주제에 대한 기사를 찾고 있습니까 “파스칼 의 삼각형“? 웹사이트에서 이 주제에 대한 전체 정보를 제공합니다 c1.castu.org 탐색에서: 새로운 상위 35 가지 팁 업데이트. 바로 아래에서 이 주제에 대한 자세한 답변을 찾을 수 있습니다. 찾고 있는 주제를 더 잘 이해하려면 끝까지 읽으십시오. 더 많은 관련 검색어: 파스칼 의 삼각형 파스칼의 삼각형 하키스틱, 파스칼의 삼각형 응용, 파스칼의 삼각형 조합, 파스칼의 삼각형 정의, 파스칼 삼각형 실생활, 파스칼의 삼각형 이항계수, 파스칼의 삼각형 문제, 파스칼 삼각형 규칙
파스칼의 삼각형(Pascal’s triangle)은 수학에서 이항계수를 삼각형 모양으로 배열한 것이다. 이것은 블레즈 파스칼의 이름을 따 명명되었지만, 그가 처음 발견한 것은 아니고 수세기 전에 인도, 페르시아, 중국, 독일, 이탈리아 등에서 이미 연구된 바가 있다.
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파스칼의 삼각형 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
1 -> n=0 일때 1 1 -> n=1 일때 1 2 1 -> n=2 일때 1 3 3 1 . 1 4 6 4 1 . 1 5 10 10 5 1 . 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1 1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1 1 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 1 18 153 816 3060 8568 18564 31824 43758 48620 43758 31824 18564 8568 3060 816 153 18 1
//파스칼 삼각형 소스코드 var height : Int = 0 def pTriangle ( given : Array [ Int ], stop : Int ): Unit = { println ( given . deep . toString ) height = height + 1 if ( height < stop ) { val next = Array . ofDim [ Int ]( given . length + 1 ) for ( i <- 0 until next . length ) { if ( i == 0 || i == next . length - 1 ) next ( i ) = 1 else next ( i ) = given ( i - 1 ) + given ( i ) } pTriangle ( next , stop ) } else { height = 0 } }
( x + y ) n = a 0 x n y 0 + a 1 x n − 1 y 1 + a 2 x n − 2 y 2 + ⋯ + a n − 2 x 2 y n − 2 + a n − 1 x 1 y n − 1 + a n x 0 y n {\displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-2}x^{2}y^{n-2}+a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}}
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위키백과, 우리 모두의 백과사전
파스칼의 삼각형 속의 숫자들은 바로 윗 줄에 인접하는 두 숫자의 합으로 정의된다.
파스칼의 삼각형(Pascal’s triangle)은 수학에서 이항계수를 삼각형 모양으로 배열한 것이다. 이것은 블레즈 파스칼의 이름을 따 명명되었지만, 그가 처음 발견한 것은 아니고 수세기 전에 인도,[1] 페르시아,[2] 중국, 독일, 이탈리아 등에서 이미 연구된 바가 있다.[3]
간단히 말하자면, 파스칼의 삼각형은 다음과 같은 방법으로 만들 수 있다.
첫 번째 줄에는 1을 쓴다. 그 다음 줄을 만들 때 바로 위의 왼쪽 숫자와 오른쪽 숫자를 더한다(오른쪽 그림 참고). 예를 들어, 네 번째 줄의 숫자 1과 3을 더하여 다섯 번째 줄의 4가 만들어진다.
파스칼의 법칙을 이용해 이 규칙을 아래와 같이 수학적으로 표현할 수 있다. n 번째 줄의 k 번째 값을 a n k {\displaystyle a_{nk}} 라고 할 때,
a n 1 = 1 {\displaystyle a_{n1}=1} a n n = 1 {\displaystyle a_{nn}=1} a n k = a n − 1 k − 1 + a n − 1 k {\displaystyle a_{nk}=a_{{n-1}{k-1}}+a_{{n-1}{k}}} ( n , k >= 0 ) {\displaystyle (n,k>=0)}
으로 정의된다. 이때,
( n k ) = ( n − 1 k − 1 ) + ( n − 1 k ) {\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}
조합 배열의 예 [ 편집 ]
처음2줄 [ 편집 ]
가장자리의 수는 없는 부분이 ‘0’ 이라고 생각해서 1을 더하고 나온 값인 1을 그대로 내려온다.
