톱 810 나비 에 스톡스 방정식 업데이트 49 일 전

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나비에-스토크스 방정식 – 나무위키

31 thg 12, 2022 — 유체역학의 가장 기본이 되는 지배방정식(governing equation). 물과 공기를 비롯해 점성을 가진 대부분의 기체와 액체의 운동을 나타내는 비선형 편미분 …

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나비에-스토크스 방정식 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전

이 방정식이 광범위하게 사용되고 있지만 이 방정식의 3차원 강해가 항상 존재한다는 것을 증명하지 못했다. 1934년에 장 르레가 약해의 존재성을 증명했으나, 제한된 조건이 아닌 상황에서 강해의 존재성을 증명하지 못했다. 2차원의 경우 올가 라젠스카야가 완벽히 해결했고, 후에 많은 수학자들이 적절한 조건하에서 강해의 존재성을 증명했으나, 아직까지 완전한 강해의 존재성은 증명되지 않았다. 3차원의 경우 나비에-스토크스 방정식의 강해가 존재하거나, 유한 시간안에 폭발하는 해가 존재함을 보이는 것을 나비에-스토크스 존재성과 매끄러움(Navier–Stokes existence and smoothness) 문제라 한다. 2000년 5월 24일 클레이 수학연구소에서는 이 문제를 포함, 7개의 밀레니엄 문제를 해결하는데 각각 1,000,000달러의 상금을 내 걸었다.

∂ u i ∂ t + u j ∂ u i ∂ x j = f i − 1 ρ ∂ p ∂ x i + ν ∂ 2 u i ∂ x j ∂ x j {\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}=f_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+

Polyanin, A. D.; Kutepov, A. M.; Vyazmin, A. V.; Kazenin, D. A. (2002), 《Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering》, Taylor & Francis, London, ISBN 0-415-27237-8

나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations) 또는 N-S 방정식은 점성을 가진 유체의 운동을 기술(記述)하는 비선형 편미분방정식이다. 클로드 루이 나비에와 …

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풀기만 해도 12억 | 밀레니엄 7대 난제! 나비에-스톡스 방정식이란 무엇일까? | 과학쿠키 다큐 단편

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위키백과, 우리 모두의 백과사전

나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations) 또는 N-S 방정식은 점성을 가진 유체의 운동을 기술(記述)하는 비선형 편미분방정식이다. 클로드 루이 나비에와 조지 가브리엘 스토크스가 처음 소개하였다. 오일러 방정식을 확장한 것이다.

활용 [ 편집 ]

날씨 모델, 해류, 관에서 유체흐름, 날개주변의 유체흐름 그리고 은하안에서 별들의 움직임을 설명하는데 쓰일 수 있으며 실제로 항공기나 자동차 설계, 혈관내의 혈류, 오염물질의 확산 등을 연구하는데 사용되고 있다.

나비에-스토크스 문제 [ 편집 ]

이 부분의 본문은 이 부분의 본문은 나비에-스토크스 존재성과 매끄러움 입니다.

이 방정식이 광범위하게 사용되고 있지만 이 방정식의 3차원 강해가 항상 존재한다는 것을 증명하지 못했다. 1934년에 장 르레가 약해의 존재성을 증명했으나, 제한된 조건이 아닌 상황에서 강해의 존재성을 증명하지 못했다. 2차원의 경우 올가 라젠스카야가 완벽히 해결했고, 후에 많은 수학자들이 적절한 조건하에서 강해의 존재성을 증명했으나, 아직까지 완전한 강해의 존재성은 증명되지 않았다. 3차원의 경우 나비에-스토크스 방정식의 강해가 존재하거나, 유한 시간안에 폭발하는 해가 존재함을 보이는 것을 나비에-스토크스 존재성과 매끄러움(Navier–Stokes existence and smoothness) 문제라 한다. 2000년 5월 24일 클레이 수학연구소에서는 이 문제를 포함, 7개의 밀레니엄 문제를 해결하는데 각각 1,000,000달러의 상금을 내 걸었다.

2014년에 테렌스 타오가 평균화된 나비에-스토크스 방정식의 경우 유한 시간 안에 폭발하는 해가 존재한다는 것을 보였다.

공식 [ 편집 ]

나비에-스토크스 방정식은 여러 형태로 쓰이지만, 다음은 아인슈타인 표기법을 사용해 쓴 것이다.

∂ u i ∂ t + u j ∂ u i ∂ x j = f i − 1 ρ ∂ p ∂ x i + ν ∂ 2 u i ∂ x j ∂ x j {\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}=f_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+

u {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}

식에서 각 기호는 그 시각, 지점에서의

u: 속도 f: 단위체적당 걸리는 외력 ρ: 밀도 p: 압력 ν: 점성 계수 이다.

위 식을 벡터를 이용하여,

∂ u ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) u = f − 1 ρ ∇ p + ν △ u {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}+({\boldsymbol {u}}\cdot

abla ){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {f-}}{\frac {1}{\rho }}

abla p+

u \triangle {\boldsymbol {u}}}

로 쓸 수도 있다.

∇ {\displaystyle

abla } 는 델 (연산자)이다.

Δ {\displaystyle \Delta } 는 라플라스 연산자이다.

방정식은 뉴턴의 운동방정식(가속도 = 힘/질량)에 기반하고 있으며, 좌변이 가속도, 우변이 유체에 작용하는 단위 질량당 힘을 나타내고 있다.

같이 보기 [ 편집 ]

서지 [ 편집 ]

Acheson, D. J. (1990), 《Elementary Fluid Dynamics》, Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series, Oxford University Press, ISBN 0-19-859679-0

Batchelor, G. K. (1967), 《An Introduction to Fluid Dynamics》, Cambridge University Press, ISBN 0-521-66396-2

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1987), 《Fluid mechanics》, Course of Theoretical Physics 6 2 revis판, Pergamon Press, ISBN 0-08-033932-8 , OCLC 15017127

Rhyming, Inge L. (1991), 《Dynamique des fluides》, Presses polytechniques et universitaires romandes

Polyanin, A. D.; Kutepov, A. M.; Vyazmin, A. V.; Kazenin, D. A. (2002), 《Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering》, Taylor & Francis, London, ISBN 0-415-27237-8

Currie, I. G. (1974), 《Fundamental Mechanics of Fluids》, McGraw-Hill, ISBN 0-07-015000-1

V. Girault and P.A. Raviart. Finite Element Methods for Navier–Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 1986.

나비에-스토크스 방정식[Navier-Stokes’ equation] – 네이버 블로그

위 incompressible과 비교해보면 비점성인 경우에는 μ=0이기 때문에 3번째 항이 사라졌다.

나비에-스토크스 방정식은 점탄성이 없는 유체(Newtonian fluid)의 작용하는 힘과 운동량의

형태를 바꾼 것이다. 유체는 고체와 달리 정해진 형태가 없기 때문에 우리가 흔히 역학 하면

17 thg 11, 2017 — 나비에-스토크스 방정식은 점탄성이 없는 유체(Newtonian fluid)의 작용하는 힘과 운동량의. 변화를 기술하는 비선형 편미분 방정식이다.

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나비에 스토크스 방정식에 대해 알아보자

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나비에-스토크스 방정식[Navier-Stokes’ equation]

나비에-스토크스 방정식은 점탄성이 없는 유체(Newtonian fluid)의 작용하는 힘과 운동량의

변화를 기술하는 비선형 편미분 방정식이다. (뉴턴 제2법칙의 확장)

이 방정식은 물리학 중 역학에 관련된 수많은 곳에 널리 사용되고 있다.

수학적인 관점에서 보자면 이 방정식이 3차원(또는 시간을 포함한 4차원 시공간)상에 해가

항상 존재하는지 존재한다면 해를 어떻게 구하는지 특이점은 없는지 매끄러운지 등이

증명되지 않았다. 이렇기 때문에 공학 최전선에서조차 전산유체역학에 의존한다.

이 문제를 수학적인 관점에서 해결하라는 것이 밀레니엄 문제이다.(밀레니엄 7대 난제)

프랑스 물리학자 클로드루이 나비에와 영국 수학자 조지 스토크스가 F=ma를 유체 역학에서

사용하기 쉽게 바꾼 방정식이다.

나비에-스토크스 방정식은 뉴턴의 제2법칙인 F=ma를 유체역학에서 사용하기 편하게 그

형태를 바꾼 것이다. 유체는 고체와 달리 정해진 형태가 없기 때문에 우리가 흔히 역학 하면

생각하는 ‘고정된 좌표계’에서의 분석이 불가능하다. 따라서 유체에 뉴턴역학을 적용하기

위해서는 다른 방식이 필요하고, 이 방식에 따라 운동량 보존 법칙을 재정리한 것이

이 방정식이다. 따라서 이 방정식은 운동량 보존법칙이라고 불리기도 한다.

물리학에서 대표적으로 보존되는 물리량 중에서 유체역학에서 중요시하는 물리량은 질량,

운동량, 에너지로, 이 세 물리량의 보존법칙이 유체역학의 지배방정식이 되고, 그중 가장

복잡하고 중요한 방정식이 이 나비에-스토크스 방정식이다.

