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나비에-스토크스 방정식 – 나무위키
31 thg 12, 2022 — 유체역학의 가장 기본이 되는 지배방정식(governing equation). 물과 공기를 비롯해 점성을 가진 대부분의 기체와 액체의 운동을 나타내는 비선형 편미분 …
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나비에-스토크스 방정식 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
이 방정식이 광범위하게 사용되고 있지만 이 방정식의 3차원 강해가 항상 존재한다는 것을 증명하지 못했다. 1934년에 장 르레가 약해의 존재성을 증명했으나, 제한된 조건이 아닌 상황에서 강해의 존재성을 증명하지 못했다. 2차원의 경우 올가 라젠스카야가 완벽히 해결했고, 후에 많은 수학자들이 적절한 조건하에서 강해의 존재성을 증명했으나, 아직까지 완전한 강해의 존재성은 증명되지 않았다. 3차원의 경우 나비에-스토크스 방정식의 강해가 존재하거나, 유한 시간안에 폭발하는 해가 존재함을 보이는 것을 나비에-스토크스 존재성과 매끄러움(Navier–Stokes existence and smoothness) 문제라 한다. 2000년 5월 24일 클레이 수학연구소에서는 이 문제를 포함, 7개의 밀레니엄 문제를 해결하는데 각각 1,000,000달러의 상금을 내 걸었다.
∂ u i ∂ t + u j ∂ u i ∂ x j = f i − 1 ρ ∂ p ∂ x i + ν ∂ 2 u i ∂ x j ∂ x j {\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}=f_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+
Polyanin, A. D.; Kutepov, A. M.; Vyazmin, A. V.; Kazenin, D. A. (2002), 《Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering》, Taylor & Francis, London, ISBN 0-415-27237-8
나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations) 또는 N-S 방정식은 점성을 가진 유체의 운동을 기술(記述)하는 비선형 편미분방정식이다. 클로드 루이 나비에와 …
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풀기만 해도 12억 | 밀레니엄 7대 난제! 나비에-스톡스 방정식이란 무엇일까? | 과학쿠키 다큐 단편
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위키백과, 우리 모두의 백과사전
나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations) 또는 N-S 방정식은 점성을 가진 유체의 운동을 기술(記述)하는 비선형 편미분방정식이다. 클로드 루이 나비에와 조지 가브리엘 스토크스가 처음 소개하였다. 오일러 방정식을 확장한 것이다.
활용 [ 편집 ]
날씨 모델, 해류, 관에서 유체흐름, 날개주변의 유체흐름 그리고 은하안에서 별들의 움직임을 설명하는데 쓰일 수 있으며 실제로 항공기나 자동차 설계, 혈관내의 혈류, 오염물질의 확산 등을 연구하는데 사용되고 있다.
나비에-스토크스 문제 [ 편집 ]
이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 나비에-스토크스 존재성과 매끄러움 입니다.
이 방정식이 광범위하게 사용되고 있지만 이 방정식의 3차원 강해가 항상 존재한다는 것을 증명하지 못했다. 1934년에 장 르레가 약해의 존재성을 증명했으나, 제한된 조건이 아닌 상황에서 강해의 존재성을 증명하지 못했다. 2차원의 경우 올가 라젠스카야가 완벽히 해결했고, 후에 많은 수학자들이 적절한 조건하에서 강해의 존재성을 증명했으나, 아직까지 완전한 강해의 존재성은 증명되지 않았다. 3차원의 경우 나비에-스토크스 방정식의 강해가 존재하거나, 유한 시간안에 폭발하는 해가 존재함을 보이는 것을 나비에-스토크스 존재성과 매끄러움(Navier–Stokes existence and smoothness) 문제라 한다. 2000년 5월 24일 클레이 수학연구소에서는 이 문제를 포함, 7개의 밀레니엄 문제를 해결하는데 각각 1,000,000달러의 상금을 내 걸었다.
2014년에 테렌스 타오가 평균화된 나비에-스토크스 방정식의 경우 유한 시간 안에 폭발하는 해가 존재한다는 것을 보였다.
