간의 법칙이라고 한다.

전기, 전자 공학적으로는 논리 회로에서 응용되기도 하는데, AND 연산과 OR 연산을 이용한다.

개요 [ 편집 ]

논리합 ∨ {\displaystyle \lor } , 논리곱 ∧ {\displaystyle \land } , 부정 ¬ {\displaystyle

eg } 의 논리 기호를 사용하여 표시하면, 아래와 같다.

¬ ( P ∨ Q ) = ¬ P ∧ ¬ Q {\displaystyle

eg (P\lor Q)=

eg P\land

eg Q} ¬ ( P ∧ Q ) = ¬ P ∨ ¬ Q {\displaystyle

eg (P\land Q)=

eg P\lor

eg Q}

동일한 뜻을 집합의 기호로 바꾸면 다음과 같이 된다.

( A ∩ B ) ¯ = A ¯ ∪ B ¯ {\displaystyle {\overline {(A\cap B)}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}} ( A ∪ B ) ¯ = A ¯ ∩ B ¯ {\displaystyle {\overline {(A\cup B)}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}}

(다만, ￣ 기호는 전체 집합에 대한 여집합을 표현함) 벤 다이어그램을 사용하면 ¬ ( P ∨ Q ) ≡ ¬ P ∧ ¬ Q {\displaystyle

eg (P\lor Q)\equiv

eg P\land

eg Q} 로 표시한다：

부정합 (OR) P ∨ Q {\displaystyle P\lor Q} 혹은 P ∪ Q {\displaystyle P\cup Q}

논리 부정 ¬ ( P ∨ Q ) {\displaystyle

eg (P\lor Q)} 혹은 ( P ∪ Q ) ¯ {\displaystyle {\overline {(P\cup Q)}}}

한쪽의 논리 부정 (NOT-P) ¬ P {\displaystyle

eg P} 혹은 P ¯ {\displaystyle {\overline {P}}}

다른 한쪽의 논리 부정 (NOT-Q) ¬ Q {\displaystyle

eg Q} 혹은 Q ¯ {\displaystyle {\overline {Q}}}

부정 두 개의 논리곱 ¬ P ∧ ¬ Q {\displaystyle

eg P\land

eg Q} 혹은 P ¯ ∩ Q ¯ {\displaystyle {\overline {P}}\cap {\overline {Q}}}

여기에는 두 명제나 집합에 대한 법칙을 말하고 있지만, 더 많은 명제에서도 동일한 법칙이 성립한다. 여집합의 기록을 참조할 것.

논리 회로에서의 드 모르간의 법칙 [ 편집 ]

아래 공식에서 *는 AND 연산자를, +는 OR 연산자를 뜻한다.

( A + B ) ¯ = A ¯ ∗ B ¯ {\displaystyle {\overline {(A+B)}}={\overline {A}}*{\overline {B}}} ( A ∗ B ) ¯ = A ¯ + B ¯ {\displaystyle {\overline {(A*B)}}={\overline {A}}+{\overline {B}}}

예시 [ 편집 ]

「내 키는 160 cm 이상이고, 몸무게는 50 kg 이상」의 부정은 「내 키는 160 cm 미만이고, 몸무게는 50 kg 미만」이 아니다. 드 모르간의 법칙에 따르면 「내 키는 160 cm 미만이거나, 몸무게는 50 kg 미만」이다. 같은 식으로, 「이 공은 파랗거나, 빨갛다.」 의 부정은 「이 공은 파랗지도, 빨갛지도 않다.」 가 된다.

술어 논리에서 드 모르간의 법칙 [ 편집 ]

드 모르간의 법칙을 확장한 것으로 1차 술어 논리에 대한 드 모르간의 법칙이 있다 : A(x)를 변수 x에 대한 서술자라고 할 때

「모든 x에 대한 A(x)」의 부정은 「어떤 x가 존재시 ￢A(x)」

「어떤 x가 존재시 A(x)」의 부정은「모든 x에 대한 ￢A(x)」

구체적인 예를 들면,

「모든 사람은 냉장고를 가지고 있다」의 부정은「어떤 사람은 냉장고를 가지고 있지 않다」（즉, 「냉장고를 가지고 있지 않은 사람은 적어도 한 명이상 있다」）

「어떤 사람은 냉장고를 가지고 있다」（즉, 「냉장고를 가지고 있는 사람이 적어도 한 명 이상 있다」)의 부정은 「모든 사람이 냉장고를 가지고 있지 않다」.