때때로 질량 보존 법칙까지 합쳐서 나비에-스토크스 방정식이라고 부를 때도 있다.

​

​

“나비에-스토크스 방정식을 푸는 것은 어렵다. 어찌나 어려운지 고성능 컴퓨터가

발명되기 전까지 수학자들은 몇몇 요령들과 근삿값에 만족해야 했다.

그렇지만 실제로 유체가 하는 운동을 생각해 보면, 어려울 수밖에 없다.

개울의 흐르는 물이나 해변에 부딪혀 깨지는 파도를 보면 유체가 극도로 복잡하게

흐를 수 있다는 것을 알 수 있다.”

“나비에-스토크스 방정식은 현대의 운송 시스템에 혁신을 불러일으켰다. 그중에서도

여객기의 디자인에 가장 큰 영향을 미쳤을 텐데, 여객기들은 효과적으로 나는 것은

둘째 치고 안정적이고 믿음직하게 날아야 하기 때문이다.”

“기후의 두 가지 핵심적인 구성 요소는 대기와 대양이다.

둘 다 유체이고, 둘 다 나비에-스토크스 방정식을 통해 연구될 수 있다.”

─ 이언 스튜어트, 『세계를 바꾼 17가지 방정식』

1. 기본형

​

가장 기본적인 형태. 응력과 변형률의 관계를 나타내지 않은 상태이다.

2. 비압축성(incompressible)

• 먼저 벡터를 사용해서 나타낸 식

​

• 직교좌표에서 텐서를 사용해서 나타낸 식.

​

• 스칼라를 사용해서 나타낸 식

​

• 구면좌표계

​

• 원통좌표계

​

3. 비점성(inviscid)

​

위 incompressible과 비교해보면 비점성인 경우에는 μ=0이기 때문에 3번째 항이 사라졌다.

이 식은 오일러 방정식이라고도 한다.

4. 압축성

​

​

[유체역학] 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)

앞선 말한 것 처럼 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)은 뉴턴의 제2법칙인 F=ma를 유체역학에서 사용하기 편하게 그 형태를 바꾼 것 입니다. 유체는 고체와 달리 고정된 좌표 개념이 없기 때문에 분석이 매우 힘듭니다. 따라서 유체에 뉴턴 역학을 적용하기 위해서는 다른 방식이 필요하고, 이 방식에 따라 운동량 보존 법칙을 재정리한 것이 이 방정식입니다. 유체역학에서 중요한 물리량은 질량, 운동량, 에너지이며 이 세가지 물리량의 보존 법칙이 유체역학에서의 지배방정식이 되고, 그 중 가장 중요한 방정식이 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)입니다.

간단하게 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)에 대해서 확인하여 보았습니다. 아직도 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)은 해의 존재성 조차 모르는 수식입니다. 난해한 수식이라고 볼 수 있습니다. 하지만 우리 삶에서 많은 도움을 주고 있는 수식이기도 합니다. 현재 미국 클레이 연구소에서는 밀레니엄 난제로 등록되어 있기도 합니다. 수치해석으로 얻은 근사 값으로도 우리 삶을 이끌고 있는 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation) 답이 나오는 그 날이 왔으면 좋겠습니다.

프랑스 물리학자 클로드-루이 나비에와 영국 수학자 조지 스토크스가 뉴턴의 운동 제2법칙(F=ma)를 유체역학에서 사용하기 쉽게 운동량을 기준으로 세운 수지식입니다. 이 방정식은 물리학의 수많은 곳에서 널리 사용되고 있습니다. 하지만 문헌상에서 이용 가능한 해석 해는 거의 존재하지 않으며, 그러한 해는 손꼽을 정도로 매우 적습니다. 실제 거의 대부분의 유체역학 문제는 해석적으로 풀 수 없으며, 근사적 방법이나 컴퓨터의 도움이 필요로 합니다.

24 thg 12, 2021 — 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)은 일정한 상태량을 갖는 비압축성 뉴턴 유체에 대한 선형 운동량 보존에 관한 방정식입니다. 나비에 …

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[유체역학] 나비에스톡스 방정식 증명

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[유체역학] 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)

오늘은 전산유체역학에서 잠시 나왔던 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)에 대해서 자세히 알아보도록 하겠습니다. 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)은 일정한 상태량을 갖는 비압축성 뉴턴 유체에 대한 선형 운동량 보존에 관한 방정식입니다.

나비에 스토그스 방정식(Navier-Stokes, eaquation) (출처: 세계를 바꾼 17가지 방정식(사이언스북스, 2016)

프랑스 물리학자 클로드-루이 나비에와 영국 수학자 조지 스토크스가 뉴턴의 운동 제2법칙(F=ma)를 유체역학에서 사용하기 쉽게 운동량을 기준으로 세운 수지식입니다. 이 방정식은 물리학의 수많은 곳에서 널리 사용되고 있습니다. 하지만 문헌상에서 이용 가능한 해석 해는 거의 존재하지 않으며, 그러한 해는 손꼽을 정도로 매우 적습니다. 실제 거의 대부분의 유체역학 문제는 해석적으로 풀 수 없으며, 근사적 방법이나 컴퓨터의 도움이 필요로 합니다.

앞선 말한 것 처럼 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)은 뉴턴의 제2법칙인 F=ma를 유체역학에서 사용하기 편하게 그 형태를 바꾼 것 입니다. 유체는 고체와 달리 고정된 좌표 개념이 없기 때문에 분석이 매우 힘듭니다. 따라서 유체에 뉴턴 역학을 적용하기 위해서는 다른 방식이 필요하고, 이 방식에 따라 운동량 보존 법칙을 재정리한 것이 이 방정식입니다. 유체역학에서 중요한 물리량은 질량, 운동량, 에너지이며 이 세가지 물리량의 보존 법칙이 유체역학에서의 지배방정식이 되고, 그 중 가장 중요한 방정식이 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)입니다.

이 수식을 통해 유체에 대한 운동을 확인 할 수 있습니다. 항공기가 뜨는 원리, 담배연기 확산, 기계의 내부유로 설계, 날씨예보 등에 쓰입니다. 세계를 바꾼 가장 주요한 수식 중에 하나가 아닐 수가 없습니다.

방정식 예1) 담배연기 방정식 예2) 항공기 이륙

나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation) 유체의 압축성을 나타냅니다. 오일러 방정식(Euler equation)에 점성항을 더한 것이 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)입니다.

Euler eqaution(출처: 나무위키)

오일러 방정식(Euler equation)은 비점성 영역을 나타낸 방정식이며, 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)의 근사화라고 볼 수 있습니다.

간단하게 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)에 대해서 확인하여 보았습니다. 아직도 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)은 해의 존재성 조차 모르는 수식입니다. 난해한 수식이라고 볼 수 있습니다. 하지만 우리 삶에서 많은 도움을 주고 있는 수식이기도 합니다. 현재 미국 클레이 연구소에서는 밀레니엄 난제로 등록되어 있기도 합니다. 수치해석으로 얻은 근사 값으로도 우리 삶을 이끌고 있는 나비에 스토크스 방정식(Navier-Stokes equation) 답이 나오는 그 날이 왔으면 좋겠습니다.

Navier-Stokes (나비에-스톡스) 예제 – 갓준표의 4대역학

19 thg 6, 2020 — 나비에스톡스 관련해서는 유체역학 한방에 끝내기에서 정말 많이 설명 … x방향으로의 힘 평형 방정식을 나비에-스톡스로 구해주는 것이고,.

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[박재우] 유체역학 1 – Navier-Stokes 방정식

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[WIKI 진단] 기상청 예보는 왜 자주 틀릴까? ‘나비에-스토크스 …

나비에-스토크스 방정식은 7가지 수학 난제인 ‘밀레니얼 문제’에 포함된 것으로 매우 난해하다. 사람의 손으로는 도저히 풀 수 없고 슈퍼컴퓨터를 통해 풀어야 하는데, 이마저도 수치 해석에 의한 근사값에 불과하다. 이러한 점 때문에 아무리 좋은 슈퍼컴퓨터라도 정확한 해를 찾아내기가 매우 힘들다. 결국 슈퍼컴퓨터는 계산기에 불과하며, 그 계산기는 수치모델링을 통해 수식이 대입되어야만 한다.

하지만 실제 유체는 ‘이상유체’가 아니다. 공기는 점성을 가진 압축이 가능한 유체이기 때문이다. 문제는 여기서 발생한다. 점성을 가진 유체의 경우에는 ‘나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations)’을 이용해 해를 구해야 한다. 가장 큰 난관은 이 방정식이 지금까지 알려진 것 중에 (해석적인) 해를 구하기 가장 어려운 편미분방정식 중 하나라는 것이다.

기상청이 운용하고 있는 ‘슈퍼컴퓨터 4호기’는 2015년 미국 크레이사의 Cray XC40 시스템을 도입하였고, 비용은 약 600억원이 들었다. 이렇게 정교한 계산 능력을 가지고 있는 슈퍼컴퓨터를 보유하고 있음에도 일기예보가 왜 틀리는 것일까? 그것은 바로 ‘나비에-스토크스 방정식’의 난해성 때문이다.