공식 [ 편집 ]
나비에-스토크스 방정식은 여러 형태로 쓰이지만, 다음은 아인슈타인 표기법을 사용해 쓴 것이다.
∂ u i ∂ t + u j ∂ u i ∂ x j = f i − 1 ρ ∂ p ∂ x i + ν ∂ 2 u i ∂ x j ∂ x j {\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}=f_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+
u {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}
식에서 각 기호는 그 시각, 지점에서의
u: 속도 f: 단위체적당 걸리는 외력 ρ: 밀도 p: 압력 ν: 점성 계수 이다.
위 식을 벡터를 이용하여,
∂ u ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) u = f − 1 ρ ∇ p + ν △ u {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}+({\boldsymbol {u}}\cdot
abla ){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {f-}}{\frac {1}{\rho }}
abla p+
u \triangle {\boldsymbol {u}}}
로 쓸 수도 있다.
∇ {\displaystyle
abla } 는 델 (연산자)이다.
Δ {\displaystyle \Delta } 는 라플라스 연산자이다.
방정식은 뉴턴의 운동방정식(가속도 = 힘/질량)에 기반하고 있으며, 좌변이 가속도, 우변이 유체에 작용하는 단위 질량당 힘을 나타내고 있다.
같이 보기 [ 편집 ]
서지 [ 편집 ]
Acheson, D. J. (1990), 《Elementary Fluid Dynamics》, Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series, Oxford University Press, ISBN 0-19-859679-0
Batchelor, G. K. (1967), 《An Introduction to Fluid Dynamics》, Cambridge University Press, ISBN 0-521-66396-2
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1987), 《Fluid mechanics》, Course of Theoretical Physics 6 2 revis판, Pergamon Press, ISBN 0-08-033932-8 , OCLC 15017127
Rhyming, Inge L. (1991), 《Dynamique des fluides》, Presses polytechniques et universitaires romandes
Polyanin, A. D.; Kutepov, A. M.; Vyazmin, A. V.; Kazenin, D. A. (2002), 《Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering》, Taylor & Francis, London, ISBN 0-415-27237-8
Currie, I. G. (1974), 《Fundamental Mechanics of Fluids》, McGraw-Hill, ISBN 0-07-015000-1
V. Girault and P.A. Raviart. Finite Element Methods for Navier–Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 1986.
[유체역학] 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)
앞선 말한 것 처럼 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)은 뉴턴의 제2법칙인 F=ma를 유체역학에서 사용하기 편하게 그 형태를 바꾼 것 입니다. 유체는 고체와 달리 고정된 좌표 개념이 없기 때문에 분석이 매우 힘듭니다. 따라서 유체에 뉴턴 역학을 적용하기 위해서는 다른 방식이 필요하고, 이 방식에 따라 운동량 보존 법칙을 재정리한 것이 이 방정식입니다. 유체역학에서 중요한 물리량은 질량, 운동량, 에너지이며 이 세가지 물리량의 보존 법칙이 유체역학에서의 지배방정식이 되고, 그 중 가장 중요한 방정식이 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)입니다.
간단하게 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)에 대해서 확인하여 보았습니다. 아직도 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)은 해의 존재성 조차 모르는 수식입니다. 난해한 수식이라고 볼 수 있습니다. 하지만 우리 삶에서 많은 도움을 주고 있는 수식이기도 합니다. 현재 미국 클레이 연구소에서는 밀레니엄 난제로 등록되어 있기도 합니다. 수치해석으로 얻은 근사 값으로도 우리 삶을 이끌고 있는 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation) 답이 나오는 그 날이 왔으면 좋겠습니다.
프랑스 물리학자 클로드-루이 나비에와 영국 수학자 조지 스토크스가 뉴턴의 운동 제2법칙(F=ma)를 유체역학에서 사용하기 쉽게 운동량을 기준으로 세운 수지식입니다. 이 방정식은 물리학의 수많은 곳에서 널리 사용되고 있습니다. 하지만 문헌상에서 이용 가능한 해석 해는 거의 존재하지 않으며, 그러한 해는 손꼽을 정도로 매우 적습니다. 실제 거의 대부분의 유체역학 문제는 해석적으로 풀 수 없으며, 근사적 방법이나 컴퓨터의 도움이 필요로 합니다.