「모든 x에 대해〜」나 「어떤 x에 대한〜」을 양화자 기호로 ∀ x , ∃ x {\displaystyle \forall x,\exists x} 를 사용하여 표기하며, 술어 논리에서 드 모르간의 법칙은 다음과 같이 쓸 수 있다：

¬ ∀ x A ( x ) ⇔ ∃ x ¬ A ( x ) {\displaystyle

eg \forall x~A(x)\Leftrightarrow \exists x~

eg A(x)}

¬ ∃ x A ( x ) ⇔ ∀ x ¬ A ( x ) {\displaystyle

eg \exists x~A(x)\Leftrightarrow \forall x~

eg A(x)}

명제 논리에서 드 모르간의 법칙을 이용하면, 아래와 같은 술어 논리의 드 모르간의 법칙을 확인할 수 있다.

x가 1부터 100까지의 수를 나타내는 변수라고 하자. 이때 「모든 x에 대한 A(x)」가 있다면,「A(1)와 A(2)와… A(100)」를 의미한다. 이것을 부정하면

￢A(1)또는 ￢「A(2)와… A(100)」

처럼 되며, 「A(2)와… A(100)」의 부정을 동일한 방법으로 반복하면「￢A(1)또는 ￢A(2)또는 … ￢A(100)」가 된다. 이것은 「어떤 x에 대한 ￢A(x)」를 뜻하고 있다. 반대로, 「어떤 x에 대한 A(x)」와 「A(1)또는 A(2)또는 … A(100)」라고 하는 것의 부정은

￢A(1)와 ￢「A(2)또는… A(100)」

이고, 이것을 계속하면 「모든 x에 대한 ￢A(x)」가 된다.

드 모르간의 법칙과 무한 [ 편집 ]

위의 술어 논리에서 드 모르간의 법칙의 내용으로 「모든 x에 대한A(x)」를 「A(1)와 A(2)와…A(100)」로 정의하고 논의를 시작하였지만, 이러한 것은 변수 x가 유한할 경우에만 가능하다. x가 나타내는 것이 무한할 경우 위처럼 드 모르간의 법칙으로 기술할 수 없다. 보통 술어 논리 체계에서는 무한한 경우에 대한 드 모르간의 법칙에 해당되는 공리로 인정되지만, 기호 논리학자 중 일부는 이것을 인정하지 않을 경우에 대한 논리학 연구를 하기도 한다.

전 부정과 부분 부정 [ 편집 ]

전 부정이나 부분 부정을 변경하는 방법은 (술어 논리에서) 드 모르간의 법칙과 관련이 있다. 예를 들어 x가 책을 나타내는 변수라고 하고, 「책 x를 좋아한다」를 A(x)라고 하면, 「모든 책을 좋아한다」는 「모든 x에 대하여 A(x)」가 된다

이것의 부분 부정 「모든 책을 좋아하는 것은 아니다」는 「모든 x에 대하여 A(x)」의 부정이며, 드 모르간의 법칙에 따라 「어떤 x에 대하여 ￢A(x)」, 즉 「좋아하지 않는 책도 있다」라고 하면 된다. 반면에 전 부정 「모든 책을 싫어한다」는 「모든 x에 대하여 ￢A(x)」를 가리키는 드 모르간의 법칙에 따르면 「어떤 책을 좋아한다」의 부정이 된다.

부울 대수 [ 편집 ]

논리학이나 컴퓨터 과학등에서 부울 대수(Boolean algebra)에 대한 드 모르간의 법칙의 예

A = 0 , 1 , B = B ′ , ′ {\displaystyle A={0,1},B=B’,\;\;’}

부울대수 결과값 A + 0 {\displaystyle A+0}

A ⋅ 0 {\displaystyle A\cdot 0} A {\displaystyle A}

0 {\displaystyle 0} 일반 논리식 ( A + B ) ′ {\displaystyle (A+B)’}

( A ⋅ B ) ′ {\displaystyle (A\cdot B)’} A ′ ⋅ B ′ {\displaystyle A’\cdot B’}

A ′ + B ′ {\displaystyle A’+B’} 드 모르간의 법칙

같이 보기 [ 편집 ]

각주 [ 편집 ]

드모르간의 법칙, 집합의 연산법칙 – 수학방

여집합은 쉽게 말해서 “아닌 것”이죠? AC는 A에 포함되지 않은 원소들로 이루어진 집합으로 A의 원소를 제외한 다른 원소는 모두 들어있어요. 그래서 A와 AC 사이에는 공통된 게 없으니까 교집합은 이고 합집합은 U에요. (AC)C은 이중부정이 되어 원래와 같아지는 거예요. 전체집합 U의 원소가 아닌 것은 없으니까 UC = 이 되죠.

집합의 연산에서 법칙은 아니지만 자주 사용하는 성질들이 있어요. 개수가 많아서 어려울 것처럼 보이지만 의미를 잘 생각해보면 이해가 될 거예요. 아니면 벤다이어그램을 그려서 확인해보세요. 굳이 외울 필요는 없지만 연산 과정에서 보면 이해할 수 있어야 해요.

그 외에 집합의 연산에서 자주 사용하는 집합의 성질도 알아볼 건데, 이건 각 집합에서 사용하는 개념을 잘 생각해보면 이해할 수 있을 거예요. 혹시 이해하기 어렵다면 마찬가지로 벤다이어그램을 그려서 확인해볼 수도 있어요.