8 thg 8, 2020 — 점성을 가진 유체의 경우에는 ‘나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations)’을 이용해 해를 구해야 한다. 가장 큰 난관은 이 방정식이 지금까지 …

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나비에-스토크스 방정식에 대해(과제)

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[WIKI 진단] 기상청 예보는 왜 자주 틀릴까? ‘나비에-스토크스 방정식’에 대하여

기상청 레이더 사진.

기상청이 올해도 어김없이 예보 오보 비판에 휩싸였다. 올해 ‘역대급 폭염’을 예상했는데, 중부지방에서 장마가 연일 계속되고 있기 때문이다. 긴 장마를 예측하지 못한 데다 장마 기간 내내 강수량·강수 위치 등이 틀리는 사태가 발생하면서 비판이 커지고 있다.

특히 10일간의 기상정보를 제공하는 중기예보는 3일 동안의 기상정보를 제공하는 단기예보보다 정확도가 크게 떨어지는 것으로 드러났다. 국내 최고 수준의 슈퍼컴퓨터를 갖고 있음에도 오보가 끊이지 않은 것이다.

여기서 슈퍼컴퓨터는 일반적인 컴퓨터에 비해 월등한 연산 능력을 보유한 컴퓨터를 말한다. 일반적인 컴퓨터와 달리 계산 능력에만 초점이 맞춰져 있어, 복잡하고 방대한 수식들을 처리하는 데 유용하다.

컴퓨터의 조상으로 불리는 ‘에니악(ENIAC)’은 1946년에 만들어진 최초의 슈퍼컴퓨터였다. 무게는 무려 30톤에 달했고, 거대한 방 하나를 가득 메울 정도로 방대한 크기를 자랑했다. 단순 계산 외에도 일기예보의 수치예보 연구 등의 과학 분야에서 사용되기도 하였다.

기상청이 운용하고 있는 ‘슈퍼컴퓨터 4호기’는 2015년 미국 크레이사의 Cray XC40 시스템을 도입하였고, 비용은 약 600억원이 들었다. 이렇게 정교한 계산 능력을 가지고 있는 슈퍼컴퓨터를 보유하고 있음에도 일기예보가 왜 틀리는 것일까? 그것은 바로 ‘나비에-스토크스 방정식’의 난해성 때문이다.

‘나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations)’ [사진=NASA]

유체(Fluid)는 흐르는(流) 성질을 가진, 액체와 기체를 합쳐 부르는 용어이다. 압축으로 인한 변형이 쉽고 형상이 정해져 있지 않다는 특징이 있다. 유체는 점성(운동하는 액체나 기체 내부에 나타나는 마찰력)과 압축성(압력의 변화에 따른 유체의 상대적인 밀도 변화)에 따라 종류가 나눠진다.

점성이 없고 압축되지 않는 유체를 ‘이상유체(Ideal Fluid)’라고 부르는데, 이와 같은 유체는 계산이 매우 쉽다. 해(Solution)가 선형(linear)의 성질을 가지고 있어, 라플라스 변환이나 중첩의 원리로 해결이 가능하기 때문이다.

하지만 실제 유체는 ‘이상유체’가 아니다. 공기는 점성을 가진 압축이 가능한 유체이기 때문이다. 문제는 여기서 발생한다. 점성을 가진 유체의 경우에는 ‘나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations)’을 이용해 해를 구해야 한다. 가장 큰 난관은 이 방정식이 지금까지 알려진 것 중에 (해석적인) 해를 구하기 가장 어려운 편미분방정식 중 하나라는 것이다.

나비에-스토크스 방정식은 7가지 수학 난제인 ‘밀레니얼 문제’에 포함된 것으로 매우 난해하다. 사람의 손으로는 도저히 풀 수 없고 슈퍼컴퓨터를 통해 풀어야 하는데, 이마저도 수치 해석에 의한 근사값에 불과하다. 이러한 점 때문에 아무리 좋은 슈퍼컴퓨터라도 정확한 해를 찾아내기가 매우 힘들다. 결국 슈퍼컴퓨터는 계산기에 불과하며, 그 계산기는 수치모델링을 통해 수식이 대입되어야만 한다.

현재 ‘나비에-스토크스 방정식’의 일반적인 해를 증명하는 문제에는 상금 100만 달러가 걸려 있다. 일반적인 해가 증명된다면 날씨예보의 질이 훨씬 좋아질 수 있다.

[위키리크스한국=최종원 기자]

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나비에-스토크스 방정식 – 더위키

abla}\cdot{\bf u}\right))])으로 변한다. 몇몇 특수한 경우의 풀이법 [13] 은 알려져 있지만 일반적인 풀이법은 알려져 있지 않다. 심지어는 일반해가 있는지 없는지조차 아직 모른다… 이 방정식의 일반해(정확히는 전역적이고 매끄러운 일반해)의 존재성을 보이거나 반증하는 것은 ‘Navier–Stokes existence and smoothness’라는 이름으로 밀레니엄 문제 로 선정되었으며, 현재 100만 달러의 상금이 걸려 있다. 이걸 푼다면 노벨물리학상부터 아벨상, 필즈상 등 온갖 상을 휩쓸고 밀레니엄 문제의 상금까지 받아갈 수 있다.어쨌든 일반해의 존재성이 보장되느냐와 별개로 유체의 움직임을 예측하기 위해 컴퓨터 를 동원해 수치적으로 구하는 것이 유일한 방법 으로 해를 구해 쓰고 있다. 이를 전산유체역학 (Computational Fluid Dynamics, 줄여서 CFD)이라고 부른다. 더 자세한 내용은 전산유체역학 참조.2014년 1월 11일에 카자흐스탄 교수인 무흐타르바이 외텔바예프(Мұхтарбай Өтелбаев)가 이 방정식의 전역적(global)이고 연속적인 해가 존재함을 증명했다고 # 발표했으나, 결국 검증 끝에 해당 증명은 틀렸다고 판명되었다. # 나비에-스토크스 방정식은 오일러 방정식 에다가 점성을 고려한 것이다. 해당 문서에도 점성에 대한 설명이 조금 나오지만, 이 항목에선 점성항을 조금 더 엄밀하게 다루고자 한다.일단 먼저 “변형률 속도(strain rate)”를 알아보자. 점성이 있는 유체라면 주위 유체에서부터 응력 을 받으면, 이 응력(stress) 때문에 “변형률(strain)”이 생긴다. 이 변형률이 시간에 따라 변화하는 속도가 변형률 속도이며, [math(3\times 3)] 행렬 텐서인 [math(

이 형태는 코시 방정식(Cauchy’s equation)이라고도 한다. 이 경우 Navier-Stokes equation이라는 이름은 Newtonian fluid의 응력-변형률 관계를 대입하여 정리해놓은 …

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유체역학 제대로 끝내기 , 1강 나비에 스토크스 개념 복습

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나비에-스토크스 방정식

Navier-Stokes equations / Navier-Stokes existence and smoothness

나비에-스토크스 방정식의 해의 존재와 매끄러움 나비에-스토크스 방정식의 해가 존재하는지, 존재한다면 그 해가 매끄러운지에 대한 증명 or 유한시간 안에 폭발하는 해가 존재하는지에 대한 반증.

줄여서 NS Equation이라고도 한다.

이는 다시 말하면 유체가 점탄성을 갖는 경우에는 어찌되었건 이 방정식이 성립하지 않는다는 것을 의미한다! 혈액이나 우유 같은 경우가 대표적.

흔히 동점성(kinematic viscosity)이라고 부른다.

벡터를 사용해서 나타낸 식[4] 가끔 [math(

abla^2)] 대신 [math(\Delta)]로 표현하곤 하는데, 같은 뜻이다. 역삼각형은 델, 똑바로 된 삼각형은 라플라시안.