24 thg 12, 2021 — 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)은 일정한 상태량을 갖는 비압축성 뉴턴 유체에 대한 선형 운동량 보존에 관한 방정식입니다. 나비에 …
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- Title Website: [유체역학] 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)
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나비에 스토크스 방정식에 대해 알아보자
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[유체역학] 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)
오늘은 전산유체역학에서 잠시 나왔던 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)에 대해서 자세히 알아보도록 하겠습니다. 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)은 일정한 상태량을 갖는 비압축성 뉴턴 유체에 대한 선형 운동량 보존에 관한 방정식입니다.
나비에 스토그스 방정식(Navier-Stokes, eaquation) (출처: 세계를 바꾼 17가지 방정식(사이언스북스, 2016)
프랑스 물리학자 클로드-루이 나비에와 영국 수학자 조지 스토크스가 뉴턴의 운동 제2법칙(F=ma)를 유체역학에서 사용하기 쉽게 운동량을 기준으로 세운 수지식입니다. 이 방정식은 물리학의 수많은 곳에서 널리 사용되고 있습니다. 하지만 문헌상에서 이용 가능한 해석 해는 거의 존재하지 않으며, 그러한 해는 손꼽을 정도로 매우 적습니다. 실제 거의 대부분의 유체역학 문제는 해석적으로 풀 수 없으며, 근사적 방법이나 컴퓨터의 도움이 필요로 합니다.
앞선 말한 것 처럼 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)은 뉴턴의 제2법칙인 F=ma를 유체역학에서 사용하기 편하게 그 형태를 바꾼 것 입니다. 유체는 고체와 달리 고정된 좌표 개념이 없기 때문에 분석이 매우 힘듭니다. 따라서 유체에 뉴턴 역학을 적용하기 위해서는 다른 방식이 필요하고, 이 방식에 따라 운동량 보존 법칙을 재정리한 것이 이 방정식입니다. 유체역학에서 중요한 물리량은 질량, 운동량, 에너지이며 이 세가지 물리량의 보존 법칙이 유체역학에서의 지배방정식이 되고, 그 중 가장 중요한 방정식이 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)입니다.
이 수식을 통해 유체에 대한 운동을 확인 할 수 있습니다. 항공기가 뜨는 원리, 담배연기 확산, 기계의 내부유로 설계, 날씨예보 등에 쓰입니다. 세계를 바꾼 가장 주요한 수식 중에 하나가 아닐 수가 없습니다.
방정식 예1) 담배연기 방정식 예2) 항공기 이륙
나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation) 유체의 압축성을 나타냅니다. 오일러 방정식(Euler equation)에 점성항을 더한 것이 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)입니다.
Euler eqaution(출처: 나무위키)
오일러 방정식(Euler equation)은 비점성 영역을 나타낸 방정식이며, 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)의 근사화라고 볼 수 있습니다.
간단하게 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)에 대해서 확인하여 보았습니다. 아직도 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)은 해의 존재성 조차 모르는 수식입니다. 난해한 수식이라고 볼 수 있습니다. 하지만 우리 삶에서 많은 도움을 주고 있는 수식이기도 합니다. 현재 미국 클레이 연구소에서는 밀레니엄 난제로 등록되어 있기도 합니다. 수치해석으로 얻은 근사 값으로도 우리 삶을 이끌고 있는 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation) 답이 나오는 그 날이 왔으면 좋겠습니다.