집합의 연산에서 자주 사용하는 집합의 성질 · 드모르간의 법칙 (A ∪ B)C = AC ∩ B (A ∩ B)C = AC ∪ B · 차집합: A – B = A ∩ B …

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드모르간 법칙

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드모르간의 법칙, 집합의 연산법칙

집합의 연산법칙 두 번째예요.

여기서는 집합에서 가장 많이 사용하는 드모르간의 법칙과 차집합의 성질을 공부할 거예요. 이 두 가지는 벤다이어그램을 그려서 확인해보세요.

그 외에 집합의 연산에서 자주 사용하는 집합의 성질도 알아볼 건데, 이건 각 집합에서 사용하는 개념을 잘 생각해보면 이해할 수 있을 거예요. 혹시 이해하기 어렵다면 마찬가지로 벤다이어그램을 그려서 확인해볼 수도 있어요.

집합의 연산은 식이 되게 복잡하고 길어 보이지만 연산 법칙과 성질만 잘 알면 풀 수 있어요. 겁먹지 마세요.

드모르간의 법칙

처음 듣는 이름인데요. 집합에서 계속 나오는 법칙이에요. 공식처럼 외워야 합니다.

(A ∪ B)C = AC ∩ BC

여집합 기호 C가 마치 지수법칙처럼 각 집합에 적용되어 AC, BC가 되었고, 괄호 안에 있던 연산이 반대로(∩ → ∪, ∪ → ∩) 바뀌었어요.

집합의 연산에서 매우 중요한 법칙이에요. 꼭 벤다이어그램으로 그려서 직접 확인해보세요.

차집합의 성질

차집합 A – B는 A에는 속하지만 B에는 속하지 않는 원소들의 집합이에요. A – B = {x|x ∈ A이고 x B}

전체집합, 여집합, 차집합

이걸 연산에서 교집합과 여집합의 조합으로 바꿀 수 있어요. 벤다이어그램을 그려서 확인해보세요.

A – B = A ∩ BC

차집합에서 앞에 있는 집합은 그대로, 빼기(-) → ∩으로, 뒤에 있는 집합은 여집합(C)으로 바뀌었어요.

B – A는 뭘까요? B는 그대로, 빼기(-)는 ∩으로, A는 여집합(AC)으로 바꿔요. B – A = B ∩ AC

집합의 연산에서 자주 사용하는 집합의 성질

집합의 연산에서 법칙은 아니지만 자주 사용하는 성질들이 있어요. 개수가 많아서 어려울 것처럼 보이지만 의미를 잘 생각해보면 이해가 될 거예요. 아니면 벤다이어그램을 그려서 확인해보세요. 굳이 외울 필요는 없지만 연산 과정에서 보면 이해할 수 있어야 해요.

교집합과 합집합에 관련된 성질이에요. 교집합과 합집합

A ∩ A = A, A ∪ A = A

(A ∩ B) ⊂ A ⊂ (A ∪ B)

A ∩ = , A ∪ = A

A ∩ U = A, A ∪ U = U

합집합과 교집합에 관련된 성질보다 더 많이 사용하는 건 여집합과 관련된 성질이에요.

A ∩ AC = , A ∪ AC = U

(AC)C = A, C = U, UC =

여집합은 쉽게 말해서 “아닌 것”이죠? AC는 A에 포함되지 않은 원소들로 이루어진 집합으로 A의 원소를 제외한 다른 원소는 모두 들어있어요. 그래서 A와 AC 사이에는 공통된 게 없으니까 교집합은 이고 합집합은 U에요. (AC)C은 이중부정이 되어 원래와 같아지는 거예요. 전체집합 U의 원소가 아닌 것은 없으니까 UC = 이 되죠.

이번에는 두 집합 사이의 포함 관계를 알아볼 수 있는 성질이에요.

A ∩ B = A ↔ A ⊂ B

A ∪ B = B ↔ A ⊂ B

A ⊂ B이고, B ⊂ A ↔ A = B

다음을 간단히 하여라. (단, 전체집합 U에 대하여 A ⊂ U, B ⊂ U)

{(AC ∪ BC) ∩ (A ∪ BC)} ∩ A

상당히 길죠? 이걸 벤다이어그램으로 구할 수도 있어요. 하지만 집합의 연산법칙을 이용하면 다항식 계산하듯이 정리할 수 있어요.

{(AC ∪ BC) ∩ (A ∪ BC)} ∩ A

= {(AC ∩ A) ∪ BC)} ∩ A (∵ 분배법칙)

= ( ∪ BC) ∩ A (∵ AC ∩ A = )

= BC ∩ A (∵ ∪ BC = BC)

= A ∩ BC (∵ 교환법칙)

= A – B (∵ A ∩ BC = A – B)

첫 번째 줄에 보면 ( ) 안에는 ∪ BC이 양쪽 모두에 들어있어요. 이걸 분배법칙으로 묶어서 2번째 줄이 되었어요. 마지막 줄에서는 차집합의 성질을 이용했네요.