[math(\dfrac{\partial{\bf u}}{\partial t}+\left({\bf u}\cdot\boldsymbol{

abla}\right){\bf u}-

u

abla^2{\bf u}=-\boldsymbol{

abla}w+{\bf g})] [ 다른 표현 펼치기 · 접기 ] 직교좌표에서 텐서를 사용해서 나타낸 식. [math(\left(\dfrac{\partial}{\partial t}+u_j\dfrac{\partial}{\partial x_j}-

u\dfrac{\partial^2}{{\partial x_j}^2}\right) u_i=-\dfrac{\partial w}{\partial x_i}+g_i)]

위 Einstein notation을 풀어서 쓴 것

[math(\displaystyle\begin{aligned}

y&:\rho\left(\frac{\partial}{\partial t}+u_x\frac{\partial}{\partial x}+u_y\frac{\partial}{\partial y}+u_z\frac{\partial}{\partial z}\right)u_y=-\frac{\partial p}{\partial y}+\mu\left(\frac{\partial^2}{{\partial x}^2}+\frac{\partial^2}{{\partial y}^2}+\frac{\partial^2}{{\partial z}^2}\right) u_y+\mu\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right)+\rho g_y\\

z&:\rho\left(\frac{\partial}{\partial t}+u_x\frac{\partial}{\partial x}+u_y\frac{\partial}{\partial y}+u_z\frac{\partial}{\partial z}\right)u_z=-\frac{\partial p}{\partial z}+\mu\left(\frac{\partial^2}{{\partial x}^2}+\frac{\partial^2}{{\partial y}^2}+\frac{\partial^2}{{\partial z}^2}\right) u_z+\mu\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right)+\rho g_z

\end{aligned})]||

구면좌표계

[math(\displaystyle\begin{aligned}

\phi&:\rho\left(\frac{\partial u_{\phi}}{\partial t}+u_r\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r\sin\theta}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\theta}+\frac{u_ru_{\phi}+u_{\phi}u_{\theta}\cot\theta}{r}\right)=-\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial p}{\partial\phi}+\rho g_{\phi}+\mu\left[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2u_{\phi}}{\partial\phi^2}+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\theta}\right)+\frac{2\sin\theta\frac{\partial u_r}{\partial\phi}+2\cos\theta\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\phi}-u_{\phi}}{r^2\sin^2\theta}\right]\\

\theta&:\rho\left(\frac{\partial u_{\theta}}{\partial t}+u_r\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r\sin\theta}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\phi}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}+\frac{u_ru_{\theta}-u_{\phi}^2\cot\theta}{r}\right)=-\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial\theta}+\rho g_{\theta}+\mu\left[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2u_{\theta}}{\partial\phi^2}+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}\right)-\frac{2}{r^2}\frac{\partial u_r}{\partial\theta}-\frac{u_{\theta}+2\cos\theta\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}}{r^2\sin^2\theta}\right]

\end{aligned})]||

원통좌표계

[math(\displaystyle\begin{aligned}

\phi&:\rho\left(\frac{\partial u_{\phi}}{\partial t}+u_r\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}+u_z\frac{\partial u_{\phi}}{\partial z}-\frac{u_ru_{\phi}}{r}\right)=-\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial\phi}+\rho g_{\phi}+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2u_{\phi}}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2u_{\phi}}{\partial z^2}-\frac{u_{\phi}}{r^2}+\frac{2}{r^2}\frac{\partial u_r}{\partial\phi}\right]\\

z&:\rho\left(\frac{\partial u_z}{\partial t}+u_r\frac{\partial u_z}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r}\frac{\partial u_z}{\partial\phi}+u_z\frac{\partial u_z}{\partial z}\right)=-\frac{\partial p}{\partial z}+\rho g_{z}+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u_z}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2u_z}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2u_z}{\partial z^2}\right]

\end{aligned})]||

[1] 주어진 항은 대부분 필요에 따라 구속조건(유체 및 관 벽 간에 작용하는 전단력, 유체 간 점성 차이, 유체의 속도)을 통하여 소거할 수 있다.

x&:\rho\left(\frac{\partial}{\partial t}+u_x\frac{\partial}{\partial x}+u_y\frac{\partial}{\partial y}+u_z\frac{\partial}{\partial z}\right)u_x=-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu\left(\frac{\partial^2}{{\partial x}^2}+\frac{\partial^2}{{\partial y}^2}+\frac{\partial^2}{{\partial z}^2}\right)u_x+\mu\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right)+\rho g_x\\y&:\rho\left(\frac{\partial}{\partial t}+u_x\frac{\partial}{\partial x}+u_y\frac{\partial}{\partial y}+u_z\frac{\partial}{\partial z}\right)u_y=-\frac{\partial p}{\partial y}+\mu\left(\frac{\partial^2}{{\partial x}^2}+\frac{\partial^2}{{\partial y}^2}+\frac{\partial^2}{{\partial z}^2}\right) u_y+\mu\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right)+\rho g_y\\z&:\rho\left(\frac{\partial}{\partial t}+u_x\frac{\partial}{\partial x}+u_y\frac{\partial}{\partial y}+u_z\frac{\partial}{\partial z}\right)u_z=-\frac{\partial p}{\partial z}+\mu\left(\frac{\partial^2}{{\partial x}^2}+\frac{\partial^2}{{\partial y}^2}+\frac{\partial^2}{{\partial z}^2}\right) u_z+\mu\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right)+\rho g_z\end{aligned})]||r&:\rho\left(\frac{\partial u_r}{\partial t}+u_r\frac{\partial u_r}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r\sin\theta}\frac{\partial u_r}{\partial\phi}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_r}{\partial\theta}-\frac{u_{\phi}^2+u_{\theta}^2}{r}\right)=-\frac{\partial p}{\partial r}+\rho g_{r}+\mu\left[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u_r}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2u_r}{\partial\phi^2}+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u_r}{\partial\theta}\right)-2\frac{u_r+\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}+u_{\theta}\cot\theta}{r^2}-\frac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}\right]\\\phi&:\rho\left(\frac{\partial u_{\phi}}{\partial t}+u_r\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r\sin\theta}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\theta}+\frac{u_ru_{\phi}+u_{\phi}u_{\theta}\cot\theta}{r}\right)=-\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial p}{\partial\phi}+\rho g_{\phi}+\mu\left[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2u_{\phi}}{\partial\phi^2}+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\theta}\right)+\frac{2\sin\theta\frac{\partial u_r}{\partial\phi}+2\cos\theta\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\phi}-u_{\phi}}{r^2\sin^2\theta}\right]\\\theta&:\rho\left(\frac{\partial u_{\theta}}{\partial t}+u_r\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r\sin\theta}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\phi}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}+\frac{u_ru_{\theta}-u_{\phi}^2\cot\theta}{r}\right)=-\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial\theta}+\rho g_{\theta}+\mu\left[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2u_{\theta}}{\partial\phi^2}+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}\right)-\frac{2}{r^2}\frac{\partial u_r}{\partial\theta}-\frac{u_{\theta}+2\cos\theta\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}}{r^2\sin^2\theta}\right]\end{aligned})]||r&:\rho\left(\frac{\partial u_r}{\partial t}+u_r\frac{\partial u_r}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r}\frac{\partial u_r}{\partial\phi}+u_z\frac{\partial u_r}{\partial z}-\frac{u_{\phi}^2}{r}\right)=-\frac{\partial p}{\partial r}+\rho g_{r}+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u_r}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2u_r}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2u_r}{\partial z^2}-\frac{u_r}{r^2}-\frac{2}{r^2}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}\right]\\\phi&:\rho\left(\frac{\partial u_{\phi}}{\partial t}+u_r\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}+u_z\frac{\partial u_{\phi}}{\partial z}-\frac{u_ru_{\phi}}{r}\right)=-\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial\phi}+\rho g_{\phi}+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2u_{\phi}}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2u_{\phi}}{\partial z^2}-\frac{u_{\phi}}{r^2}+\frac{2}{r^2}\frac{\partial u_r}{\partial\phi}\right]\\z&:\rho\left(\frac{\partial u_z}{\partial t}+u_r\frac{\partial u_z}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r}\frac{\partial u_z}{\partial\phi}+u_z\frac{\partial u_z}{\partial z}\right)=-\frac{\partial p}{\partial z}+\rho g_{z}+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u_z}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2u_z}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2u_z}{\partial z^2}\right]\end{aligned})]||

[math(\dfrac{\partial{\bf u}}{\partial t}+\left({\bf u}\cdot\boldsymbol{

abla}\right){\bf u}=-\boldsymbol{

abla}w+{\bf g})] [math(\dfrac{\partial{\bf u}}{\partial t}+{\bf u}\cdot\boldsymbol{

abla}{\bf u}=-\dfrac{1}{\rho}\boldsymbol{

abla}\bar{p}+

u

abla^2{\bf u}+\dfrac{1}{3}

u\boldsymbol{

abla}(\boldsymbol{

abla}\cdot{\bf u})+{\bf g})]

예를 하나 들면 관속을 흐르는 유동체의 기체와 액체.

화공을 예를 들면 졸업 후 필드에 나가거나 대학원에서 플랜트에 가보면 알겠지만, 도면도 그렇고 정말 완벽하게 이걸 쓰기 편하게 맞춰서 설계가 기본적으로 되어 있다.

페인트나 우유처럼 나비에-스토크스 방정식으로 설명할 수 없는 유체도 존재한다. 이는 방정식 자체가 Newtonian Fluid에만 적용이 가능하기 때문이며, 이런 Non-newtonian fluid들은 나비에-스토크스 방정식으로는 설명할 수 없는 점탄성(viscoelasticity) 등의 성질을 갖고 있다.

유체역학은 연속체역학의 부분집합인 만큼, 연속체로 가정할 수 없는 경우(희박기체, 아주 작은 스케일 등)에는 적용되지 않을 수 있다.

비압축성의 경우 에너지 보존 법칙은 제외하고 풀기도 한다.

연속방정식이라고 불리기도 한다.

유체 이동에 의한 속도장의 변화를 나타낸다.

1차 연립방정식으로 변형할 수 없는 꼴.