Navier-Stokes 방정식의 벡터 표현 – Deep Campus – 티스토리
abla \cdot \tau &= \left( \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z} \mathbf{k} \right) \cdot ( \tau_{xx} \ \mathbf{ii} + \tau_{xy} \ \mathbf{ij} + \tau_{xz} \ \mathbf{ik} \tag{3} \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ + \tau_{yx} \ \mathbf{ji} + \tau_{yy} \ \mathbf{jj} + \tau_{yz} \ \mathbf{jk} + \tau_{zx} \ \mathbf{ki} + \tau_{zy} \ \mathbf{kj} + \tau_{zz} \ \mathbf{kk} ) \\ \\ &= \left( \frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} \right) \mathbf{j} \\ \\ & \ \ \ + \left( \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zz}}{\partial z} \right) \mathbf{k} \end{align} \]
abla \mathbf{V} &= \left( \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z} \mathbf{k} \right) (u \mathbf{i} + v \mathbf{j} +w \mathbf{k} ) \tag{10} \\ \\ &= \ \ \ \frac{\partial u}{\partial x} \mathbf{ii} + \frac{\partial v}{\partial x} \mathbf{ij} + \frac{\partial w}{\partial x} \mathbf{ik} \\ \\ & \ \ \ + \frac{\partial u}{\partial y} \mathbf{ji} + \frac{\partial v}{\partial y} \mathbf{jj} + \frac{\partial w}{\partial y} \mathbf{jk} \\ \\ & \ \ \ + \frac{\partial u}{\partial z} \mathbf{ki} + \frac{\partial v}{\partial z} \mathbf{kj} + \frac{\partial w}{\partial z} \mathbf{kk} \end{align} \]
abla \mathbf{V})^T &= \ \ \ \frac{\partial u}{\partial x} \mathbf{ii} + \frac{\partial v}{\partial x} \mathbf{ji} + \frac{\partial w}{\partial x} \mathbf{ki} \tag{11} \\ \\ & \ \ \ + \frac{\partial u}{\partial y} \mathbf{ij} + \frac{\partial v}{\partial y} \mathbf{jj} + \frac{\partial w}{\partial y} \mathbf{kj} \\ \\ & \ \ \ + \frac{\partial u}{\partial z} \mathbf{ik} + \frac{\partial v}{\partial z} \mathbf{jk} + \frac{\partial w}{\partial z} \mathbf{kk} \end{align} \]
22 thg 10, 2021 — Navier-Stokes 방정식은 뉴톤 제2법칙을 유체에 적용한 것으로서 다음과 같이 유도되었다.
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Navier-Stokes 방정식의 벡터 표현
Navier-Stokes 방정식은 뉴톤 제2법칙을 유체에 적용한 것으로서 다음과 같이 유도되었다.
\[ \begin{align} & \rho \left( \frac{\partial u}{\partial t}+ \mathbf{V} \cdot
abla u \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} +\frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} +\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z}+\rho f_x \tag{1} \\ \\ & \rho \left( \frac{\partial v}{\partial t}+ \mathbf{V} \cdot
abla v \right) = -\frac{\partial p}{\partial y} +\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} +\frac{\partial \tau_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z}+\rho f_y \\ \\ & \rho \left( \frac{\partial w}{\partial t}+ \mathbf{V} \cdot
abla w \right) = -\frac{\partial p}{\partial z} +\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} +\frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zz}}{\partial z}+\rho f_z \end{align} \]
여기서 \(\mathbf{f}=f_x \mathbf{i}+ f_y \mathbf{j}+f_z \mathbf{k}\) 는 단위 질량당 체적력, \(\mathbf{V}=u \mathbf{i}+ v \mathbf{j}+w \mathbf{k}\) 는 위치 및 시간 \((x, y, z, t)\) 에서의 속도벡터, \(\tau_{ij}\) 는 수직응력(normal stress)과 전단응력(shear stress)이다.