되게 길어서 복잡해 보이지만 성질을 잘 이용하면 풀 수 있어요. 겁먹지 말고 차근차근 해보세요.

함께 보면 좋은 글

집합의 연산법칙 1 – 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙

부분집합, 부분집합의 개수 구하기

유한집합의 원소의 개수

교집합과 합집합

전체집합, 여집합, 차집합

드 모르간(De-Morgan)의 법칙 – 네이버 블로그

파란색 네모안에 있는 부분이 위에 보신 바로 드 모르간의 제 1법칙에 해당하는 부분이고 빨간색 네모안에 있는 부분이 위에 보신 바로 드 모르간의 제 2 법칙에 해당하는 부분이다. 어?? 논리변수에 해당하는 부분이 서로 같잖아!! 아하! 그래서 서로 같다고 하는거구나!! 드모르간의 법칙의 원리를 알았다.

초등고학년때나 중학교 1학년에 들어가면서 집합이라는 단원을 배울 때 벤다이어그램을 그려가며

드 모르간의 제 1법칙 : A·B의 보수 취한것이 A의 보수와 B의 보수와 합한것과 같다.

19 thg 4, 2011 — 드 모르간의 법칙은 AND와 OR 연산을 서로 바꾸고, 각 변수의 보수(부정)를 취한다. 드 모르간의 제 1법칙 : A·B의 보수 …

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[불대수] 불(Boolean)대수, 드모르간 정리 이 영상이면 됩니다. 전기(산업)기사 실기

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드 모르간(De-Morgan)의 법칙

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드 모르간(De-Morgan)의 법칙

드 모르간의 법칙은 학창시절 수학시간에 많이들 들어 봤을 거라 생각한다.

초등고학년때나 중학교 1학년에 들어가면서 집합이라는 단원을 배울 때 벤다이어그램을 그려가며

합집합 여집합을 표시하면서 이런저런 공부를 한 적이 있을것이다.

참고로 이걸 발견한 드모르간이란 사람의 이름을 본따서 드모르간의 법칙이라고 한다.

뭐 그건 중요치않고

자, 논리회로에서의 드 모르간의 법칙은 어떻게 생겼는지 알아보자.

드 모르간의 법칙은 AND와 OR 연산을 서로 바꾸고, 각 변수의 보수(부정)를 취한다.

드 모르간의 제 1법칙 : A·B의 보수 취한것이 A의 보수와 B의 보수와 합한것과 같다.

드 모르간의 제 2법칙 : A+B의 보수 취한것이 A의 보수와 B의 보수와 곱한것과 같다.

아니 어째서 저게 같다고 볼 수 있는가?

진리표를 그려보면 쉽게 알 수 있다.

그닥 어려운게 아니니 함께 따라 증명해 보자.

일단 처음에는 아래와같이 A와 B라는 논리변수가 있다.

그런다음

A와 B의 논리변수에 A+B를 해보고 A·B도 해보고 A와 B의 각각 보수

그리고 A+B의 보수 A·B 보수 를 각각 써보고

A와 B의 보수들끼리 더한것과 곱한것들을 하나하나 구해가다 보면

위의 드모르간의 법칙이라고 불리우는 2개의 식이 서로 같다는 사실을 알 수 있다.

아래는 드 모르간의 법칙을 깔끔하게 정리해 논 진리표이다.

이 진리표를 보기전에 한번 연습장을 꺼내 진리표를 그려봐서 서로 진짜 같은지 증명해보자.

파란색 네모안에 있는 부분이 위에 보신 바로 드 모르간의 제 1법칙에 해당하는 부분이고 빨간색 네모안에 있는 부분이 위에 보신 바로 드 모르간의 제 2 법칙에 해당하는 부분이다. 어?? 논리변수에 해당하는 부분이 서로 같잖아!! 아하! 그래서 서로 같다고 하는거구나!! 드모르간의 법칙의 원리를 알았다.

따라서

진리표를 그려보면 드 모르간의 법칙이라고 불리우는 저 2개의 식이 왜 같은지 알 수 있다!

[이산수학]드 모르간(De-Morgan) 법칙이란? – bite-sized-learning

if문 조건을 작성할 때 20세 이상이고 140 이상은 경우의 부정이어야만 놀이기구를 탈 수 있다고 하면 굉장히 복잡합니다. 한번에 의미를 파악할 수 없습니다. 하지만 20세 초과거나 키가 140미만이면 탈 수 있다고 하면 간단합니다.

드 모르간의 법칙은 AND와 OR연산을 서로 바꾸고, 각 변수의 보수(부정)을 취합니다. 집합론에도 적용됩니다.

불 대수를 적용해 진리표를 그려보면 쉽게 확인할 수 있습니다. 참(1), 거짓(0)으로 작성한 표입니다.