대표적인 것으로는 속도가 다른 두 평판 사이의 유동(Couette; 예를 들어 비 올 때 도로와 타이어 사이의 빗물의 유동)이나 가늘고 긴 관 속을 흐르는 유동(Poiseuille)이 있다. 이 이외에도 몇 가지의 해석해가 존재하지만, 대부분 매우 느린 유동에 해당한다. 이는 사실상 공돌이들이 배우는 유체역학이 복잡해지는 이유 중 하나로, 여러 경우에 대해 각각 다른 공식을 적용해야 하기 때문이다.

두 줄 그은 건 이게 스칼라나 벡터가 아닌 행렬 텐서라는 걸 강조하기 위한 것이다.

응력은 소문자 타우([math(\underline{\underline\tau})])로 나타낼 때도 있고, 소문자 시그마([math(\underline{\underline\sigma})])로 나타낼 때도 있다. 주로 전단 응력에는 타우를 쓰고 압축 응력에는 시그마를 쓰지만, 편의를 위해서 이 항목에서는 전부 타우로 통일했다.

[math(\rho\left(\dfrac{\partial{\bf u}}{\partial t}+({\bf u}\cdot

abla){\bf u}\right)=-

abla p+\rho{\bf g})]

이 텐서의 정확한 의미는 응력문서 참조.

[math(\begin{bmatrix}\tau_{xx}\quad\tau_{xy}\quad\tau_{xz}\\\tau_{yx}\quad\tau_{yy}\quad\tau_{yz}\\\tau_{zx}\quad\tau_{zy}\quad\tau_{zz}\end{bmatrix})] [math({\rm d}F_x=\Delta\tau_{xx}\,{\rm d}y{\rm d}z+\Delta\tau_{yx}\,{\rm d}x{\rm d}z+\Delta\tau_{zx}\,{\rm d}x{\rm d}y=\left(\dfrac{\partial\tau_{xx}}{\partial x}+\dfrac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}+\dfrac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}\right)\,{\rm d}x{\rm d}y{\rm d}z)] [math(\dfrac{{\rm d}F_x}{{\rm d}V}=\dfrac{\partial\tau_{xx}}{\partial x}+\dfrac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}+\dfrac{\partial\tau_{zx}}{\partial z})] [math(\dfrac{{\rm d}{\bf F}}{{\rm d}V}=

abla\cdot\underline{\underline\tau})] [math(\rho\left(\dfrac{\partial{\bf u}}{\partial t}+({\bf u}\cdot

abla){\bf u}\right)=-

abla p+

abla\cdot\underline{\underline\tau}+\rho{\bf g})] [math(\underline{\underline\tau}=2\mu\underline{\underline\varepsilon})] [math(\underline{\underline\tau}=\mu(

abla{\bf u}+

abla{\bf u}^{\rm T}))] [math(\rho\left(\dfrac{\partial{\bf u}}{\partial t}+({\bf u}\cdot

abla){\bf u}\right)-\mu

abla^2{\bf u}=-

abla p+\rho{\bf g})] [math(\dfrac{\partial{\bf u}}{\partial t}+({\bf u}\cdot

abla{\bf u})-

u

abla^2{\bf u}=-

abla w+{\bf g})] [math(\underline{\underline\tau}=\lambda(

abla\cdot{\bf u}){\bf I}+\mu(

abla{\bf u}+

abla{\bf u}^{\rm T}))] [math(\underline{\underline\tau}=\zeta(

abla\cdot{\bf u}){\bf I}+\mu\left(

abla{\bf u}+

abla{\bf u}^{\rm T}-\dfrac{2}{3}(

abla\cdot{\bf u}){\bf I}\right))] [math(\dfrac{\partial{\bf u}}{\partial t}+({\bf u}\cdot

abla{\bf u})=-\dfrac{1}{\rho}

abla\bar{p}+

u

abla^2{\bf u}+\dfrac{1}{3}

u

abla(

abla\cdot{\bf u})+{\bf g})]

5. 부분적 해 [편집]

2차원에서의 문제는 일찍이 1969년에 해결되었다. 러시아의 수학자 Olga Aleksandrovna Ladyzhenskaya가 전역적(global)이고 매끄러운 해가 있음을 증명하였다.[17] Ladyzhenskaya, Olʹga Aleksandrovna (1969). The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flows.

초기 속도 [math({\bf v_0(x)})]가 충분히 작을 경우에 대해서도 해결되었다. 전역적(global)이고 매끄러운 해가 있다.[A] “Official statement of the problem”. Clay Mathematics Institute.

유한 시간 [math({T})]에 대해 초기 속도 [math({\bf v_0(x)})]가 주어진다면 [math(\mathbb{R}^3 × [0,T])] 위에서 나비에-스토크스 방정식은 전역적이고 매끄러운 해 [math({\bf v}(x,t))]와 [math(p(x,t))]를 갖는다. 그러나, 유한 시간 내에 폭발하는 해(blow-up)가 존재할 경우 그 이후의 거동에 대해서는 알려지지 않았다.[A] “Official statement of the problem”. Clay Mathematics Institute.

1934년에 장 르레(Jean Leray)가 약해(weak solution)의 존재성을 증명했다.[18] Leray, Jean (1934). “Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace”

1962년에 존 내시가 국소적(local) 시간 안에서 유일하고(unique) 정칙적인(regular) 해의 존재를 증명하였다.[19] Nasar, Sylvia (2001). “Chapter 41: An Interlude of Enforced Rationality”. A Beautiful Mind. Touchstone.

테렌스 타오는 2014년, 2016년에 평균화된(averaged) 3차원 나비에-스토크스 방정식이, 유한 시간 내에 폭발하는 해를 가짐을 보였다.[20] Tao, Terence (2014-02-04). “Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation” [21] Tao, Terence (2016). “Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier–Stokes equation”

6. 창작물에서의 등장 [편집]

만화 바텐더에서 잠시 언급되는데, 사사쿠라 류의 단골 중 하나인 수학자가 이 나비에-스토크스 방정식의 증명에 상당히 도달했다는 식의 설정으로 등장하며 책까지 쓴 것으로 나온다. 다만 말 그대로 이름만 언급하고 넘어가는 것으로 보아 증명은 실패한 듯. 애초에 ‘수학자 = 괴짜’라는 이미지를 표현하기 위한 조연이다.

히가시노 게이고의 소설 라플라스의 마녀에서도 핵심 주제로 등장한다. 특정한 뇌 수술을 받은 사람이 무의식적으로 이 문제를 해결했다는 설정. 며칠 후의 날씨를 정확히 예측하고, 3층 높이에서 종이를 떨어트려서 정확한 곳에 안착시키는 기행을 보여준다. 이건 유체역학뿐만 아니라 제어공학을 신급으로 잘해야 할 텐데…

크리스 에반스가 주연으로 출연한 영화 어메이징 메리에서도 매우 중요한 요소로 등장한다. 자세한 내용은 스포일러이므로 생략한다.

웹툰 삼국지톡에서는 어린 제갈량이 이 문제를 풀고 있는 모습으로 등장해[22] 작중 시점 나이가 13세인데 거기서 중학교 월반까지 한 상태다.

웹툰 수학 잘하는 법에서 두 주인공이 해결하고자 하는 문제로 나온다. 결말에서 증명된 것으로 나오며, 두 주인공이 이 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 한 것으로 나온다.

웹툰 놓지마 정신줄에서는 853화에 정신이가 썬더피에게 나비에-스토크스 방정식을 풀어보라 시키고, 그 다음으로는 호지 추측까지 풀어보라 시킨다. 중간중간의 대사를 보면 정신이는 모든 밀레니엄 문제를 풀은 것으로 보인다…

우리는 공부를 못해에서 오가타 리즈가, 나리유키를 공항에 갈 수 있도록 선생님들의 주의를 끌기 위해 이 방정식에 대한 질문을 한다. 선생님은 물론 멘탈이 나가고…

7. 관련 문서 [편집]