식 (1)을 벡터 형태로 표현하기 위해서 다음과 같이 응력(stress)을 다이아딕 텐서 (dyadic tensor)로 표기해 보자.
\[ \begin{align} \tau = & \ \ \ \ \tau_{xx} \ \mathbf{ii} + \tau_{xy} \ \mathbf{ij} + \tau_{xz} \ \mathbf{ik} \tag{2} \\ \\ & + \tau_{yx} \ \mathbf{ji} + \tau_{yy} \ \mathbf{jj} + \tau_{yz} \ \mathbf{jk} \\ \\ & + \tau_{zx} \ \mathbf{ki} + \tau_{zy} \ \mathbf{kj} + \tau_{zz} \ \mathbf{kk} \end{align} \]
그러면 \(
abla \cdot \tau \) 는 다음과 같은 벡터로 계산된다.
\[ \begin{align}
abla \cdot \tau &= \left( \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z} \mathbf{k} \right) \cdot ( \tau_{xx} \ \mathbf{ii} + \tau_{xy} \ \mathbf{ij} + \tau_{xz} \ \mathbf{ik} \tag{3} \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ + \tau_{yx} \ \mathbf{ji} + \tau_{yy} \ \mathbf{jj} + \tau_{yz} \ \mathbf{jk} + \tau_{zx} \ \mathbf{ki} + \tau_{zy} \ \mathbf{kj} + \tau_{zz} \ \mathbf{kk} ) \\ \\ &= \left( \frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} \right) \mathbf{j} \\ \\ & \ \ \ + \left( \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zz}}{\partial z} \right) \mathbf{k} \end{align} \]
식 (3)을 이용하면 Navier-Stokes 방정식인 식 (1)을 다음과 같이 벡터 형태로 간단하게 표현할 수 있다.
\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot
abla \mathbf{V} \right) = –
abla p+
abla \cdot \tau + \rho \mathbf{f} \tag{4} \]
한편 단위 다이아딕(unit dyadic) \(\bar{\mathbf{I}}\) 를 다음과 정의하면
\[ \bar{\mathbf{I}} = \mathbf{ii}+ \mathbf{jj}+ \mathbf{kk} \tag{5} \]
식 (4)에 있는 \(
abla p\) 를 단위 다이아딕을 이용하여 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있다.
\[
abla p=
abla \cdot p \bar{\mathbf{I}} \tag{6} \]
식 (6)을 (4)에 대입하면 Navier-Stokes 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot
abla \mathbf{V} \right) =
abla \cdot \sigma + \rho \mathbf{f} \tag{7} \]
식 (7)을 코시 운동량 방정식(Cauchy momentum equation)이라고 한다. 위 식에서 \(\sigma\) 를 코시 응력 텐서(Cauchy stress tensor)라고 하며 다음과 같이 정의한다.
\[ \sigma = -p \bar{\mathbf{I}}+ \tau \tag{8} \]
압력 \(p\) 도 표면력으로서 수직응력처럼 표면에 수직으로 작용하는데, 식 (8)에 의하면 압력을 수직응력에 포함시켜 표현한 것이다.
뉴톤유체(Newtonian fluid) 가정을 도입하면 응력과 속도 변화율 사이에 다음과 같은 비례관계가 성립한다.
\[ \begin{align} & \tau_{xy}=\tau_{yx} = \mu \left( \frac{\partial v}{\partial x}+ \frac{\partial u}{\partial y} \right) \tag{9} \\ \\ & \tau_{xz}=\tau_{zx} = \mu \left( \frac{\partial w}{\partial x}+ \frac{\partial u}{\partial z} \right) \\ \\ & \tau_{yz}=\tau_{zy} = \mu \left( \frac{\partial w}{\partial y}+ \frac{\partial v}{\partial z} \right) \\ \\ & \tau_{xx} = \lambda (
abla \cdot \mathbf{V} )+ 2 \mu \frac{\partial u}{\partial x} \\ \\ & \tau_{yy} = \lambda (
abla \cdot \mathbf{V} )+ 2 \mu \frac{\partial v}{\partial y} \\ \\ & \tau_{zz} = \lambda (
abla \cdot \mathbf{V} )+ 2 \mu \frac{\partial w}{\partial z} \end{align} \]
여기서 \(\lambda\) 는 제2의 점성계수 또는 체적 점성계수이다.