28 thg 7, 2020 — 드 모르간의 법칙은 AND와 OR연산을 서로 바꾸고, 각 변수의 보수(부정)을 취합니다. 집합론에도 적용됩니다. □ 드 모르간의 제 1법칙.

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집합의 연산법칙

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[이산수학]드 모르간(De-Morgan) 법칙이란?

[이산수학]드 모르간(De-Morgan) 법칙이란?

드 모르간의 법칙은 AND와 OR연산을 서로 바꾸고, 각 변수의 보수(부정)을 취합니다. 집합론에도 적용됩니다.

■ 드 모르간의 제 1법칙

A x B의 보수를 취한 것이 A의 보수와 B의 보수를 합한 것과 같습니다.

■ 드 모르간의 제 2법칙

A + B의 보수를 취한 것이 A의 보수와 B의 보수를 곱한 것과 같습니다.

불 대수를 적용해 진리표를 그려보면 쉽게 확인할 수 있습니다. 참(1), 거짓(0)으로 작성한 표입니다.

파란색 네모가 드 모르간의 제 1법칙이고, 빨간색 네모가 드 모르간의 제 2법칙입니다.

출처:https://m.blog.naver.com/PostList.nhn?blogId=asd7979

드 모드간 법칙이 프로그래밍시 자주 적용되는 부분은 아래와 같습니다.

if문 조건을 작성할 때 20세 이상이고 140 이상은 경우의 부정이어야만 놀이기구를 탈 수 있다고 하면 굉장히 복잡합니다. 한번에 의미를 파악할 수 없습니다. 하지만 20세 초과거나 키가 140미만이면 탈 수 있다고 하면 간단합니다.

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드모르간의 법칙 간략 정리

논리학과 수학의 법칙 중 하나이다. 논리 연산에서 논리합은 논리곱과 부정기호로, 논리곱은 논리합과 부정기호로 표현할 수 있음을 가리키는 법칙이다. 일반적인 표현으로 not(A or B)=(not A) an

드모르간 법칙 – 나무위키

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2 thg 4, 2021 — 드모르간의 법칙 간략 정리 … 논리곱(합)의 부정은 각각 부정의 논리합(곱)과 같다는 법칙. … not (A or B) = (not A) and (not B) not (A and B) = (not …

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  • Description Website: 2 thg 4, 2021 — 드모르간의 법칙 간략 정리 … 논리곱(합)의 부정은 각각 부정의 논리합(곱)과 같다는 법칙. … not (A or B) = (not A) and (not B) not (A and B) = (not …

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드모르간의 정리와 논리회로간소화

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드모르간의 법칙 간략 정리

드모르간 법칙 – 나무위키

논리학과 수학의 법칙 중 하나이다. 논리 연산에서 논리합은 논리곱과 부정기호로, 논리곱은 논리합과 부정기호로 표현할 수 있음을 가리키는 법칙이다. 일반적인 표현으로 not(A or B)=(not A) an

namu.wiki

드 모르간의 법칙 증명 – 생새우초밥집

한편 수학적 귀납법에 따라 다음과 같은 일반화는 물론, 인덱스 패밀리까지 확장이 가능하다. $$ \begin{align*} \begin{matrix} \displaystyle \left( \bigcup_{i=1}^{\infty} X_{i} \right)^{c} = \bigcap_{i=1}^{\infty} (X_{i})^{c} \\ \displaystyle \left( \bigcap_{i=1}^{\infty} X_{i} \right)^{c} = \bigcup_{i=1}^{\infty} (X_{i})^{c} \end{matrix} &\qquad \& \begin{matrix} \displaystyle\left( \bigcup_{\alpha \in \forall } X_{\alpha} \right)^{c} = \bigcap_{\alpha \in \forall} (X_{\alpha})^{c} \\ \displaystyle \left( \bigcap_{\alpha \in \forall} X_{\alpha} \right)^{c} = \bigcup_{\alpha \in \forall } (X_{\alpha})^{c} \end{matrix} \end{align*} $$

$$\begin{align*} x \in (A \cup B)^{c} \iff & \lnot (x \in A \cup B) \\ \iff & \lnot ( x \in A \lor x \in B ) \\ \iff & \lnot ( x \in A ) \land \lnot ( x \in B ) \\ \iff & x \in A^{c} \land x \in B^{c} \\ \iff & x \in ( A^{c} \cap B^{c} ) \end{align*} $$

$$\begin{align*} x \in (A \cap B)^{c} \iff & \lnot (x \in A \cap B) \\ \iff & \lnot ( x \in A \land x \in B ) \\ \iff & \lnot ( x \in A ) \lor \lnot ( x \in B ) \\ \iff & x \in A^{c} \lor x \in B^{c} \\ \iff & x \in ( A^{c} \cup B^{c} ) \end{align*} $$