1 {\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ 1} 1 1 {\displaystyle \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1}
파스칼의 삼각형의 3열의 모든 숫자는 자신의 상위 열의 2개 숫자를 더해서 만든다.
가장자리의 수는 계속해서 0과 1을 더한다고 생각하고 1을 그대로 내린다.
1 {\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1} 1 1 {\displaystyle \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ 1} 1 2 1 {\displaystyle \ 1\ \ \ \ \ \ 2\ \ \ \ \ \ 1}
파스칼 삼각형의 6열. 네 번째 줄의 1과 3을 더해 다섯 번째 줄의 4를 만든다.
네 번째 줄의 3과 3을 더해 다섯 번째 줄의 6을 만든다.
11줄 [ 편집 ]
19줄 [ 편집 ]
1 -> n=0 일때 1 1 -> n=1 일때 1 2 1 -> n=2 일때 1 3 3 1 . 1 4 6 4 1 . 1 5 10 10 5 1 . 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1 1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1 1 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 1 18 153 816 3060 8568 18564 31824 43758 48620 43758 31824 18564 8568 3060 816 153 18 1
파스칼의 삼각형의 응용 [ 편집 ]
파스칼의 삼각형은 이항정리에서 계수들의 값을 계산하는 데에 사용된다. 예를 들어서
( x + 1 ) 2 = 1 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x + 1 {\displaystyle (x+1)^{2}=1\cdot x^{2}+2\cdot x+1}
라는 식에서, 각 계수의 값인 1, 2, 1은 파스칼의 삼각형의 3번째 줄에 대응된다.
일반적으로,
( x + y ) n = a 0 x n y 0 + a 1 x n − 1 y 1 + a 2 x n − 2 y 2 + ⋯ + a n − 2 x 2 y n − 2 + a n − 1 x 1 y n − 1 + a n x 0 y n {\displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-2}x^{2}y^{n-2}+a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}}
와 같은 전개식에서, a i = ( n + 1 k ) {\displaystyle a_{i}={n+1 \choose k}} 가 성립한다. 즉, a i {\displaystyle a_{i}} 는 파스칼의 삼각형의 ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} 번째 행(row)의 ( k ) {\displaystyle (k)} 번째 열(column) 값과 순차적으로 대응된다.
소스코드 [ 편집 ]
//파스칼 삼각형 소스코드 var height : Int = 0 def pTriangle ( given : Array [ Int ], stop : Int ): Unit = { println ( given . deep . toString ) height = height + 1 if ( height < stop ) { val next = Array . ofDim [ Int ]( given . length + 1 ) for ( i <- 0 until next . length ) { if ( i == 0 || i == next . length - 1 ) next ( i ) = 1 else next ( i ) = given ( i - 1 ) + given ( i ) } pTriangle ( next , stop ) } else { height = 0 } } C# public class PascalsTriangle { static void PascalTriangle ( int n ) { for ( int line = 1 ; line <= n ; line ++) { int c = 1 ; for ( int i = 1 ; i <= line ; i ++) { Console . WriteLine ( c ); c = c * ( line - i ) / i ; } Console . WriteLine ( " " ); } } public static int Main ( int input ) { PascalTriangle ( input ); return input ; } } 일반화 [ 편집 ] 파스칼의 삼각형은 더 높은 차원으로 확장하여 일반화할 수 있다. 3차원 형태는 파스칼의 피라미드 또는 파스칼의 4면체로 부른다. 더 높은 차원의 유사체를 일반적으로 총칭하여 "파스칼의 단체"라고 말한다. 각주 [ 편집 ]
파스칼의 삼각형 – 나무위키
3 ngày trước — 이항계수를 삼각형 모양으로 나열한 것. 블레즈 파스칼이 13살 때 발견하여 이항계수를 구할 때 써먹었다. 삼각형을 그리는 규칙은 다음과 같다.