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나비에-스토크스 방정식은 [1] 점탄성이 없는 유체(Newtonian fluid) [2] 에 대한 운동량 수지식(balance)으로편미분 방정식이다. 프랑스 물리학자 클로드-루이 나비에와 영국 수학자 조지 스토크스가 뉴턴의 운동 제2법칙 ([math({\bf F}=m{\bf a})])를 유체역학 에서 사용하기 쉽게 운동량을 기준으로 세운 수지식이다. 이 방정식은 물리학의 수많은 곳에서 널리 사용되고 있다.수학적인 관점에서 보자면, 이 방정식이 3차원(또는 시간을 포함한 4차원 시공간) 상에 해가 항상 존재하는지, 존재한다면 해를 어떻게 구하는지, 특이점은 없는지, 매끄러운지 등이 증명되지 않았다. 이렇기 때문에 공학 최전선에서조차 전산유체역학 에 의존한다. 이 문제를 수학적인 관점에서 해결하라는 것이 밀레니엄 문제 이다. 현재까지 미해결 문제로서, 푼 사람에게 상금 100만 달러가 수여된다. 유체역학 1만 들으면 볼 일이 없지만, 유체역학 2(응용유체역학)를 들으면 반드시 거쳐가는 관문이다. 그런데 유체역학 항목을 보면 알 수 있듯 유체역학을 안 하는 공학이 더 마이너하다. ABET을 실시하는 미국 공학 과정에서도 2학년 이전에 이수해야 하는 기본적이고 중요한 개념.[math({\bf u})]는 유체의 속도, [math({\bf g})]는 중력가속도, [math(\rho)]는 밀도, [math(p)]는 압력, [math(\mu)]는 점성계수, [math(

u)]는 점성계수를 밀도로 나눈 값 [3] , [math(w)]는 압력을 밀도로 나눈 값, [math({\bf I})]는 단위행렬 , [math(\otimes)]는 텐서곱 을 나타낸다.이 형태는 코시 방정식(Cauchy’s equation)이라고도 한다. 이 경우 Navier-Stokes equation이라는 이름은 Newtonian fluid의 응력-변형률 관계를 대입하여 정리해놓은 것으로 한정된다.[math(\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\rho{\bf u}\right)+\boldsymbol{

abla}\cdot\left(\rho{\bf u}\otimes{\bf u}+p{\bf I}\right)=\boldsymbol{

abla}\cdot\tau+\rho{\bf g})]가장 기본적인 형태. 응력 과 변형률의 관계를 나타내지 않은 상태이다.유체가 비압축성(대표적으로 액체 )일 경우 식이 상당히 간단해진다. 속도장의 발산 [math(\dfrac{dP}{dt}=0)]이어서 최종 공식이 [math(\dfrac{d(-p{\bf u})}{dx}=\dfrac{dP}{dt}=0)]으로 아주 간단하게 나눠 떨어진다. 일반적으로 관련 학부 2~3학년 과정에서 다룬다.이렇게만 보자면 정말 어려워 보이지만, 물리학적 관점으로 이해를 시도하면 단순히 유체에 작용하는 모든 운동량 전달을 나열해놓은 것으로 그렇게 어렵지 않다. 유체에 전달되는 운동량은 유체의 흐름에 의한 대류 전달, 유체 또는 관 벽면의 입자 간 전달(전단 응력)(shear stress), 압력에 의한 전달, 중력에 의한 전달(유체의 무게)로 이루어져 있고, 각 항의 벡터식을 좌표계에 맞게 쪼갠 것뿐이다. 뉴턴의 법칙으로부터 이 비압축성 방정식의 유도를 보고 싶다면 오일러 방정식 의 3.2항목으로.이때는 식이 더 간단해진다.위 incompressible과 비교해보면, 비점성인 경우에는 [math(\mu=0)]이기 때문에 3번째 항이 사라졌다.이 식은 오일러 방정식 이라고도 한다. 학교 수준이 높으면 1학년 미적분학에서도 만나 볼 수 있는데, 공돌이 타입 교수나 조교들이 다변수 미적분 파트에서 연습 문제나 시험으로 종종 낼 때도 있다.(적당히 알고 있으면 맞힐 수 있다.)일반적인 기계공학이나 화학공학 등에서는 잘 다루지 않는 영역이라, 항공역학이나 로켓공학을 공부하지 않는 이상 ‘Re가 매우 클 때는 이렇게 된다’ 정도만 짚고 넘어가는 파트다.대표적으로 기체 가 있으며, 같은 기체라도 유속이 빠를수록 압축성에 의한 효과가 크게 나타난다. 비압축성에 비해 항이 좀 더 많아졌다. 스칼라식 풀이도 존재하나 생략한다.이것까지 학부 과정에서 배우기엔 시간이 부족해서 기체의 유동도 비압축성이라 가정하며 실용적인 열 몇 가지 경우만 짚고 넘어간다. [5] 사실 일반적인 공학 입장에서는 저 열 몇 가지면 대체로 실용면에선 끝이라 봐도 무방하고, [6] 이거랑 일반항을 본격적으로 파는 건 대학원 가서 하게 된다. 유체역학 의 가장 기본이 되는 공기 를 비롯해 점성을 가진 대부분의 기체와 액체의 운동을 나타내는 비선형 편미분 방정식이다. [7] 프랑스 물리학자 클로드 루이 나비에와 영국 수학자 조지 스토크스의 이름을 따왔다.나비에-스토크스 방정식은 뉴턴 의 제2법칙인 F=ma 를 유체역학에서 사용하기 편하게 그 형태를 바꾼 것이다. 유체는 고체와 달리 정해진 형태가 없기 때문에 우리가 흔히 역학 하면 생각하는 ‘고정된 좌표계’에서의 분석이 불가능하다. 따라서 유체에 뉴턴 역학을 적용하기 위해서는 다른 방식이 필요하고, 이 방식에 따라 운동량 보존 법칙을 재정리한 것이 이 방정식이다. 따라서 이 방정식은 운동량 보존 법칙이라고 불리기도 한다. 물리학에서 대표적으로 보존되는 물리량 중에서 유체역학에서 중요시하는 물리량은 질량, 운동량, 에너지로, 이 세 물리량의 보존 법칙 [9] 이 유체역학의 지배방정식이 되고, 그 중 가장 복잡하고 중요한 방정식이 이 나비에-스토크스 방정식이다. 때때로 질량 보존 법칙 [10] 까지 합쳐서 나비에-스토크스 방정식이라고 부를 때도 있다. 항공우주공학 전공 대학생이라면 2~3학년 때 처음 이 방정식을 접하게 된다. 물론 토목공학 화학공학 등의 유체를 다루게 되는 학과에서도 배울 수 있다. 물리학에서는 주로 플라즈마 물리 전공자들이 다룬다. 비행기 가 공중에 뜰 수 있는 것도, 기상청 에서 아직 오지도 않은 며칠 후의 날씨를 예측할 수 있는 것도 이 방정식과 관련이 있다. 쉽게 압축하자면 만약 이 방정식의 일반해를 구하는 방법이 증명된다면 기상 예측 정확도가 엄청나게 높아진다는 이야기이다.문제는 이 방정식이 지금까지 알려진 것 중에 (해석적인) 해를 구하기 가장 어려운 편미분방정식 중 하나라는 것이다. 이 방정식을 풀기 어렵게 만드는 범인은 위의 방정식의 좌변 두 번째 항([math(\boldsymbol{

abla}\cdot\left(\rho{\bf u}\otimes{\bf u}+p{\bf I}\right))])으로, 이 항(advective term) [11] 이 비선형 [12] 이기 때문에 해를 구하기가 어렵게 된다. 게다가 압축성의 경우에는 우변 맨 마지막의 점성항도 비선형([math(\mu

abla^2{\bf u}\rightarrow

u

abla^2{\bf u}+{1\over 3}

u\boldsymbol{

abla}\left(\boldsymbol{

abla}\cdot{\bf u}\right))])으로 변한다. 몇몇 특수한 경우의 풀이법 [13] 은 알려져 있지만 일반적인 풀이법은 알려져 있지 않다. 심지어는 일반해가 있는지 없는지조차 아직 모른다… 이 방정식의 일반해(정확히는 전역적이고 매끄러운 일반해)의 존재성을 보이거나 반증하는 것은 ‘Navier–Stokes existence and smoothness’라는 이름으로 밀레니엄 문제 로 선정되었으며, 현재 100만 달러의 상금이 걸려 있다. 이걸 푼다면 노벨물리학상부터 아벨상, 필즈상 등 온갖 상을 휩쓸고 밀레니엄 문제의 상금까지 받아갈 수 있다.어쨌든 일반해의 존재성이 보장되느냐와 별개로 유체의 움직임을 예측하기 위해 컴퓨터 를 동원해 수치적으로 구하는 것이 유일한 방법 으로 해를 구해 쓰고 있다. 이를 전산유체역학 (Computational Fluid Dynamics, 줄여서 CFD)이라고 부른다. 더 자세한 내용은 전산유체역학 참조.2014년 1월 11일에 카자흐스탄 교수인 무흐타르바이 외텔바예프(Мұхтарбай Өтелбаев)가 이 방정식의 전역적(global)이고 연속적인 해가 존재함을 증명했다고 # 발표했으나, 결국 검증 끝에 해당 증명은 틀렸다고 판명되었다. # 나비에-스토크스 방정식은 오일러 방정식 에다가 점성을 고려한 것이다. 해당 문서에도 점성에 대한 설명이 조금 나오지만, 이 항목에선 점성항을 조금 더 엄밀하게 다루고자 한다.일단 먼저 “변형률 속도(strain rate)”를 알아보자. 점성이 있는 유체라면 주위 유체에서부터 응력 을 받으면, 이 응력(stress) 때문에 “변형률(strain)”이 생긴다. 이 변형률이 시간에 따라 변화하는 속도가 변형률 속도이며, [math(3\times 3)] 행렬 텐서인 [math(