드 모르간의 법칙와 드 모르간의 정리는 각각 명제, 집합에 대한 정리지만 실제로 말을 하면서는 별로 구분하지 않는다. 법칙이든 정리든 드 모르간- 만 붙으면 부정 …

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불(Boolean)대수의 기본정리

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드 모르간의 법칙 증명

드 모르간의 법칙 증명

드 모르간의 법칙 증명

Proof of de morgans Laws

정리

[1] 드 모르간의 법칙: $$ \lnot (p \land q) \iff \lnot p \lor \lnot q \\ \lnot(p \lor q) \iff \lnot p \land \lnot q $$

[2] 드 모르간의 정리: $$ (A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \\ (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c} $$

설명

드 모르간의 법칙와 드 모르간의 정리는 각각 명제, 집합에 대한 정리지만 실제로 말을 하면서는 별로 구분하지 않는다. 법칙이든 정리든 드 모르간- 만 붙으면 부정이나 여집합을 취하면 괄호 안의 명제, 집합과 기호가 ‘뒤집히는’ 모양새라고 알아듣기 때문이다.

한편 수학적 귀납법에 따라 다음과 같은 일반화는 물론, 인덱스 패밀리까지 확장이 가능하다. $$ \begin{align*} \begin{matrix} \displaystyle \left( \bigcup_{i=1}^{\infty} X_{i} \right)^{c} = \bigcap_{i=1}^{\infty} (X_{i})^{c} \\ \displaystyle \left( \bigcap_{i=1}^{\infty} X_{i} \right)^{c} = \bigcup_{i=1}^{\infty} (X_{i})^{c} \end{matrix} &\qquad \& \begin{matrix} \displaystyle\left( \bigcup_{\alpha \in \forall } X_{\alpha} \right)^{c} = \bigcap_{\alpha \in \forall} (X_{\alpha})^{c} \\ \displaystyle \left( \bigcap_{\alpha \in \forall} X_{\alpha} \right)^{c} = \bigcup_{\alpha \in \forall } (X_{\alpha})^{c} \end{matrix} \end{align*} $$

증명

[1]

진리표로 증명한다.

Part 1. $\lnot (p \land q) \iff \lnot p \lor \lnot q$

Part 2. $\lnot(p \lor q) \iff \lnot p \land \lnot q$

■

[2]

Part 1. $(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}$

$$\begin{align*} x \in (A \cup B)^{c} \iff & \lnot (x \in A \cup B) \\ \iff & \lnot ( x \in A \lor x \in B ) \\ \iff & \lnot ( x \in A ) \land \lnot ( x \in B ) \\ \iff & x \in A^{c} \land x \in B^{c} \\ \iff & x \in ( A^{c} \cap B^{c} ) \end{align*} $$

Part 2. $(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$

$$\begin{align*} x \in (A \cap B)^{c} \iff & \lnot (x \in A \cap B) \\ \iff & \lnot ( x \in A \land x \in B ) \\ \iff & \lnot ( x \in A ) \lor \lnot ( x \in B ) \\ \iff & x \in A^{c} \lor x \in B^{c} \\ \iff & x \in ( A^{c} \cup B^{c} ) \end{align*} $$

■

드모르간의 법칙에 대한 쉽고 자세한 이해 (고1수학 집합과 명제)

더보기 단순하게 접근하려면 보기에 제시된 모든 식을 일일히 풀어서 벤다이어그램을 그려볼 수도 있지만, 문제에서 제시된 벤다이어그램을 표현할 수 있는 식을 하나 만들어서 대조해보면 어렵지 않게 풀 수 있습니다. 문제의 벤다이어그램에 표시된 영역은 세 집합 $A$, $B$, $C$중에서 오직 $C$에만 속하는 원소들의 집합이죠. 따라서 $C$에 있는 원소들 중에서 $A$ 또는 $B$에 속하는 원소들을 제외하면 되므로 그 식은 $C-(A\cup B)$ 이제 이 식을 풀면 $C-(A\cup B)=C\cap (A\cup B)^C$

안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

예를 들어, 모의고사를 봤는데 국어와 수학이 모두 1등급인 학생에게는 특별 장학금을 주는 제도가 있다고 가정해봅시다. 여기서 국어가 1등급인 학생들의 집합을 $A$, 수학이 1등급인 학생들의 집합을 $B$라고 하면 장학금을 받게 되는 학생들의 집합은 $A\cap B$으로 나타낼 수 있겠죠? 이때, 특별 장학금을 받지 못하는 학생들이 속할 집합은 $(A\cap B)^C$가 됩니다.