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- Title Website: 파스칼의 삼각형 – 나무위키
- Description Website: 3 ngày trước — 이항계수를 삼각형 모양으로 나열한 것. 블레즈 파스칼이 13살 때 발견하여 이항계수를 구할 때 써먹었다. 삼각형을 그리는 규칙은 다음과 같다.
초등학생을 위한 파스칼의 삼각형 이야기
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파스칼의 삼각형 – 자바실험실
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제 1열 = 모두 자연수 ‘1’입니다. 제 2열 = 자연수의 수열 제 3열 = 삼각수(물건을 모아서 정삼각형 모양으로 만들 수 있는 물건의 개수) 제 4열 = 사면체수(물건을 쌓아서 정사면체 모양으로 만들 수 있는 물건의 개수) 피보나치 수열이 됩니다.
2의 배수에 해당되는 숫자를 다른 색으로 칠해보면, 같은 모양이 되풀이 되는 것을 알 수 있습니다.모양을 자세히 보면 부분과 전체가 서로 닮아 있습니다. 부분들의 모습이 되풀이 되어 전체모습이 된다는 것은 프랙탈의 기본 원리에 해당됩니다.
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33. 파스칼의 삼각형 – 개념정리
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파스칼의 삼각형
파스칼의 삼각형
파스칼의 삼각형
파스칼의 삼각형은 수학에서 이항계수(서로 다른 몇 개의 물건 중에서 순서없이 물건을 선택할 수 있는 경우의 수)를 삼각형 모양의 기하학적 형태로 배열한 것입니다.
이것은 블레즈 파스칼에 의해 이름 붙여졌으나 이미 수세기 전에 다른 사람들에게서 연구된 것입니다.
파스칼의 삼각형은 그 안에 수학적으로 흥미 있는 현상들이 많이 숨어 있습니다.
파스칼의 삼각형 만드는 방법
위쪽의 양쪽 사선 방향에서 내려받은 숫자를 서로 더하면 파스칼의 삼각형이 만들어 집니다.
삼각형의 양쪽 빗면의 숫자는 ‘1’로 합니다.
파스칼의 삼각형 특징
각 행의 합은 2의 거듭제곱과 같습니다.
숫자들의 의미 = 위쪽 수열의 합과 같습니다.
각 열에 나열된 수는 특별한 의미를 가집니다.
제 1열 = 모두 자연수 ‘1’입니다.
제 2열 = 자연수의 수열
제 3열 = 삼각수(물건을 모아서 정삼각형 모양으로 만들 수 있는 물건의 개수)
제 4열 = 사면체수(물건을 쌓아서 정사면체 모양으로 만들 수 있는 물건의 개수)
제 1열 = 모두 자연수 ‘1’입니다. 제 2열 = 자연수의 수열 제 3열 = 삼각수(물건을 모아서 정삼각형 모양으로 만들 수 있는 물건의 개수) 제 4열 = 사면체수(물건을 쌓아서 정사면체 모양으로 만들 수 있는 물건의 개수) 피보나치 수열이 됩니다.
0행의 수열 = 0개의 물건 중에서 순서 없이 물건을 뽑는 조합의 가짓수
1행의 수열 = 1개의 물건 중에서 순서 없이 물건을 뽑는 조합의 가짓수
2행의 수열 = 2개의 물건(A, B) 중에서 순서 없이 물건을 뽑는 조합의 가짓수
4행의 수열 = 4개의 물건(A, B, C, D) 중에서 순서 없이 물건을 뽑는 조합의 가짓수
시에르핀스키 삼각형 Sierpinski Curve
3의 배수에 해당되는 숫자를 다른 색으로 칠한 경우
4의 배수에 해당되는 숫자를 다른 색으로 칠한 경우
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2의 배수에 해당되는 숫자를 다른 색으로 칠해보면, 같은 모양이 되풀이 되는 것을 알 수 있습니다.모양을 자세히 보면 부분과 전체가 서로 닮아 있습니다. 부분들의 모습이 되풀이 되어 전체모습이 된다는 것은 프랙탈의 기본 원리에 해당됩니다.