abla{\bf u})]로 정의된다. 대략 유체 “모양”이 변화하는 속도로 생각하면 된다.이 텐서는 두 텐서로 분해가 가능한데, 하나는 유체가 얼마나 “회전”하는 정도를 나타내는 텐서이며, 다른 하나는 회전 없이 정말 모양이 변화하는 속도를 나타내는 텐서다. 후자를 [math(\underline{\underline\varepsilon})]라 칭하며, [14] [math(\underline{\underline\varepsilon}=\dfrac{1}{2}(

abla{\bf u}+

abla{\bf u}^{\rm T}))]로 정의된다.뉴턴의 점성 법칙에 의하면 응력은 이 변형률 속도에 비례한다. 즉, [math(\underline{\underline\tau}\propto\underline{\underline\varepsilon})]. [15] 이 법칙을 따르는 유체를 뉴턴 유체라고 한다. 아쉽게도 이 법칙은 우주의 기본적인 법칙은 아니고, 문제를 쉽게 만들기 위한 편의상의 법칙이다. 옴의 법칙 이나 훅의 법칙 처럼.이제 우린 나비에-스토크스를 유도할 준비가 되었다. 일단 오일러 방정식에서부터 시작하자.좌변이 [math({\bf F}=m{\bf a})]의 [math(m{\bf a})]고, 우변이 [math({\bf F})]다. 단, 우변은 힘이 아니고 힘 밀도 (force density)라는 물리량이다. 좌변의 항도 질량 대신 (질량)밀도. 그렇다면 여태까지 이야기한 점성응력에 의한 힘 밀도는 무엇일까? 답은 [math(

abla\cdot\underline{\underline\tau})]이다. 어째서일까?먼저 코시 응력 텐서가 어떻게 생겼는지 한 번 보자. [16] 위의 그림을 참고해서 [math(F_x)]를 구해보자. [math(y)]와 [math(z)] 방향으로도 똑같은 방법으로 구할 수 있다.우변은 [math((

abla\cdot\underline{\underline\tau})_x)]이므로, [math(y)]와 [math(z)] 방향으로도 똑같은 계산을 하면,인 걸 알 수 있다. 그렇다면 이제 이 항을 오일러 방정식의 우변에 더해주자.이제 [math(\underline{\underline\tau})] 와 속도장인 [math({\bf u})]의 연관성을 찾아야 한다. 여기에 필요한 게 바로 [math(\underline{\underline\varepsilon})]다. 뉴턴의 점성 법칙을 적용하자.이렇게 비례상수를 [math(2\mu)]로 정한다. 그렇다면,또한 성립한다. 또한, 조금만 계산을 해보면 [math(

abla\cdot(

abla{\bf u}+

abla{\bf u}^{\rm T})=

abla^2{\bf u})]인 걸 알 수 있다. 따라서 [math(

abla\cdot\underline{\underline\tau}=\mu

abla^2{\bf u})]이며, 이걸 위의 식에 대입하면…양변을 밀도로 나누고 [math(

u=\dfrac{\mu}{\rho})]와 [math(

abla w=\dfrac{

abla p}{\rho})]를 적용하면 익숙한 비압축성 나비에-스토크스 방정식 완성.유체가 압축성이란 말은 [math(

abla\cdot{\bf u}

eq 0)]와 동치다. 이 압축성 때문에, 방금 전에 구했던 응력 텐서를 조금 바꿔줘야 한다.여기서 [math(\lambda)]는 비례상수이며, [math({\bf I})]는 [math(3\times 3)] 단위행렬이다. 예상대로 다이버전스가 클수록(유체가 더 많이 팽창할 수록) 응력이 커진다. [math(\zeta=\lambda+\dfrac{2}{3}\mu)] 를 정의하고 이 텐서를 분해하면양쪽에 [math(

abla\cdot)] 연산자를 취해주면 나우는 우변 결과를 오일러 방정식 우변에 대입하자. [math(\bar p=p-\zeta

abla\cdot{\bf u})]도 대입하고 양변을 밀도로 나누면 위쪽 항목에 쓰여져 있는 압축성 나비에-스토크스 방정식이 나온다. 참고로 [math(

abla\cdot

abla{\bf u}=

abla^2{\bf u})]이며, [math(

abla\cdot

abla{\bf u}^{\rm T}=

abla(

abla\cdot{\bf u}))]이다.당연한 얘기지만, [math(

abla\cdot{\bf u}=0)]를 가정하면 비압축성 형태로 단순화된다.전문가들 사이에서도 강해(strong solution)가 존재하는지, 유한시간 안에 폭발하는 해가 존재하는지 의견이 분분한 상태다.

Navier-Stokes 방정식의 벡터 표현 – Deep Campus – 티스토리

abla \cdot \tau &= \left( \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z} \mathbf{k} \right) \cdot ( \tau_{xx} \ \mathbf{ii} + \tau_{xy} \ \mathbf{ij} + \tau_{xz} \ \mathbf{ik} \tag{3} \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ + \tau_{yx} \ \mathbf{ji} + \tau_{yy} \ \mathbf{jj} + \tau_{yz} \ \mathbf{jk} + \tau_{zx} \ \mathbf{ki} + \tau_{zy} \ \mathbf{kj} + \tau_{zz} \ \mathbf{kk} ) \\ \\ &= \left( \frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} \right) \mathbf{j} \\ \\ & \ \ \ + \left( \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zz}}{\partial z} \right) \mathbf{k} \end{align} \]

abla \mathbf{V} &= \left( \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z} \mathbf{k} \right) (u \mathbf{i} + v \mathbf{j} +w \mathbf{k} ) \tag{10} \\ \\ &= \ \ \ \frac{\partial u}{\partial x} \mathbf{ii} + \frac{\partial v}{\partial x} \mathbf{ij} + \frac{\partial w}{\partial x} \mathbf{ik} \\ \\ & \ \ \ + \frac{\partial u}{\partial y} \mathbf{ji} + \frac{\partial v}{\partial y} \mathbf{jj} + \frac{\partial w}{\partial y} \mathbf{jk} \\ \\ & \ \ \ + \frac{\partial u}{\partial z} \mathbf{ki} + \frac{\partial v}{\partial z} \mathbf{kj} + \frac{\partial w}{\partial z} \mathbf{kk} \end{align} \]

abla \mathbf{V})^T &= \ \ \ \frac{\partial u}{\partial x} \mathbf{ii} + \frac{\partial v}{\partial x} \mathbf{ji} + \frac{\partial w}{\partial x} \mathbf{ki} \tag{11} \\ \\ & \ \ \ + \frac{\partial u}{\partial y} \mathbf{ij} + \frac{\partial v}{\partial y} \mathbf{jj} + \frac{\partial w}{\partial y} \mathbf{kj} \\ \\ & \ \ \ + \frac{\partial u}{\partial z} \mathbf{ik} + \frac{\partial v}{\partial z} \mathbf{jk} + \frac{\partial w}{\partial z} \mathbf{kk} \end{align} \]

22 thg 10, 2021 — Navier-Stokes 방정식은 뉴톤 제2법칙을 유체에 적용한 것으로서 다음과 같이 유도되었다.

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2022. 08. 04. [뉴스브릿지] 13억 상금에 ‘성큼’…’나비에-스토크스 방정식’의 비밀

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Navier-Stokes 방정식의 벡터 표현

Navier-Stokes 방정식은 뉴톤 제2법칙을 유체에 적용한 것으로서 다음과 같이 유도되었다.

\[ \begin{align} & \rho \left( \frac{\partial u}{\partial t}+ \mathbf{V} \cdot

abla u \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} +\frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} +\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z}+\rho f_x \tag{1} \\ \\ & \rho \left( \frac{\partial v}{\partial t}+ \mathbf{V} \cdot

abla v \right) = -\frac{\partial p}{\partial y} +\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} +\frac{\partial \tau_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z}+\rho f_y \\ \\ & \rho \left( \frac{\partial w}{\partial t}+ \mathbf{V} \cdot

abla w \right) = -\frac{\partial p}{\partial z} +\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} +\frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zz}}{\partial z}+\rho f_z \end{align} \]

여기서 \(\mathbf{f}=f_x \mathbf{i}+ f_y \mathbf{j}+f_z \mathbf{k}\) 는 단위 질량당 체적력, \(\mathbf{V}=u \mathbf{i}+ v \mathbf{j}+w \mathbf{k}\) 는 위치 및 시간 \((x, y, z, t)\) 에서의 속도벡터, \(\tau_{ij}\) 는 수직응력(normal stress)과 전단응력(shear stress)이다.