2 thg 8, 2022 — 보다시피 합집합으로 결합된 집합의 여집합에서는 연산이 교집합으로 바뀌고, 교집합으로 결합된 집합의 여집합에서는 연산이 합집합으로 바뀌죠. 이렇게 …

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대학수학 인트로_1.4 드 모르간의 법칙

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드모르간의 법칙에 대한 쉽고 자세한 이해 (고1수학 집합과 명제)

집합의 연산 – 드모르간의 법칙에 대한 쉽고 자세한 이해 (고1수학 집합과 명제)

드모르간 (De Morgan, A., 1806~1871): 영국의 수학자로 드모르간의 법칙을 만들었고, 기호 논리학의 발전에 기여하였습니다. (그림 출처: 좋은책 신사고 수학)

안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

직전 포스팅에서 여집합과 차집합의 개념과 기본성질에 대해 알아봤습니다. 오늘 포스팅에서는 여집합에 대한 마지막 성질이면서 매우 중요한 드모르간의 법칙에 대해 알아보겠습니다.

● 드모르간의 법칙

드모르간의 법칙은 괄호로 결합한 집합에 여집합을 달면 어떻게 풀릴까에 대한 문제입니다. 수의 곱셈식에다 제곱을 할 경우 $(a\times b)^2=a^2\times b^2$와 같이 풀리는 게 자연스러운데 집합의 연산에서는 다음과 같이 합집합과 교집합 간의 연산이 바뀌는 현상이 나타나므로 매우 주의할 필요가 있습니다.

보다시피 합집합으로 결합된 집합의 여집합에서는 연산이 교집합으로 바뀌고, 교집합으로 결합된 집합의 여집합에서는 연산이 합집합으로 바뀌죠. 이렇게 독특한 성질을 보이므로 수학자의 이름까지 따서 드모르간의 법칙으로 불리게 되었습니다.

교과서에서는 $(A\cup B)^C=A^C\cap B^C$인 이유를 다음과 같이 벤다이어그램을 통해 유도하고 있으며, $(A\cap B)^C=A^C\cup B^C$인 이유도 마찬가지로 어렵지 않게 확인할 수 있습니다.

그림 출처: 좋은책 신사고 수학

그러나 이런 절차적 이해보다는 좀 더 소울을 담아서 직관적 이해를 할 수 있다면 좋겠죠.

● 실생활 예를 통한 드모르간의 법칙의 이해

예를 들어, 모의고사를 봤는데 국어와 수학이 모두 1등급인 학생에게는 특별 장학금을 주는 제도가 있다고 가정해봅시다. 여기서 국어가 1등급인 학생들의 집합을 $A$, 수학이 1등급인 학생들의 집합을 $B$라고 하면 장학금을 받게 되는 학생들의 집합은 $A\cap B$으로 나타낼 수 있겠죠? 이때, 특별 장학금을 받지 못하는 학생들이 속할 집합은 $(A\cap B)^C$가 됩니다.

그렇다면 상식적으로 특별 장학금을 못 받는 학생들은 어떤 아이들이 될까요? 국어와 수학이 모두 1등급이 안 되는 학생들도 있겠지만 두 과목 중 한 과목은 1등급인 학생들도 있을 수 있겠죠. 즉, 국어가 1등급이 안 되거나 또는 수학이 1등급이 안 되는 학생들이 이 집합에 속한다는 것이고 이것을 식으로 표현하면 $A^C\cup B^C$이 되는 겁니다.

그렇다면 이번에는 특별 장학금 제도의 기준을 완화해서 국어가 1등급이거나 또는 수학이 1등급인 학생에게 특별 장학금을 주는 제도를 만들었다고 가정해봅시다. 이번에는 둘 중 하나라도 1등급을 받으면 받을 수 있으므로, 특별 장학금을 받게 되는 학생들의 집합은 $A\cup B$이 되며 특별 장학금을 받지 못하는 학생들이 속할 집합은 $(A\cup B)^C$이 됩니다.

그렇다면 상식적으로 특별 장학금을 못 받는 학생들은 어떤 아이들이 될까요? 이번에는 국어와 수학 모두 1등급이 안 되는 학생들만 여기에 속하겠죠. 즉, 국어가 1등급이 안 되고 수학도 1등급이 안 되는 학생들이 이 집합에 속하게 되며, 이것을 식으로 표현하면 $A^C\cap B^C$이 되는 겁니다.

지금까지 설명은 다음의 표로 요약할 수 있습니다.

국어와 수학이 모두 1등급인 학생에게 특별 장학금을 줄 때 장학금을 받는 학생들의 집합 $A\cap B$ 국어와 수학 둘 다 1등급인 학생들의 집합 장학금을 못 받는 학생들의 집합 $(A\cap B)^C=A^C\cup B^C$ 국어가 1등급이 안 되거나 또는 수학이 1등급이 안 되는 학생들의 집합

국어 또는 수학이 1등급인 학생에게 특별 장학금을 줄 때 장학금을 받는 학생들의 집합 $A\cup B$ 국어가 1등급이거나 또는 수학이 1등급인 학생들의 집합 장학금을 못 받는 학생들의 집합 $(A\cup B)^C=A^C\cap B^C$ 국어와 수학 둘 다 1등급이 안 되는 학생들의 집합

● 드모르간의 법칙의 확장

위의 실생활 예시와 같은 원리로 다음과 같이 집합이 3개 이상인 경우에도 똑같이 확장하여 적용할 수 있습니다.