파스칼의 삼각형, 하키 스틱 패턴 – 이항 정리의 활용 – 상식체온
위의 그림을 자세히 보면, 삼각형 왼쪽 1부터(빨간색이 칠해진 숫자) 시작하여 오른쪽 아래의 대각선 방향으로 5개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5를 더하면 그 숫자가 있는 행에서 5번째에 있는 숫자가 그것의 합이 됩니다.
위의 그림처럼 두 번째 줄에서 2의 값은 위에 있는 1과 1을 더한 것이고, 세 번째 줄의 3의 위에 있는 1과 2를 더한 값입니다. 이런 식으로 5번째 줄에서 10번째 줄까지 차례대로 더하면 위의 그림이 됩니다.
위의 그림을 잘 보면 2번째 행에 있는 2는 2의 배수가 되고, 3번째에 있는 3은 3의 배수, 5번째에 있는 5, 10은 5의 배수, 7번째에 있는 7, 21, 35는 7의 배수가 됩니다.
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파스칼의 삼각형, 하키 스틱 패턴
파스칼의 삼각형이란 자연수를 삼각형 모양으로 배열한 것으로 재미있는 성질이 있어서 글을 써 봅니다.
1. 파스칼의 삼각형 모양
위와 같은 파스칼의 삼각형 모양을 그린 후, 다음과 같이 숫자를 쓰면 됩니다. 1부터 시작해서 가운데는 위의 숫자를 더한 값이 됩니다.
2. 파스칼의 삼각형 숫자
위의 그림처럼 두 번째 줄에서 2의 값은 위에 있는 1과 1을 더한 것이고, 세 번째 줄의 3의 위에 있는 1과 2를 더한 값입니다. 이런 식으로 5번째 줄에서 10번째 줄까지 차례대로 더하면 위의 그림이 됩니다.
3. 파스칼의 삼각형 성질 1
파스칼의 삼각형은 오른쪽 식처럼 N행에 있는 이항 계수의 합은 2의 N승이 됩니다.
. . .
4. 파스칼의 삼각형 성질 2
N이 소수일 때는 N행에 있는 이항 계수들은 1을 제외하고 모두 N의 배수가 됩니다.
소수는 1과 자신 자신만으로 나누어떨어지는 1보다 큰 양의 정수를 말하는데, 2, 3, 5, 7, 11… 등이 있습니다.
위의 그림을 잘 보면 2번째 행에 있는 2는 2의 배수가 되고, 3번째에 있는 3은 3의 배수, 5번째에 있는 5, 10은 5의 배수, 7번째에 있는 7, 21, 35는 7의 배수가 됩니다.
5. 파스칼의 삼각형 성질 3 – 하키 스틱 패턴
위의 그림을 자세히 보면, 삼각형 왼쪽 1부터(빨간색이 칠해진 숫자) 시작하여 오른쪽 아래의 대각선 방향으로 5개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5를 더하면 그 숫자가 있는 행에서 5번째에 있는 숫자가 그것의 합이 됩니다.
즉 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15가 되는데 15는 5가 있는 값의 다음 행의 5번째 값이 되는 것이지요.
오른쪽 1부터 시작해서(녹색이 칠해진 숫자) 왼쪽 대각선 방향으로 네 개의 숫자 1, 6, 21, 56을 더하면 그 값은 그다음 행의 오른쪽에서 4번째 숫자가 그 값이 됩니다.
이해를 돕기 위해 문제를 풀어 보겠습니다.
1 + 4 + 10 + 20 + 35 + 56 + 84는 얼마일까요?
위의 그림을 보면 210이라는 걸 알 수 있습니다.
위의 그림을 보면 모양이 하키 스틱 모양과 비슷하다고 해서 이러한 파스칼의 삼각형 성질을 “하키 스틱 패턴”이라고 한답니다.
수학이 어렵거나 재미없을 수도 있지만, 항상 그런 것이 아님이 저는 파스칼의 삼각형 성질을 통해서 알 수 있을 것 같습니다.