식 (9)를 응력 다이아딕 텐서로 표현하기 위해서 먼저 다음과 같이 다이아딕 \(
abla \mathbf{V}\) 를 계산해 보자.
\[ \begin{align}
abla \mathbf{V} &= \left( \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z} \mathbf{k} \right) (u \mathbf{i} + v \mathbf{j} +w \mathbf{k} ) \tag{10} \\ \\ &= \ \ \ \frac{\partial u}{\partial x} \mathbf{ii} + \frac{\partial v}{\partial x} \mathbf{ij} + \frac{\partial w}{\partial x} \mathbf{ik} \\ \\ & \ \ \ + \frac{\partial u}{\partial y} \mathbf{ji} + \frac{\partial v}{\partial y} \mathbf{jj} + \frac{\partial w}{\partial y} \mathbf{jk} \\ \\ & \ \ \ + \frac{\partial u}{\partial z} \mathbf{ki} + \frac{\partial v}{\partial z} \mathbf{kj} + \frac{\partial w}{\partial z} \mathbf{kk} \end{align} \]
다이아딕 \(
abla \mathbf{V}\) 의 전치(transpose) \((
abla \mathbf{V})^T\) 는 다음과 같이 정의한다.
\[ \begin{align} (
abla \mathbf{V})^T &= \ \ \ \frac{\partial u}{\partial x} \mathbf{ii} + \frac{\partial v}{\partial x} \mathbf{ji} + \frac{\partial w}{\partial x} \mathbf{ki} \tag{11} \\ \\ & \ \ \ + \frac{\partial u}{\partial y} \mathbf{ij} + \frac{\partial v}{\partial y} \mathbf{jj} + \frac{\partial w}{\partial y} \mathbf{kj} \\ \\ & \ \ \ + \frac{\partial u}{\partial z} \mathbf{ik} + \frac{\partial v}{\partial z} \mathbf{jk} + \frac{\partial w}{\partial z} \mathbf{kk} \end{align} \]
식 (10)과 (11)을 이용하면 응력 다이아딕 텐서 \(\tau\) 를 다음과 같이 표현할 수 있다.
\[ \tau =\mu \left(
abla \mathbf{V}+(
abla \mathbf{V})^T \right) + \lambda (
abla \cdot \mathbf{V} ) \bar{\mathbf{I}} \tag{12} \]
식 (12)를 식 (4)에 대입하면 뉴톤유체에 대한 Navier-Stokes 방정식을 다음과 같이 표현할 수 있다.
\[ \begin{align} & \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot
abla \mathbf{V} \right) \tag{13} \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ = –
abla p +
abla \cdot \left[ \mu \left(
abla \mathbf{V}+(
abla \mathbf{V})^T \right) + \lambda (
abla \cdot \mathbf{V} ) \bar{\mathbf{I}} \right] + \rho \mathbf{f} \end{align} \]
한편, 비압축성(incompressible) 유동은 밀도 \(\rho\) 가 상수이므로 연속 방정식은 다음과 같다.
\[
abla \cdot \mathbf{V} =0 \tag{14} \]
식 (14)를 식 (13)에 대입하면 비압축성 유동에 대한 Navier-Stokes 방정식을 다음과 같이 된다.
\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot
abla \mathbf{V} \right) = –
abla p +
abla \cdot \left[ \mu \left(
abla \mathbf{V}+(
abla \mathbf{V})^T \right) \right] + \rho \mathbf{f} \tag{15} \]
식 (15)의 오른쪽항에서 텐서항을 더 전개하면 다음과 같이 된다.
\[ \begin{align}
abla \cdot \left[ \mu (
abla \mathbf{V}+(
abla \mathbf{V})^T ) \right] & = \mu
abla^2 \mathbf{V} + \mu
abla (
abla \cdot \mathbf{V} ) \tag{16} \\ \\ &= \mu
abla ^2 \mathbf{V} \end{align} \]
식 (16)을 식 (15)에 대입하면 비압축성 유동에 대한 Navier-Stokes 방정식을 다음과 같이 쓸 수도 있다.