국어, 수학, 영어 모두 1등급인 학생에게 특별 장학금을 줄 때 장학금을 받는 학생들의 집합 $A\cap B\cap C$ 국어, 수학, 영어 셋 다 1등급인 학생들의 집합 장학금을 못 받는 학생들의 집합 $(A\cap B\cap C)^C$

$=A^C\cup B^C\cup C^C$ 국어가 1등급이 안 되거나 또는 수학이 1등급이 안 되거나 또는 영어가 1등급이 안 되는 학생들의 집합

국어 또는 수학 또는 영어가 1등급인 학생에게 특별 장학금을 줄 때 장학금을 받는 학생들의 집합 $A\cup B\cup C$ 국어가 1등급이거나 또는 수학이 1등급이거나 또는 영어가 1등급인 학생들의 집합 장학금을 못 받는 학생들의 집합 $(A\cup B\cup C)^C$

$=A^C\cap B^C\cap C^C$ 국어, 수학, 영어 셋 다 1등급이 안 되는 학생들의 집합

따라서 다음과 같이 정리할 수 있습니다. 이 부분은 교육과정 내의 내용은 아니지만 뒤에서 배울 명제와 연계하면 충분히 다루어질 수 있습니다. 같은 원리로 4개 이상의 집합의 연산에서도 똑같이 적용할 수 있습니다.

● 드모르간의 법칙 연습문제

다음 중에서 아래 벤다이어그램의 색칠한 부분을 나타내는 집합과 항상 같은 집합은? [좋은책 신사고 수학]

① $(A^C\cap B)\cup C^C$ ② $(A^C\cap B^C)\cap C^C$

③ $(A^C\cap B^C)\cap C$ ④ $(A\cup B)\cap C$

⑤ $A\cap(B\cap C)^C$

더보기 단순하게 접근하려면 보기에 제시된 모든 식을 일일히 풀어서 벤다이어그램을 그려볼 수도 있지만, 문제에서 제시된 벤다이어그램을 표현할 수 있는 식을 하나 만들어서 대조해보면 어렵지 않게 풀 수 있습니다. 문제의 벤다이어그램에 표시된 영역은 세 집합 $A$, $B$, $C$중에서 오직 $C$에만 속하는 원소들의 집합이죠. 따라서 $C$에 있는 원소들 중에서 $A$ 또는 $B$에 속하는 원소들을 제외하면 되므로 그 식은 $C-(A\cup B)$ 이제 이 식을 풀면 $C-(A\cup B)=C\cap (A\cup B)^C$

$=C\cap (A^C\cap B^C)$ 따라서 답은 ③번입니다.

어느 회사의 전체 신입사원 200명 중에서 소방안전 교육을 받은 사원은 120명, 심폐소생술 교육을 받은 사원은 115명, 두 교육을 모두 받지 않은 사원은 17명이다. 이 회사의 전체 신입사원 200명 중에서 심폐소생술 교육만을 받은 사원의 수는? [2014.11/3점]

① $60$ ② $63$ ③ $66$ ④ $69$ ⑤ $72$

더보기 전체 신입사원들의 집합을 $U$,

소방안전 교육을 받은 사원들의 집합을 $A$,

심폐소생술 교육을 받은 사원들의 집합을 $B$라고 하면 $n(U)=200$, $n(A)=120$, $n(B)=115$ 입니다. 이제 두 교육을 모두 받지 않은 사원들의 집합은 $A^C\cap B^C$인데 드모르간의 법칙에 의해 이 집합은 $(A\cup B)^C$이므로 조건에 의해

$n(A^C\cap B^C)=n((A\cup B)^C)=n(U)-n(A\cup B)$

$=200-n(A\cup B)=17$

따라서 $n(A\cup B)=200-17=183$입니다. 따라서 $n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)$

$=120+115-183=52$이므로 심폐소생술 교육만을 받은 사원의 수는 $n(B-A)=n(B)-n(A\cap B)=115-52=63$ 따라서 답은②번이며 구한 결과를 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같습니다.

♥ 이해가 잘 되셨다면 공감과 선플은 포스팅 강의 제작에 큰 힘이 됩니다.

♥ 이해가 잘 안 되신 부분은 댓글을 통해 질문을 주세요.

♥ 본문의 내용은 추가, 보완될 수 있습니다.

드모르간의 법칙 – [정보통신기술용어해설]

24 thg 6, 2021 — 드모르강의 법칙, 드모르간 법칙 · Top · 전기전자공학 · 디지털공학 · 부울 대수 · Top · 기초과학 · 수학 · 집합,논리 …

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(수학)42. 드모르간의 법칙

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드모르간의 법칙. 10401 김가영 10404 김예원 10410 박유진 10425 이효정 10433 최수현. 드모르간 법칙 – 논리 회로. 순수하게 수학 …

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