파스칼의 삼각형 – 수학지옥! 수학천국! – 티스토리
파스칼의 삼각형을 잘 이용하면 여러 가지 재미있는 문제를 해결하는데 도움이 됩니다. 예를 들면, 사과와 배 두 종류만 파는 과일가게에 갔는데 과일을 사는 방법의 경우의 수를 생각해 보면 둘을 모두 사는 경우가 1가지, 둘 중 하나를 사는 경우는 사과만 살 경우와 배만 살 경우가 있으므로 2가지, 둘 다 사지 않는 경우의 수 1가지가 있습니다. 이것은 그림에서 세번 째 줄의 숫자 1, 2, 1과 같습니다. 그러면 사과, 배, 감의 세가지 과일을 사는 경우는 어떻게 될까요? 딱 봐도 감이 오죠? 고등학교에 올라가게 되면 다항식의 계수에 관한 내용을 배우는데 (이항 정리하고 합니다.) 계수의 규칙도 파스칼의 삼각형을 이용해서 알 수 있습니다.
“친애하는 파스칼에게, 나는 심각한 문제에 봉착했네. 실력이 비슷한 A와 B가 각각 32피스톨(화폐 단위)을 걸고 게임을 했어. 총 5판에 3판을 이기면 64피스톨을 모두 가지기로 했지. 그런데 A가 2판, B가 1판을 이긴 상황에서 일이 생겨 게임을 그만뒀어. 다시 돈을 반씩 나누면 2판이나 이긴 A가 너무 억울할 것 같고, A에게 64피스톨을 다 주면 B가 앞으로 이길 수도 있으니 공평하지 않은 듯하네. 어떻게 해야 공평할까?”
1부터 10까지의 합은 경사로를 따라 1부터 10까지 따라 내려간 후 바로 아랫 줄 꺾인 부문의 값이 더한 값이 됩니다. 위에 칠해진 바로 밑에 줄인 1, 3, 6, 10, … 45까지 더한 값은? 당연히 165가 되겠죠? 이런 규칙을 하키스틱 법칙이라고도 한답니다.
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파스칼의 삼각형 이정도는 꼭 기억하세요 #확통개념 7강
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파스칼의 삼각형
파스칼의 삼각형은 자연수를 삼각형 모양으로 배열한 것을 말합니다.
1303년 중국인에 의해 유럽에 알려졌으나 이 삼각형에서 흥미로운 성질을 많이 발견한 프랑스의 철학자이자 수학자인 파스칼(Pascal)의 이름을 따서 파스칼의 삼각형이라 부르게 되었습니다.
양휘의 <상해구장산법>에 수록된 파스칼 삼각형
파스칼의 삼각형을 잘 이용하면 여러 가지 재미있는 문제를 해결하는데 도움이 됩니다. 예를 들면, 사과와 배 두 종류만 파는 과일가게에 갔는데 과일을 사는 방법의 경우의 수를 생각해 보면 둘을 모두 사는 경우가 1가지, 둘 중 하나를 사는 경우는 사과만 살 경우와 배만 살 경우가 있으므로 2가지, 둘 다 사지 않는 경우의 수 1가지가 있습니다. 이것은 그림에서 세번 째 줄의 숫자 1, 2, 1과 같습니다. 그러면 사과, 배, 감의 세가지 과일을 사는 경우는 어떻게 될까요? 딱 봐도 감이 오죠? 고등학교에 올라가게 되면 다항식의 계수에 관한 내용을 배우는데 (이항 정리하고 합니다.) 계수의 규칙도 파스칼의 삼각형을 이용해서 알 수 있습니다.
파스칼의 삼각형
파스칼의 삼각형으로 여러가지 규칙을 찾아 보겠습니다.
1. 파스칼의 삼각형에서 홀수를 빨간색으로 칠해보면 어떤 모양이 만들어질까요?
시어핀스키 삼각형 모양
시어핀스키 삼각형은 바츠와프 시어핀스크의 이름이 붙은 프랙탈 도형으로 정삼각형의 세 중점을 연결해 내부에 정삼각형을 만드는 것을 무한히 반복하여 얻어지는 도형입니다. 고등학교에서 무한급수에 대해 배울 때 자주 등장하는 내용입니다.
2. 파스칼의 삼각형에서 5의 배수를 파란색으로 칠해보면 어떤 모양이 만들어질까요?
5의 배수만 색칠하게 되면 역삼각형 모양의 패턴을 찾아낼 수 있습니다.