식 (1)을 벡터 형태로 표현하기 위해서 다음과 같이 응력(stress)을 다이아딕 텐서 (dyadic tensor)로 표기해 보자.

\[ \begin{align} \tau = & \ \ \ \ \tau_{xx} \ \mathbf{ii} + \tau_{xy} \ \mathbf{ij} + \tau_{xz} \ \mathbf{ik} \tag{2} \\ \\ & + \tau_{yx} \ \mathbf{ji} + \tau_{yy} \ \mathbf{jj} + \tau_{yz} \ \mathbf{jk} \\ \\ & + \tau_{zx} \ \mathbf{ki} + \tau_{zy} \ \mathbf{kj} + \tau_{zz} \ \mathbf{kk} \end{align} \]

그러면 \(

abla \cdot \tau \) 는 다음과 같은 벡터로 계산된다.

\[ \begin{align}

abla \cdot \tau &= \left( \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z} \mathbf{k} \right) \cdot ( \tau_{xx} \ \mathbf{ii} + \tau_{xy} \ \mathbf{ij} + \tau_{xz} \ \mathbf{ik} \tag{3} \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ + \tau_{yx} \ \mathbf{ji} + \tau_{yy} \ \mathbf{jj} + \tau_{yz} \ \mathbf{jk} + \tau_{zx} \ \mathbf{ki} + \tau_{zy} \ \mathbf{kj} + \tau_{zz} \ \mathbf{kk} ) \\ \\ &= \left( \frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} \right) \mathbf{j} \\ \\ & \ \ \ + \left( \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zz}}{\partial z} \right) \mathbf{k} \end{align} \]

식 (3)을 이용하면 Navier-Stokes 방정식인 식 (1)을 다음과 같이 벡터 형태로 간단하게 표현할 수 있다.

\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot

abla \mathbf{V} \right) = –

abla p+

abla \cdot \tau + \rho \mathbf{f} \tag{4} \]

한편 단위 다이아딕(unit dyadic) \(\bar{\mathbf{I}}\) 를 다음과 정의하면

\[ \bar{\mathbf{I}} = \mathbf{ii}+ \mathbf{jj}+ \mathbf{kk} \tag{5} \]

식 (4)에 있는 \(

abla p\) 를 단위 다이아딕을 이용하여 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있다.

\[

abla p=

abla \cdot p \bar{\mathbf{I}} \tag{6} \]

식 (6)을 (4)에 대입하면 Navier-Stokes 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot

abla \mathbf{V} \right) =

abla \cdot \sigma + \rho \mathbf{f} \tag{7} \]

식 (7)을 코시 운동량 방정식(Cauchy momentum equation)이라고 한다. 위 식에서 \(\sigma\) 를 코시 응력 텐서(Cauchy stress tensor)라고 하며 다음과 같이 정의한다.

\[ \sigma = -p \bar{\mathbf{I}}+ \tau \tag{8} \]

압력 \(p\) 도 표면력으로서 수직응력처럼 표면에 수직으로 작용하는데, 식 (8)에 의하면 압력을 수직응력에 포함시켜 표현한 것이다.

뉴톤유체(Newtonian fluid) 가정을 도입하면 응력과 속도 변화율 사이에 다음과 같은 비례관계가 성립한다.

\[ \begin{align} & \tau_{xy}=\tau_{yx} = \mu \left( \frac{\partial v}{\partial x}+ \frac{\partial u}{\partial y} \right) \tag{9} \\ \\ & \tau_{xz}=\tau_{zx} = \mu \left( \frac{\partial w}{\partial x}+ \frac{\partial u}{\partial z} \right) \\ \\ & \tau_{yz}=\tau_{zy} = \mu \left( \frac{\partial w}{\partial y}+ \frac{\partial v}{\partial z} \right) \\ \\ & \tau_{xx} = \lambda (

abla \cdot \mathbf{V} )+ 2 \mu \frac{\partial u}{\partial x} \\ \\ & \tau_{yy} = \lambda (

abla \cdot \mathbf{V} )+ 2 \mu \frac{\partial v}{\partial y} \\ \\ & \tau_{zz} = \lambda (

abla \cdot \mathbf{V} )+ 2 \mu \frac{\partial w}{\partial z} \end{align} \]

여기서 \(\lambda\) 는 제2의 점성계수 또는 체적 점성계수이다.

식 (9)를 응력 다이아딕 텐서로 표현하기 위해서 먼저 다음과 같이 다이아딕 \(

abla \mathbf{V}\) 를 계산해 보자.

\[ \begin{align}

abla \mathbf{V} &= \left( \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z} \mathbf{k} \right) (u \mathbf{i} + v \mathbf{j} +w \mathbf{k} ) \tag{10} \\ \\ &= \ \ \ \frac{\partial u}{\partial x} \mathbf{ii} + \frac{\partial v}{\partial x} \mathbf{ij} + \frac{\partial w}{\partial x} \mathbf{ik} \\ \\ & \ \ \ + \frac{\partial u}{\partial y} \mathbf{ji} + \frac{\partial v}{\partial y} \mathbf{jj} + \frac{\partial w}{\partial y} \mathbf{jk} \\ \\ & \ \ \ + \frac{\partial u}{\partial z} \mathbf{ki} + \frac{\partial v}{\partial z} \mathbf{kj} + \frac{\partial w}{\partial z} \mathbf{kk} \end{align} \]

다이아딕 \(

abla \mathbf{V}\) 의 전치(transpose) \((

abla \mathbf{V})^T\) 는 다음과 같이 정의한다.

\[ \begin{align} (

abla \mathbf{V})^T &= \ \ \ \frac{\partial u}{\partial x} \mathbf{ii} + \frac{\partial v}{\partial x} \mathbf{ji} + \frac{\partial w}{\partial x} \mathbf{ki} \tag{11} \\ \\ & \ \ \ + \frac{\partial u}{\partial y} \mathbf{ij} + \frac{\partial v}{\partial y} \mathbf{jj} + \frac{\partial w}{\partial y} \mathbf{kj} \\ \\ & \ \ \ + \frac{\partial u}{\partial z} \mathbf{ik} + \frac{\partial v}{\partial z} \mathbf{jk} + \frac{\partial w}{\partial z} \mathbf{kk} \end{align} \]

식 (10)과 (11)을 이용하면 응력 다이아딕 텐서 \(\tau\) 를 다음과 같이 표현할 수 있다.

\[ \tau =\mu \left(

abla \mathbf{V}+(

abla \mathbf{V})^T \right) + \lambda (

abla \cdot \mathbf{V} ) \bar{\mathbf{I}} \tag{12} \]

식 (12)를 식 (4)에 대입하면 뉴톤유체에 대한 Navier-Stokes 방정식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

\[ \begin{align} & \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot

abla \mathbf{V} \right) \tag{13} \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ = –

abla p +

abla \cdot \left[ \mu \left(

abla \mathbf{V}+(

abla \mathbf{V})^T \right) + \lambda (

abla \cdot \mathbf{V} ) \bar{\mathbf{I}} \right] + \rho \mathbf{f} \end{align} \]

한편, 비압축성(incompressible) 유동은 밀도 \(\rho\) 가 상수이므로 연속 방정식은 다음과 같다.

\[

abla \cdot \mathbf{V} =0 \tag{14} \]

식 (14)를 식 (13)에 대입하면 비압축성 유동에 대한 Navier-Stokes 방정식을 다음과 같이 된다.

\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot

abla \mathbf{V} \right) = –

abla p +

abla \cdot \left[ \mu \left(

abla \mathbf{V}+(

abla \mathbf{V})^T \right) \right] + \rho \mathbf{f} \tag{15} \]

식 (15)의 오른쪽항에서 텐서항을 더 전개하면 다음과 같이 된다.

\[ \begin{align}

abla \cdot \left[ \mu (

abla \mathbf{V}+(

abla \mathbf{V})^T ) \right] & = \mu

abla^2 \mathbf{V} + \mu

abla (

abla \cdot \mathbf{V} ) \tag{16} \\ \\ &= \mu

abla ^2 \mathbf{V} \end{align} \]

식 (16)을 식 (15)에 대입하면 비압축성 유동에 대한 Navier-Stokes 방정식을 다음과 같이 쓸 수도 있다.

\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot

abla \mathbf{V} \right) = –

abla p + \mu

abla^2 \mathbf{V} + \rho \mathbf{f} \tag{17} \]

정리하면 다음과 같다.

일반적인 Navier-Stokes 방정식은 다음과 같다.

\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot

abla \mathbf{V} \right) = –

abla p+

abla \cdot \tau + \rho \mathbf{f} \tag{18} \]

뉴톤유체에 대한 Navier-Stokes 방정식은 다음과 같다.

\[ \begin{align} & \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot

abla \mathbf{V} \right) \tag{19} \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ = –

abla p +

abla \cdot \left[ \mu \left(

abla \mathbf{V}+(

abla \mathbf{V})^T \right) + \lambda (

abla \cdot \mathbf{V} ) \bar{\mathbf{I}} \right] + \rho \mathbf{f} \end{align} \]

비압축성 뉴톤유체에 대한 Navier-Stokes 방정식은 다음과 같다.

\[ \begin{align} &

abla \cdot \mathbf{V} = 0 \\ \\ & \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot

abla \mathbf{V} \right) = –

abla p +

abla \cdot \left[ \mu \left(

abla \mathbf{V}+(

abla \mathbf{V})^T \right) \right] + \rho \mathbf{f} \tag{20} \end{align} \]

또는

\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + \mathbf{V} \cdot

abla \mathbf{V} \right) = –

abla p + \mu

abla^2 \mathbf{V} + \rho \mathbf{f} \tag{21} \]

이다.

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