\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot
abla \mathbf{V} \right) = –
abla p + \mu
abla^2 \mathbf{V} + \rho \mathbf{f} \tag{17} \]
정리하면 다음과 같다.
일반적인 Navier-Stokes 방정식은 다음과 같다.
\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot
abla \mathbf{V} \right) = –
abla p+
abla \cdot \tau + \rho \mathbf{f} \tag{18} \]
뉴톤유체에 대한 Navier-Stokes 방정식은 다음과 같다.
\[ \begin{align} & \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot
abla \mathbf{V} \right) \tag{19} \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ = –
abla p +
abla \cdot \left[ \mu \left(
abla \mathbf{V}+(
abla \mathbf{V})^T \right) + \lambda (
abla \cdot \mathbf{V} ) \bar{\mathbf{I}} \right] + \rho \mathbf{f} \end{align} \]
비압축성 뉴톤유체에 대한 Navier-Stokes 방정식은 다음과 같다.
\[ \begin{align} &
abla \cdot \mathbf{V} = 0 \\ \\ & \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot
abla \mathbf{V} \right) = –
abla p +
abla \cdot \left[ \mu \left(
abla \mathbf{V}+(
abla \mathbf{V})^T \right) \right] + \rho \mathbf{f} \tag{20} \end{align} \]
또는
\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot
abla \mathbf{V} \right) = –
abla p + \mu
abla^2 \mathbf{V} + \rho \mathbf{f} \tag{21} \]
이다.
[WIKI 진단] 기상청 예보는 왜 자주 틀릴까? ‘나비에-스토크스 …
나비에-스토크스 방정식은 7가지 수학 난제인 ‘밀레니얼 문제’에 포함된 것으로 매우 난해하다. 사람의 손으로는 도저히 풀 수 없고 슈퍼컴퓨터를 통해 풀어야 하는데, 이마저도 수치 해석에 의한 근사값에 불과하다. 이러한 점 때문에 아무리 좋은 슈퍼컴퓨터라도 정확한 해를 찾아내기가 매우 힘들다. 결국 슈퍼컴퓨터는 계산기에 불과하며, 그 계산기는 수치모델링을 통해 수식이 대입되어야만 한다.
하지만 실제 유체는 ‘이상유체’가 아니다. 공기는 점성을 가진 압축이 가능한 유체이기 때문이다. 문제는 여기서 발생한다. 점성을 가진 유체의 경우에는 ‘나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations)’을 이용해 해를 구해야 한다. 가장 큰 난관은 이 방정식이 지금까지 알려진 것 중에 (해석적인) 해를 구하기 가장 어려운 편미분방정식 중 하나라는 것이다.
기상청이 운용하고 있는 ‘슈퍼컴퓨터 4호기’는 2015년 미국 크레이사의 Cray XC40 시스템을 도입하였고, 비용은 약 600억원이 들었다. 이렇게 정교한 계산 능력을 가지고 있는 슈퍼컴퓨터를 보유하고 있음에도 일기예보가 왜 틀리는 것일까? 그것은 바로 ‘나비에-스토크스 방정식’의 난해성 때문이다.
8 thg 8, 2020 — 점성을 가진 유체의 경우에는 ‘나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations)’을 이용해 해를 구해야 한다. 가장 큰 난관은 이 방정식이 지금까지 …
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나비에-스토크스 방정식에 대해(과제)
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[WIKI 진단] 기상청 예보는 왜 자주 틀릴까? ‘나비에-스토크스 방정식’에 대하여
기상청 레이더 사진.
기상청이 올해도 어김없이 예보 오보 비판에 휩싸였다. 올해 ‘역대급 폭염’을 예상했는데, 중부지방에서 장마가 연일 계속되고 있기 때문이다. 긴 장마를 예측하지 못한 데다 장마 기간 내내 강수량·강수 위치 등이 틀리는 사태가 발생하면서 비판이 커지고 있다.