3. 1부터 10까지의 합을 구해볼까요?
하키스틱 법칙
1부터 10까지의 합은 경사로를 따라 1부터 10까지 따라 내려간 후 바로 아랫 줄 꺾인 부문의 값이 더한 값이 됩니다. 위에 칠해진 바로 밑에 줄인 1, 3, 6, 10, … 45까지 더한 값은? 당연히 165가 되겠죠? 이런 규칙을 하키스틱 법칙이라고도 한답니다.
4. 각 줄의 숫자를 더해볼까요?
2의 거듭제곱
각 줄을 더하면 2의 거듭제곱이라는 규칙이 있음을 알 수 있습니다.
블레즈 파스칼은 13살에 이 삼각형 모양을 발견해 이항계수를 구할 때 써먹었다고 하니 들은적은 있지만 본적은 없는 천재임이 분명합니다.
파스칼은 확률론에도 크게 기여했는데요. 당시 유명한 도박사 친구인 드메레로부터 다음과 같은 편지를 받았습니다.
“친애하는 파스칼에게, 나는 심각한 문제에 봉착했네. 실력이 비슷한 A와 B가 각각 32피스톨(화폐 단위)을 걸고 게임을 했어. 총 5판에 3판을 이기면 64피스톨을 모두 가지기로 했지. 그런데 A가 2판, B가 1판을 이긴 상황에서 일이 생겨 게임을 그만뒀어. 다시 돈을 반씩 나누면 2판이나 이긴 A가 너무 억울할 것 같고, A에게 64피스톨을 다 주면 B가 앞으로 이길 수도 있으니 공평하지 않은 듯하네. 어떻게 해야 공평할까?”
풀이는 확률을 이야기할 때 다루기로 하고, 파스칼은 자신의 풀이를 페르마에게 보냈고, 페르마는 다른 방법으로 풀어 파스칼에게 보냈다고 합니다.
[109호] 1654년, 파스칼의 삼각형(4) – 브런치
원에 직선, 삼각형, 사각형 등을 내접시키고 각각의 경우 몇 개의 점, 선분, 삼각형, 사각형이 생기는지 조사해 봅시다. 예를 들어 원 안에 사각형을 내접시킬 때 점은 4개, 선분은 6개, 삼각형은 4개, 사각형은 1개가 생깁니다. 이런 식으로 정리한 표에는 파스칼의 삼각형이 들어 있는데, 따져 보면 당연한 귀결입니다. 사각형을 내접시킬 때 점의 개수는 4개의 점에서 하나의 점을 선택하는 경우의 수 4(= ₄C₁)이고, 선분의 개수는 4개의 점에서 2개의 점을 선택하는 경우의 수 6(= ₄C₂)이며, 삼각형의 개수는 4개의 점에서 3개의 점을 선택하는 경우의 수 4(= ₄C₃)이기 때문입니다.
파스칼의 삼각형에서 짝수 자리와 홀수 자리에 서로 다른 색을 칠하면 부분이 전체를 닮은 프랙털 패턴이 나타납니다. 이 프랙털 모양들은 재료 과학자들이 혁신적인 성질을 가진 새로운 구조물들을 만들어 내는 데 도움이 되는 모형으로 활용될 수 있습니다. 예를 들어 1986년에 연구자들은 홀수 자리에 구멍을 내어 파스칼의 삼각형과 거의 똑같이 생긴 마이크로미터 크기의 철사 개스킷을 만들어 내기도 했습니다. 가장 작은 삼각형은 대략 1.38 제곱마이크로미터였고 과학자들은 자기장하에서 이 초전도 개스킷이 나타내는 수많은 희귀 성질들을 조사했습니다.
파스칼의 삼각형의 3행 1열에서 시작하는 오른쪽 아래 방향의 대각선의 수는 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36 … 입니다. 이 수들은 정삼각형 모양으로 점을 배열했을 때 그 모양을 이루고 있는 점의 개수인 삼각수(triangular number)가 됩니다.
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정승제 Show (feat. 파스칼의 삼각형)
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[109호] 1654년, 파스칼의 삼각형(4)
안녕하세요? MATHING의 슈슈입니다.
지난 호에 이어 ‘파스칼의 삼각형’의 특징에 대해 알아보겠습니다.
11의 거듭제곱
파스칼의 삼각형의 1행부터 4행까지의 수를 각각 연속하여 배열하면 11의 거듭제곱이 됩니다. 즉, 각 행의 수를 붙여 적었을 때 1행은 11, 2행은 11², 3행은 11³, 4행은 11⁴이 됩니다.
삼각수
파스칼의 삼각형의 3행 1열에서 시작하는 오른쪽 아래 방향의 대각선의 수는 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36 … 입니다. 이 수들은 정삼각형 모양으로 점을 배열했을 때 그 모양을 이루고 있는 점의 개수인 삼각수(triangular number)가 됩니다.
첫 번째 삼각수 두 번째 삼각수 세 번째 삼각수 네 번째 삼각수
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1 3 6 10
사진출처 – 수학콘서트
하키 스틱 패턴
파스칼의 삼각형에서 각 행의 첫 번째 수나 마지막 수인 1에서 시작하여 대각선 방향에 배열된 수들을 더하면 그 다음 행의 오른쪽이나 왼쪽에 있는 수가 됩니다. 이것을 파스칼의 삼각형에 표시하면 하키 스틱 모양이 되므로 ‘하키 스틱 패턴’이라고 합니다.
사진출처 – 수학콘서트
이항 정리
파스칼의 삼각형에서 각 행에 배열된 수들을 더하면 2의 거듭제곱이 됩니다. 더 정확히 말하면 n행의 수들의 합은 2ⁿ이 됩니다.
1 1
1 1 1+1 = 2¹
1 2 1 1+2+1 = 4 = 2²
1 3 3 1 1+3+3+1 = 8 = 2³
1 4 6 4 1 1+4+6+4+1 = 16 = 2⁴
이 성질은 이항정리를 이용한 식 nC0 + nC₁ + nC₂ + … + nCn = 2ⁿ을 떠올리면 쉽게 이해할 수 있습니다.(이항정리는 고등학교 수학 교과과정에 나옵니다.)
원에 다각형 내접시키기
원에 직선, 삼각형, 사각형 등을 내접시키고 각각의 경우 몇 개의 점, 선분, 삼각형, 사각형이 생기는지 조사해 봅시다. 예를 들어 원 안에 사각형을 내접시킬 때 점은 4개, 선분은 6개, 삼각형은 4개, 사각형은 1개가 생깁니다. 이런 식으로 정리한 표에는 파스칼의 삼각형이 들어 있는데, 따져 보면 당연한 귀결입니다. 사각형을 내접시킬 때 점의 개수는 4개의 점에서 하나의 점을 선택하는 경우의 수 4(= ₄C₁)이고, 선분의 개수는 4개의 점에서 2개의 점을 선택하는 경우의 수 6(= ₄C₂)이며, 삼각형의 개수는 4개의 점에서 3개의 점을 선택하는 경우의 수 4(= ₄C₃)이기 때문입니다.
사진출처 – 수학콘서트
프랙털 패턴
파스칼의 삼각형에서 짝수 자리와 홀수 자리에 서로 다른 색을 칠하면 부분이 전체를 닮은 프랙털 패턴이 나타납니다. 이 프랙털 모양들은 재료 과학자들이 혁신적인 성질을 가진 새로운 구조물들을 만들어 내는 데 도움이 되는 모형으로 활용될 수 있습니다. 예를 들어 1986년에 연구자들은 홀수 자리에 구멍을 내어 파스칼의 삼각형과 거의 똑같이 생긴 마이크로미터 크기의 철사 개스킷을 만들어 내기도 했습니다. 가장 작은 삼각형은 대략 1.38 제곱마이크로미터였고 과학자들은 자기장하에서 이 초전도 개스킷이 나타내는 수많은 희귀 성질들을 조사했습니다.
사진출처 – 수학의 파노라마
「수학의 파노라마, 사진으로 이해하는 수학의 모든 것, 세상의 모든 지식, 수학 콘서트」에서 발췌함.
주제에 대한 관련 정보 파스칼 의 삼각형
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