특히 10일간의 기상정보를 제공하는 중기예보는 3일 동안의 기상정보를 제공하는 단기예보보다 정확도가 크게 떨어지는 것으로 드러났다. 국내 최고 수준의 슈퍼컴퓨터를 갖고 있음에도 오보가 끊이지 않은 것이다.
여기서 슈퍼컴퓨터는 일반적인 컴퓨터에 비해 월등한 연산 능력을 보유한 컴퓨터를 말한다. 일반적인 컴퓨터와 달리 계산 능력에만 초점이 맞춰져 있어, 복잡하고 방대한 수식들을 처리하는 데 유용하다.
컴퓨터의 조상으로 불리는 ‘에니악(ENIAC)’은 1946년에 만들어진 최초의 슈퍼컴퓨터였다. 무게는 무려 30톤에 달했고, 거대한 방 하나를 가득 메울 정도로 방대한 크기를 자랑했다. 단순 계산 외에도 일기예보의 수치예보 연구 등의 과학 분야에서 사용되기도 하였다.
기상청이 운용하고 있는 ‘슈퍼컴퓨터 4호기’는 2015년 미국 크레이사의 Cray XC40 시스템을 도입하였고, 비용은 약 600억원이 들었다. 이렇게 정교한 계산 능력을 가지고 있는 슈퍼컴퓨터를 보유하고 있음에도 일기예보가 왜 틀리는 것일까? 그것은 바로 ‘나비에-스토크스 방정식’의 난해성 때문이다.
‘나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations)’ [사진=NASA]
유체(Fluid)는 흐르는(流) 성질을 가진, 액체와 기체를 합쳐 부르는 용어이다. 압축으로 인한 변형이 쉽고 형상이 정해져 있지 않다는 특징이 있다. 유체는 점성(운동하는 액체나 기체 내부에 나타나는 마찰력)과 압축성(압력의 변화에 따른 유체의 상대적인 밀도 변화)에 따라 종류가 나눠진다.
점성이 없고 압축되지 않는 유체를 ‘이상유체(Ideal Fluid)’라고 부르는데, 이와 같은 유체는 계산이 매우 쉽다. 해(Solution)가 선형(linear)의 성질을 가지고 있어, 라플라스 변환이나 중첩의 원리로 해결이 가능하기 때문이다.
하지만 실제 유체는 ‘이상유체’가 아니다. 공기는 점성을 가진 압축이 가능한 유체이기 때문이다. 문제는 여기서 발생한다. 점성을 가진 유체의 경우에는 ‘나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations)’을 이용해 해를 구해야 한다. 가장 큰 난관은 이 방정식이 지금까지 알려진 것 중에 (해석적인) 해를 구하기 가장 어려운 편미분방정식 중 하나라는 것이다.
나비에-스토크스 방정식은 7가지 수학 난제인 ‘밀레니얼 문제’에 포함된 것으로 매우 난해하다. 사람의 손으로는 도저히 풀 수 없고 슈퍼컴퓨터를 통해 풀어야 하는데, 이마저도 수치 해석에 의한 근사값에 불과하다. 이러한 점 때문에 아무리 좋은 슈퍼컴퓨터라도 정확한 해를 찾아내기가 매우 힘들다. 결국 슈퍼컴퓨터는 계산기에 불과하며, 그 계산기는 수치모델링을 통해 수식이 대입되어야만 한다.
현재 ‘나비에-스토크스 방정식’의 일반적인 해를 증명하는 문제에는 상금 100만 달러가 걸려 있다. 일반적인 해가 증명된다면 날씨예보의 질이 훨씬 좋아질 수 있다.
[위키리크스한국=최종원 기자]저작권자 © 위키리크스한국 무단전재 및 재배포 금지
Navier-Stokes (나비에-스톡스) 예제 – 갓준표의 4대역학
19 thg 6, 2020 — 나비에스톡스 관련해서는 유체역학 한방에 끝내기에서 정말 많이 설명 … x방향으로의 힘 평형 방정식을 나비에-스톡스로 구해주는 것이고,.
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